课时作业(79)随机事件与概率(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十九)　随机事件与概率 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·长春模拟)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为(　　) A．　　　　　 　　　B． C． D． 答案　A 解析　当x＝1，2时，这6个点数的中位数为3，当x＝3时，这6个点数的中位数为3，5，当x＝4时，这6个点数的中位数为4，当x＝5，6时，这6个点数的中位数为4.5， 故由古典概型概率公式可得：P＝.故选A. 2．(2025·凉山模拟)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　不大于10的素数有2，3，5，7， 从中任取两个数的试验的样本空间Ω＝，共6个样本点， 其中和为偶数的样本点有，，，共3个， 所以和为偶数的概率为＝.故选D. 3．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　记高一2名学生分别为A，B；高二2名学生分别为a，b.从这4名学生中随机选2名有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)，共6种选法，其中这2名学生来自不同年级有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，共4种选法， 所以这2名学生来自不同年级的概率为＝. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是(　　) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 答案　D 解析　“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况， 故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确， A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”， 故A∪B≠B∪D，故D错误． 5．(2025·佛山模拟)一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球．若取出的2个球都是红球的概率为，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．12 D．15 答案　A 解析　一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则＝， 解得n＝4(负值舍去).故选A. 6．(2025·北京模拟)某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是(　　) A．规则一和规则二 B．规则二和规则三 C．规则一和规则三 D．只有规则一 答案　C 解析　对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1，黑2， 则随机取出2个球的所有可能的情况有： (红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)，共6种， 其中同色的情况有2种， ∴甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记3个红球分别为红1，红2，红3， 则随机取出2个球所有可能情况有： (红1，红2)，(红1，红3)，(红1，黑)，(红2，红3)，(红2，黑)，(红3，黑)，共6种， 其中同色的情况有3种， ∴两人发球的可能性均为，是公平的， ∴对甲、乙公平的有规则一和规则三．故选C. 二、多项选择题 7．(2025·成都模拟)一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(A＋B)＝ D．P(A∩B)＝ 答案　ACD 解析　A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，共6个样本点， 则A＝{3，4，5，6}，共4个样本点，所以P(A)＝＝，故A正确； B：B＝{1，3，5}，共3个样本点，所以P(B)＝＝，故B错误； C：由选项AB知，A＋B＝{1，3，4，5，6}，共5个样本点，所以P(A＋B)＝，故C正确； D：由选项AB知，A∩B＝{3，5}，共2个样本点，所以P(A∩B)＝＝，故D正确．故选ACD. 8．(2025·杭州模拟)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则(　　) A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B．事件A，B间的关系为A⊆B C．事件A∪B发生的概率为 D．事件A∩B发生的概率为 答案　CD 解析　用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况， 则所有的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种， 其中满足事件A的结果有：，，，，，，，，，，，共11种， 其中满足事件B的结果有：，，，，，，，，共8种，故选项A错误； 因为事件B的结果均在事件A中包含，故B⊆A，故选项B错误； 因为A∪B＝A，所以A∪B的结果数有11种， 所以P＝，故选项C正确； 因为A∩B＝B，所以A∩B的结果数有8种， 故P＝＝，故选项D正确．故选CD. 三、填空题 9．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算，则其结果恰为2的概率是________． 答案　 解析　由题意得，任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，共有6种可能结果， 若＝2，则x＝6或x＝2，共有2种可能结果， 所以所求概率为＝. 10．(2025·广东联考)某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为________． 答案　 解析　设装变形金刚玩具的盒子分别为A，B，C，D，装积木玩具的盒子为E.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有 (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)， 共10种不同方法； 恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有(A，E)，(B，E)，(C，E)，(D，E)，共4种不同方法，故所求概率P＝＝. 四、解答题 11．(2024·深圳模拟)某食品公司在中秋节来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个月饼，其中有4个五仁月饼和3个枣泥月饼． (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率． 解　(1)一次取出2个月饼，共有C＝21(种)方法，其中两个都是五仁的有C＝6(种)方法，两个都是枣泥的有C＝3(种)方法，则两个月饼为同一种口味的概率为＝. (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，其中第1次、第2次取到的都是五仁月饼有4×3＝12(种)方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率是＝. (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，第1次取到五仁、第2次取到枣泥月饼的方法有4×3＝12(种)，第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有3×2＝6(种)，所以第2次取到枣泥月饼的概率为＝. 12．(2025·湖南联考)长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2024年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图(如图)，观察图中信息，回答下列问题： (1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率． 解　(1)＝45×0.1＋55×0.26＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.08＋95×0.06＝66.8， 所以本次考试成绩的平均分约为66.8； 因为成绩在的频率为(0.01＋0.026＋0.02)×10＝0.56， 成绩在的频率为0.56＋0.03×10＝0.86， 所以第71百分位数位于， 设其为x，则0.56＋×0.03＝0.71， 解得x＝75，所以第71百分位数为75. (2)第5组的人数为：50×0.008×10＝4人，可记为A，B，C，D； 第6组的人数为：50×0.006×10＝3人，可记为a，b，c， 则从中任取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种情况， 其中至少有1人成绩优秀的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况． 所以至少有1人成绩优秀的概率P＝＝. 考能提升练 13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　C 解析　由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法；②220和284在4个数这一组中，有C种分组方法．故所求概率P＝＝. 14．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如果某人收到的验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________． 答案　 解析　由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1＝2，2<a2<a3<a4， ∴a2，a3，a4从3，4，5，6，7，8，9中选， 选出3个数，让其按照从小到大的顺序有 C＝35(种)排法， 又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)排法， ∴它是首位为2的递增型验证码的概率为 ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$