课时作业(81)离散型随机变量及其分布列、数字特征(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(八十一)　离散型随机变量及其分布列、数字特征 基础过关练 一、单项选择题 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则X的均值E(X)等于(　　) A．　　　　　　　　　B．2 C． D．3 答案　A 解析　由题意得＋a＋＝1，解得a＝， 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 2．(2025·西安测试)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E＝－2，则a等于(　　) A．－3 B．－2 C． D．3 答案　A 解析　结合题意：E＝1×＋2×＋3×＝， 因为Y＝aX＋3，所以E＝aE＋3＝a＋3＝－2，解得a＝－3.故选A. 3．已知随机变量X的分布列如表所示，则E的值为(　　) X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A.4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 答案　B 解析　由0.2＋A＋0.4＝1得A＝0.4， 所以E＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2， 所以E＝2E(X)＋3＝2×2.2＋3＝7.4.故选B. 4．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 答案　A 解析　由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29； E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1， D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6， 故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)， 即甲产业收益的期望大，风险高． 5．(2025·杭州模拟)某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止．设某学生一次实验成功的概率为p(0<p<1)，实验次数为随机变量X，若X的数学期望E>1.56，则p的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　X的所有可能取值为1，2，3， P＝p，P＝p， P＝(1－p)2， 由E＝1×p＋2×p＋3×(1－p)2＝p2－3p＋3>1.56， 解得p<0.6或p>2.4， 又因为0<p<1，所以0<p<0.6.故选A. 6．随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为(　　) A．10 B．117 C．38 D．35 答案　C 解析　∵P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3， ∴＋＋＝1，解得c＝， ∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝， ∴D(ξ)＝×＋×＋×＝， ∴D(9ξ－3)＝92D(ξ)＝81D(ξ)＝38. 二、多项选择题 7．已知随机变量X的分布列为： X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E＝7.5，则以下结论正确的是(　　) A．a无法确定 B．b＝0.4 C．E＝52.5 D．E＝7.9 答案　BCD 解析　由分布列的性质，可得0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，故B正确； 又由E＝4×0.3＋0.1a＋9×0.4＋10×0.2＝6.8＋0.1a＝7.5，解得a＝7，故A不正确； 由均值的性质，可知E＝aE＝7×7.5＝52.5，故C正确； 又由E＝E＋b＝7.5＋0.4＝7.9，故D正确．故选BCD. 8．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是(　　) A．当n＝3时，P＝ B．当n＝4时，P＝ C．当n＝k(k≥2且k∈N*)时，P(X＝k，Y＝1)＝ D．当n＝2时，Y的均值为 答案　BCD 解析　对于选项A：当n＝3时，P＝，P＝， 则P＝P·P(Y＝1|X＝2)＝×＝，故A错误； 对于选项B，当n＝4时，由X＋Y＝4，X≥Y，可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2， 所以P＝P＋P(X＝2，Y＝2)＝×＋×＝，故B正确； 对于选项C，当n＝k(k≥2且k∈N*)时，P(X＝k)＝，P＝，则P(X＝k，Y＝1)＝，故选项C正确； 对于选项D，当n＝2时，Y的可能取值为1，2， 则P＝P＋P(X＝2，Y＝1)＝×1＋×＝， P＝P＝×＝， 所以Y的均值为1×＋2×＝，故D正确．故选BCD. 三、填空题 9．(2025·河东模拟)设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知E＝，则2m＋n＝________． 答案　 解析　依题意有 解得m＝n＝， 则2m＋n＝2×＋＝. 10．(2025·福州联考)随机变量X的概率分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若随机变量X的期望E(X)＝，则其方差D(X)＝________． 答案　 解析　因为a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，又由分布列的性质，则a＋b＋c＝1， 所以得b＝， 又因为随机变量的均值E＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝且a＋c＝， 故解得a＝，c＝， 所以D＝×2＋×2＋×2＝. 四、解答题 11．(2025·四川联考)为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元．已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为，，，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立． (1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； (2)记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望． 解　(1)由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为×＋×＋×＝. (2)由题意，兑换A，B，C三种商品所需的积分分别为800，900，1000， 则X的取值可能为0，100，200，300，400， P＝×＝， P＝×＋×＝， P＝×＋×＋×＝， P＝×＋×＝， P＝×＝， 则X的分布列为 X 0 100 200 300 400 P E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＝250. 12．(2025·上饶模拟)某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示．在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同． 时段 新闻点击量 第1天到 第15天 ↑ － ↑ ↓ ↑ － ↓ ↑ － ↓ ↑ ↓ － ↓ ↓ 第16天到 第30天 － ↑ － ↑ － ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ － ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率． (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记X表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X的分布列和数学期望E； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“ζ＝1”表示该天新闻点击量“上涨”，“ζ＝0”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“η＝1”表示该天新闻点击量“上涨”，“η＝0”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差D(ζ)，D(η)大小关系． 解　(1)30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为＝. (2)前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故X的可能取值为0，1，2， 则P＝×＝，P＝×＋×＝，P＝×＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P E＝0×＋1×＋2×＝. (3)D(ζ)<D(η)，理由如下： 由(2)知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故P＝＝，P＝＝， 则E＝×1＋×0＝，D＝2×＋2×＝， 这40天中点击量上涨的天数为12＋6＝18， 故P＝＝，P＝＝， 则E＝×1＋×0＝，D＝2×＋2×＝， 由于<，故D(ζ)<D(η). 考能提升练 13.(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 m 1 P 当m在(0，1)上增大时，则(　　) A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大 C．D(ξ)先增大后减小，最大值为 D．D(ξ)先减小后增大，最小值为 答案　BD 解析　由题意得，＋＋＝1，解得a＝1， E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋， 所以当m在(0，1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确； D(ξ)＝ ＝＋， 所以当m在(0，1)上增大时，D(ξ)先减小后增大， 当m＝时，D(ξ)取得最小值，故C错误，D正确． 14．袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球．每次从中任取2个球，然后放回2个红球．设第一次取到白球的个数为ξ，则ξ的均值E(ξ)＝________；第二次取到1个白球1个红球的概率为________． 答案　　 解析　由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0，1，2， 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 记事件Ai：第一次取到的白球有i个，其中i＝0，1，2，则P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝， 记事件B：第二次取到1个白球1个红球， 则P(B|A0)＝＝， P(B|A1)＝＝， P(B|A2)＝＝， 由全概率公式可得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$