课时作业(76)计数原理(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十六) 计数原理 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·甘肃白银模拟)甲、乙两人从3门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A．6种 B．12种 C．3种 D．9种 答案 A 解析 ∵甲、乙两人从3门课程中各选修1门， ∴由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有3×2＝6(种).故选A. 2．(2025·大庆模拟)完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有4种不同的方法，在第2类方案中有5种不同的方法，在第3类方案中有6种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N＝( ) A．15 B．6 C．24 D．120 答案 A 解析 由分类加法计数原理得：N＝4＋5＋6＝15.故选A. 3．“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人．同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为( ) A．16 B．12 C．4 D．3 答案 A 解析 根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为4×4＝16.故选A. 4．有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为( ) A．243 B．125 C．60 D．120 答案 A 解析 每名学生都有3种选择方法， 所以不同的报名方法的种数为35＝243.故选A. 5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ) A．48 B．18 C．24 D．36 答案 D 解析 正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).故选D. 6．(2025·邯郸模拟)有序数对满足a，b∈，－1，0，2 (1)，且使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则这样的有序数对的个数为( ) A．15 B．14 C．13 D．10 答案 A 解析 ①当a＝0时，有x＝－2 (b)为实根，则b＝－2 (1)，－1，0，2有4种可能； ②当a≠0时，方程有实根，所以Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1. 当a＝－2 (1)时，b＝－2 (1)，－1，0，2有4种． 当a＝－1时，b＝－2 (1)，－1，0，2有4种． 当a＝2时，b＝－2 (1)，－1，0有3种． 所以，有序数对的个数为4＋4＋4＋3＝15.故选A. 7．在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( ) A．24 B．48 C．72 D．96 答案 C 解析 分两类情况： (1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法． (2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法． 综上，不同的涂色方法共有48＋24＝72(种)涂法． 8．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线中能构成异面直线的对数为( ) A．18 B．30 C．36 D．54 答案 C 解析 如图，分以下几类： 棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)； 棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)； 底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有6×2＝12(对)； 底面边与底面边之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)， 侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有2 (6×2)＝6(对)， 所以共有6＋6＋12＋6＋6＝36(对). 二、多项选择题 9．(2025·茂名模拟)现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是( ) A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 答案 ABD 解析 A．从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，所以该选项正确； B．若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，所以该选项正确； C．若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，所以该选项错误； D．若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，所以该选项正确．故选ABD. 10．(2025·枣庄模拟)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是( ) A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 答案 ABC 解析 对于A，选1人为负责人的选法种数：6＋7＋8＋9＝30，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：6×7×8×9＝3024，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择， 所以不同的选法有：43－33＝37，故D错误．故选ABC. 三、填空题 11．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是________． 答案 420 解析 由题设，四棱锥S － ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法； 当S，A，B染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法． 故不同的染色方法有60×7＝420种． 12．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为________． 答案 52 解析 在8个数中任取2个不同的数共可组成8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4个数值，要减去4， 即满足条件的对数值共有56－4＝52(个). 考能提升练 13．(2025·佛山联考)某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有( ) A．720种 B．1 440种 C．1 560种 D．2 520种 答案 C 解析 如图，不同的布置方案分两类： ①A与C布置相同的花卉． 先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安排D，有4种不同的选择，共有6×5×4×4＝480(种)布置方案． ②A与C布置不同的花卉． 先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B，有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择，共有6×5×4×3×3＝1 080(种)布置方案． 所以不同的布置方案共有480＋1 080＝1 560(种). 14．“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数n′与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有( ) A．648个 B．720个 C．810个 D．891个 答案 D 解析 根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有9×10×10＝900种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900－9＝891种．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$