课时作业(75)列联表与独立性检验(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十五)　列联表与独立性检验 一、单项选择题 1．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　) A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 答案　D 解析　对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误； 对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误； 对于C，99%是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误； 对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确．故选D. 2．(2025·郑州模拟)某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名．则完成上面的列联表数据错误的是(　　) A．a＝18　　　　　　 　 B．b＝19 C．c＋d＝50 D．f－e＝－2 答案　D 解析　因为a＋7＝c＝25，6＋b＝d＝25， a＋6＝e，7＋b＝f， 所以a＝18，b＝19，e＝24，f＝26，f－e＝2.故选D. 3．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表(单位：天)，下列小波对地区A天气的判断不正确的是(　　) 日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式：χ2＝. 临界值参照表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”， 据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为夜晚会下雨 答案　D 解析　由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为＝，A正确； 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为＝，B正确； χ2＝≈19.05>6.635，因此据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．故选D. 4．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．整理所得数据后发现，若依据小概率值α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据小概率值α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2的值可能为(　　) 附表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.4.238 B．4.972 C．6.687 D．6.069 答案　D 解析　由题知χ2∈[5.024，6.635)，结合选项，χ2的值可能为6.069. 5．(2025·济南模拟)在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的3＋3模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术(含信息技术和通用技术)7门课中选考3门．某校学生选课情况如下列联表一和列联表二(单位：人). 表一： 选物理 不选物理 总计 男生 340 110 450 女生 140 210 350 总计 480 320 800 表二： 选生物 不选生物 总计 男生 150 300 450 女生 150 200 350 总计 300 500 800 试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关(　　) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.选物理与性别有关，选生物与性别有关 B．选物理与性别无关，选生物与性别有关 C．选物理与性别有关，选生物与性别无关 D．选物理与性别无关，选生物与性别无关 答案　C 解析　由题意，先分析物理课是否与性别有关： ∵χ＝＝103.7， 结合题干表格数据，x0.005＝7.879， ∴χ>x0.005， 因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关． 再分析生物课是否与性别有关： ∵χ＝＝7.619， 结合题干表格数据，x0.005＝7.879， ∴χ<x0.005， 因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关．故选C. 6．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 3.841 6.635 7.879 10.828 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为(　　) A．95% B．99.5% C．99.9% D．99% 答案　D 解析　列联表如下所示： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 10 50 60 乙班人数 20 30 50 合计 30 80 110 由表中的数据可得： χ2＝≈7.49, 因为7.49>6.635＝x0.01, 所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为99%. 故选D. 二、多项选择题 7．(2025·深圳模拟)某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人．统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定2×2列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如表所示的2×2列联表，下列结论正确的是(　　) 患肺气肿 不患肺气肿 合计 吸烟 15 不吸烟 120 合计 200 参考公式与临界值表： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.不吸烟患肺气肿的人数为5 B．200人中患肺气肿的人数为10 C．χ2的观测值为11.42 D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“吸烟与肺气肿有关系” 答案　AD 解析　200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1， 故肺气肿患者共有200×0.1＝20(人)， 由于吸烟患肺气肿的人数为15， 故不吸烟患肺气肿的人数为5，故A正确，B错误； 列联表如下： 患肺气肿 不患肺气肿 合计 吸烟 15 60 75 不吸烟 5 120 125 合计 20 180 200 则χ2＝＝≈13.33，故C错误； 由于13.33>10.828，故依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，故D正确． 8．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为 C．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 答案　ABD 解析　由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人， 故男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60(人)， 故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A正确； 女生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40(人)，故从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为＝，故B正确； 由题意结合男、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表如下： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 100 60 160 女 100 40 140 合计 200 100 300 则χ2＝≈2.679<2.706＝x0.1， 故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，故C错误； 由题意可得 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 200 120 320 女 200 80 280 合计 400 200 600 则此时χ2＝≈5.357>3.841＝x0.05， 故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确． 三、填空题 9．在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2≥3.841时，至少有95%的把握说明两个事件有关，当χ2≥6.635时，至少有99%的把握说明两个事件有关，当χ2<3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与心脏病的调查中，共调查了200人，经计算χ2＝20.87.根据这一数据分析，我们可认为打鼾与患心脏病之间是________的(填“有关”或“无关”). 答案　有关 解析　因为χ2＝20.87>6.635， 所以至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关．可认为打鼾与患心脏病之间是有关的． 10．(2025·广州一模)为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 未患病 患病 合计 服用 a 50－a 50 未服用 80－a a－30 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．(其中a≥40且a∈N*) (参考数据：≈2.58，≈3.29) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案　46 解析　由题意可得χ2＝ ≥6.635， 整理得(100a－4000)2≥502×42×6.635， 所以100a－4000≥200×≈200×2.58＝516或100a－4000≤－200×≈－200×2.58＝－516， 解得a≥45.16或a≤34.84， 又因为a≥40且a∈N*，所以a≥46， 所以a的最小值为46. 四、解答题 11．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是＝0.6. (2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得 χ2＝ ＝≈10.256>6.635＝x0.01， 所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 12．(2025·广州模拟)某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生进行消防安全知识测试(满分100分)，所得分数统计如表一所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如表二所示． 表一： 得分 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 50 100 200 400 250 表二： 男生 女生 得分不低于80分 4a b 得分低于80分 a b (1)估计这次测试学生得分的平均值；(每组数据以所在区间的中点值为代表) (2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？ 参考公式：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： α 0.01 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 解　(1)依题意，抽取的学生人数为50＋100＋200＋400＋250＝1 000，则估计这次测试学生得分的平均值为55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝82. (2)依题意得解得 可得2×2列联表： 男生 女生 合计 得分不低于80分 400 250 650 得分低于80分 100 250 350 合计 500 500 1 000 零假设为H0：男生和女生对消防安全知识的掌握情况无差异． 则χ2＝≈98.901>10.828＝x0.001， 故依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异，此推断犯错误的概率不超过0.001. 学科网（北京）股份有限公司 $$