课时作业(82)二项分布、超几何分布与正态分布(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(八十二)　二项分布、超几何分布与正态分布 一、单项选择题 1．已知随机变量ξ～B，若E＝2，D＝1，则P＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 答案　C 解析　因为ξ～B，所以E＝np＝2，D＝np＝1，解得n＝4，p＝， 所以P＝C×2×2＝.故选C. 2．(2025·湖北联考)现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用X表示所选2名志愿者中男生的人数，则E为(　　) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 答案　B 解析　X的所有可能取值为0，1，2， 则P＝，k＝0，1，2. 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 所以E＝0×＋1×＋2×＝0.8. 另解：因为X服从超几何分布，所以E＝＝0.8.故选B. 3．(2025·安徽联考)设随机变量X～B，D＝，且E>1.若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为X～B，D＝， 所以3p＝，解得p＝或p＝， 又因为E＝3p>1，则p>，可得p＝， 则＝5.所以P＝＝.故选A. 4．据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且X～N，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为(　　) A．40 B．60 C．70 D．80 答案　A 解析　由题意知，每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为＝0.3， 故每月派送的快递件数在的快递员所占比例为＝0.2， 故每月派送的快递件数在的快递员人数为200×0.2＝40人．故选A. 5．(2025·山东青岛模拟)从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为(　　) A． B．3 C． D． 答案　A 解析　设得分为X，根据题意X可以取4，3，2. 则P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝＝， 则X分布列为 X 4 3 2 P 所以得分期望为E(X)＝4×＋3×＋2×＝.故选A. 6．(2025·河南模拟)一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望和方差分别为E，D；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X2，期望和方差分别为E，D.则下列判断正确的是(　　) A．E<E　　B．E>E C．D>D D．D<D 答案　D 解析　①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为X1，∴X1的可能取值是0，1，2，3， 则P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝， 故随机变量X1的概率分布列为 X1 0 1 2 3 P 则数学期望为E＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 方差为D＝2×＋2×＋2×＋2×＝. ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为＝， 则X2～B，故E＝3×＝，D＝3××＝， 故E＝E，D<D.故选D. 二、多项选择题 7．(2025·德州模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是(　　) A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是 B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则E＝2 C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 答案　AD 解析　对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是＝＝，故A正确； 对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即X～B，∴E＝6×＝4，故B错误； 对于C ，第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误； 对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为， 所以取球3次没有取到白球的概率为3＝， 所以至少有一次取到白球的概率为1－＝，故D正确．故选AD. 8．(2025·徐州模拟)下列说法正确的有(　　) A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量X的数学期望E＝2025，则E＝2025 C．若随机变量X的方差D＝2，则D(2X＋2025)＝8 D．随机变量X～B则P(X≤1011)＝P(X≥1013) 答案　AC 解析　A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：E＝E－1＝2024，故B错误； C选项：D＝22D＝8，故C正确； D选项：因为X～B，所以P(X＝k)＝C·0.5k·2025-k＝C0.52025， 根据组合数的对称性可知，P＝P，故D错误．故选AC. 三、填空题 9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是________． 答案　 解析　依题意，这20件产品中有20－3＝17件合格品， 所以该商家接收这批产品的概率为P＝＝， 故商家拒收这批产品的概率为1－P＝1－＝. 10．(2025·湖南常德模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，年级测评分值X近似服从正态分布N(72，25).为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且P(67≤X≤n)＝0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为________人． (附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973) 答案　11 解析　∵P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545， 又P(67≤X≤n)＝0.8186＝0.9545－， ∴n＝82，即P(67≤X≤82)＝0.8186， 由已知，该班在[67，82)内抽取了11人， 他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81. 四、解答题 11．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数X的概率分布； (2)乙所得分数Y的概率分布． 解　(1)由题意，甲能答对10道试题中的6题，且X为甲答对随机抽出的3题的试题数， 则随机变量X可能取的值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由题意随机变量Y可能取的值为5，10，15， 所以P(Y＝5)＝＝，P(Y＝10)＝＝，P(Y＝15)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 5 10 15 P 12.(2025·安徽合肥模拟)我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展.2024年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到90%，该公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数(总分1000分，分数越高质量越好)：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994.假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布N，并把这10个样本质量分数的平均数作为μ的值． (1)求μ的值； (2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940? (3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有ξ个零部件的质量分数在内，则n为何值时，P的值最大？ 参考数据：若X～N，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68. 解　(1)＝900＋(28＋33＋45＋50＋59＋67＋67＋75＋82＋94)＝960， 所以μ＝960. (2)由(1)知，X～N， P＝P＝≈＝0.16. 所以该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为0.16×1000＝160. (3)每个零部件的质量分数在内的概率为P≈0.68， 由题意可知ξ～B， 则P＝C×0.6810×0.32n-10， 设f＝C×0.6810×0.32n-10(n≥10)， 则＝＝. 令>1，得n<≈13.7， 所以当n≤13时，f>f， 令<1，得n>≈13.7， 所以当n≥14时，f<f， 所以n＝14时，f最大，故使P最大的n的值为14. 学科网（北京）股份有限公司 $$