课时作业(78)二项式定理(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十八)　二项式定理 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·沈阳模拟)(x－1)5的展开式中含x2的项是(　　) A．－5x2　　　　　　B．5x2 C．－10x2 D．10x2 答案　C 解析　(x－1)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·x5-k·(－1)k，令5－k＝2，得k＝3，所以含x2的项是T4＝C·x2·3＝－10x2.故选C. 2．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式n的展开式的常数项是(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 答案　B 解析　由6×60%＝3.6，可知n＝8， 所以二项式为8， 其展开式的通项为C·8-r·r＝C·r·x， 令＝0，得r＝2， 所以常数项为C·2·x0＝7.故选B. 3．在(x－y)6的展开式中，含x4y3项的系数为(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 答案　A 解析　(x－y)6的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6-rr， 令r＝3，则T4＝Cx33＝－20x3y3， 所以(x－y)6的展开式中，含x4y3项为x·T4＝－20x4y3，系数为－20.故选A. 4．(2025·滨州模拟)若5的展开式中x2的系数为40，则k＝(　　) A．2 B．±2 C．4 D．±4 答案　B 解析　5的展开式的x2项为C(－kx)2＝10k2x2， 因为5的展开式中x2的系数为40， 所以10k2＝40，解得k＝±2.故选B. 5．(2025·辽宁实验中学模拟)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则＋＋＋＋＝(　　) A．31 B．1023 C．1024 D．32 答案　B 解析　由二项式5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－3x)r＝(－3)r·Cxr， 所以，当r＝0，2，4时，可得a0，a2，a4为正数，当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5为负数， 令x＝0，可得a0＝1， 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝5＝1024， 所以＋＋＋＋＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)－a0 1024－1＝1023.故选B. 6．已知6的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C6-r·r＝C·ar·x18-4r， 由题可知解得<a<.故选A. 二、多项选择题 7．若(2－x3)(x＋a)5的展开式中各项系数和为32，则下列说法正确的是(　　) A．a＝1 B．展开式中x4的系数为15 C．展开式中x4的系数为5 D．展开式中常数项为2 答案　ACD 解析　由题可得(2－13)(1＋a)5＝32， 所以a＝1，故A正确； 所以(2－x3)(x＋1)5＝2(x＋1)5－x3(x＋1)5. 又(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5-k， 所以(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2C－C＝5，故B错误，C正确； 展开式中常数项为2C＝2，故D正确． 8．(2025·佛山模拟)若x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，其中ai(i＝0，1，…，5)为实数，则(　　) A．a0＝1 B．a3＝10 C．a1＋a3＋a5＝－16 D．a1＋a2＋…＋a5＝1 答案　AC 解析　令x＝1可得a0＝1，A正确． x5＝5，其展开式的第三项是T3＝C3＝－103，所以a3＝－10，B不正确． 令x＝0，可得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝0，所以a1＋a2＋…＋a5＝－1，D不正确． 令x＝2可得a0－a1＋a2＋…－a5＝32，与a0＋a1＋a2＋…＋a5＝0相减可得a1＋a3＋a5＝－16，C正确．故选AC. 三、填空题 9．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 答案　5 解析　由题展开式通项公式为Tr＋1＝C10-rxr，0≤r≤10且r∈Z， 设展开式中第r＋1项系数最大，则 解得即≤r≤，又r∈Z，故r＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5. 10．(2025·潍坊模拟)已知(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．(用数字作答) 答案　33 解析　因为(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6. 令x＝0，得a0＝－1； 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64，① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝0，② ①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝25＝32， 所以a2＋a4＋a6＝25－a0＝33. 四、解答题 11．(2025·吉林模拟)己知n的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解　(1)由题意得：2n＝64，解得n＝6. 通项公式Tk＋1＝C6-kk＝C26-kx6-， 令6－＝0，可得k＝4.则常数项为T5＝C26-4x0＝60. (2)n是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为T4＝C26-3x6-＝160x. 12．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，________． (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值． 解　(1)若选①： 因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8. 若选②： 因为第4项与第6项的二项式系数相等， 所以C＝C⇒n＝8. 若选③： 因为奇数项的二项式系数的和为128， 所以2n-1＝128，解得n＝8. 所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝， 则有＝a0＋＋＋…＋， 即有a0＋＋＋…＋＝0， 令x＝0，得a0＝1， 所以＋＋…＋＝－a0＝－1. 综上所述，＋＋…＋＝－1. (2)由(1)可知，n＝8， (2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7， 令x＝1， 则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16. 考能提升练 13.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　) A．由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想C＝C B．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C＝C＋C C．第9条斜线上各数之和为55 D．在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小 答案　ABD 解析　根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C＝C，C＝C＋C成立，故A，B正确； 第1条斜线上的数为C，第2条斜线上的数为C，第3条斜线上的数为C，C，第4条斜线上的数为C，C，第5条斜线上的数为C，C，C，第6条斜线上的数为C，C，C，第7条斜线上的数为C，C，C，C，…， 由此，归纳得到，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C， 第(2n＋1)(n∈N)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C. 所以第9条斜线上各数为C，C，C，C，C，其和为C＋C＋C＋C＋C＝1＋7＋15＋10＋1＝34，故C错误； 在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D正确． 14．(2025·石家庄模拟)已知n的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则n的展开式中的系数为(　　) A．－294 B．－826 C．－840 D．－854 答案　D 解析　由题知，1＋C＋C＝29，解得n＝7或n＝－8(舍去). 则7的展开式的通项Tr＋1＝C7-rr＝rCx， 当3＋中取3时，7的展开式中取含的项，令＝－1，解得r＝3，3×3C＝－840； 当3＋中取时，7的展开式中取含x2的项，令＝2，解得r＝1，C＝－14. 所以n的展开式中的系数为－840－14＝－854.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$