课时作业(83)概率与统计的综合问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(八十三)　概率与统计的综合问题 基础过关练 1．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望． 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解　(1)2×2列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 零假设为H0：该校学生喜欢足球与性别无关． 由表中数据得χ2＝ ≈18.182>10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验可知零假设不成立，即该校学生喜欢足球与性别有关，且此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝C×××＋×＝， P(ξ＝2)＝C×××＋×＝， P(ξ＝3)＝×＝， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．(2025·成都模拟)有一个开房门的游戏，其玩法为：盒中先放入两把钥匙T和两把钥匙F，T能够打开房门，F不能打开房门．每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙．第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏．若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙F，继续下一轮抽取，直至“成功”． (1)有1000名爱好者独立参与这个游戏，记t表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表： t 1 2 3 4 5 y 507 144 72 32 25 若将＝＋作为y关于t的经验回归方程，估计抽取7轮才“成功”的人数(人数精确到个位)； (2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏．求游戏要进行三轮的概率． 参考公式：最小二乘估计＝，＝－. 参考数据：取＝1.08，＝0.3，其中xi＝，＝i. 解　(1)令xi＝，设＝x＋， 由条件知iyi＝507＋＋＋＋＝554，＝＝156， 所以＝＝＝≈507.94， ＝156－507.94×0.3＝3.618， 从而＝507.94x＋3.618， 故所求的回归方程为＝＋3.618. 所以估计当t＝7时，y＝＋3.618≈14，即抽取7轮才“成功”的人数约为14人． (2)由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败． 设事件A为“第一轮成功”，事件B为“第二轮成功”，则A、B相互独立． 因为P＝＋＝，P＝＋＝， 所以前两轮均失败的概率为P＝PP＝×＝. 故游戏要进行三轮的概率为. 3．某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试．根据测试成绩(单位：分)按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人． (1)填写下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析高中数学学习中抽象思维与性别是否有关？ 成绩小于60分 成绩不小于60分 合计 男 女 合计 (2)规定成绩不小于60分(百分制)为及格，按及格和不及格用按比例分配的分层随机抽样的方法，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解　(1)成绩小于60分的人数为200×[(0.002 5＋0.007 5＋0.01)×20]＝200×0.4＝80. 由题意，得2×2列联表如下表： 成绩小于60分 成绩不小于60分 合计 男 40 80 120 女 40 40 80 合计 80 120 200 零假设为H0：高中数学学习中抽象思维与性别无关． 由表中数据得χ2＝ ＝≈5.556>3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验可知零假设不成立，即高中数学学习中抽象思维与性别有关，且此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)由(1)知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120， ∴用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取的10名学生中不及格的有4人，及格的有6人，由题意，X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2)， 即P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2025·杭州模拟)某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了M市100位退休人员，统计数据如下表所示： 患痴呆症 不患痴呆症 合计 上网 16 32 48 不上网 34 18 52 合计 50 50 100 (1)依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？ (2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，B为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度Y1＝，在事件B发生的条件下A的强度Y2＝. (ⅰ)证明：＝； (ⅱ)利用抽样的样本数据，估计的值． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据列联表中的数据，得 χ2＝＝≈10.256>6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.01. (2)(ⅰ)1－P＝1－＝＝＝P， 所以Y1＝＝，Y2＝＝， 故＝·＝· ＝·＝·＝. (ⅱ)由样本数据可得P＝＝， P＝＝， 所以＝＝＝2，所以估计的值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$