课时作业(74)一元线性回归模型及其应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十四)　一元线性回归模型及其应用 一、单项选择题 1．变量y，x之间有如下对应数据： x 4 4.5 5.5 6 y 12 11 10 m 已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为y＝－1.4x＋17.5，则m的值是(　　) A．10　　　　　　　 　B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　＝＝5，＝＝， 则有＝－1.4×5＋17.5，解得m＝9.故选B. 2．(2025·绵阳模拟)已知变量x，y之间的线性回归方程为＝2x＋1，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是(　　) A．m＝17 B．变量y与x是负相关关系 C．该回归直线必过点(5，11) D．x增加1个单位，y一定增加2个单位 答案　C 解析　依题意，＝＝5，＝＝， 由＝2×5＋1，解得m＝17.8，A错误； 回归方程＝2x＋1中，2>0，则变量y与x是正相关关系，B错误； 由于样本中心点为(5，11)，因此该回归直线必过点(5，11)，C正确； 由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误．故选C. 3．下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是(　　) 　　　　A 　　　　B 　　　　C 　　　　D 答案　D 解析　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高．故选D. 4．(2025·滨州模拟)某学校一同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y(单位：人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 36 由上表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程＝x＋2.6，则下列结论不正确的是(　　) A．x与y有正相关关系 B．经验回归直线经过点 C．＝2.4 D．x＝9时，残差为0.2 答案　C 解析　由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确； ＝＝8， ＝＝25， 样本点中心为，经验回归直线经过点，故B正确； 将样本点中心代入直线方程，得25＝8＋2.6，所以＝2.8，故C错误； ＝2.8x＋2.6，当 x＝9时，＝27.8，y－＝28－27.8＝0.2，故D正确．故选C. 5．为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y(单位：万元)的数据整理成如图所示的散点图： 则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bex C．y＝a＋ D．y＝a＋bx2 答案　C 解析　观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确． 6．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y(单位：百只)的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型y＝e1+at(a∈R)对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为(　　) 第t个月 1 2 3 繁殖数量y e1.4 e2.2 e2.4 A.e3百只　　　　　　B．e3.5百只 C．e4百只 D．e4.5百只 答案　C 解析　由题意，y＝e1+at两边取自然对数得ln y＝1＋at， 令u＝ln y，则u＝1＋at. ＝(ln y1＋ln y2＋ln y3)×＝2，＝(t1＋t2＋t3)×＝2， ∵经验回归直线必过点(，)， ∴2＝2a＋1，解得a＝， ∴u＝1＋，则y＝e1+. 当t＝6时，y＝e4. 二、多项选择题 7．(2025·武汉预测)下列有关回归分析的结论中，正确的有(　　) A．若回归方程为＝6－2.5x，则变量y与x负相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 C．若决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D．若散点图中所有点都在直线y＝0.92x－4.21上，则相关系数r＝0.92 答案　ABC 解析　对于选项A：因为回归方程为＝6－2.5x，可知－2.5<0， 所以变量y与x负相关，故A正确； 对于选项B：由线性回归方程的性质可知：回归直线一定经过样本点的中心，故B正确； 对于选项C：决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C正确； 对于选项D：散点图中所有点都在直线y＝0.92x－4.21上，则＝1，且0.92>0，所以变量y与x正相关，即r>0，可知r＝1，故D错误．故选ABC. 8．(2025·揭阳模拟)2024年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第x天的数据如表所示． x 1 2 3 4 5 y 21 10a 15a 90 109 根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为＝20x＋10，则(　　) A．样本相关系数在内 B．当x＝2时，残差为－2 C．点一定在经验回归直线上 D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130 答案　AD 解析　由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，A正确； 根据题意得＝＝3， ＝＝44＋5a， 故44＋5a＝20×3＋10，解得a＝5.2， 故当x＝2时，＝20×2＋10＝50，残差为10a－50＝2，B错误； 点即点，当x＝3时，＝20×3＋10＝70， 即点不在经验回归直线上，C错误； 当x＝6时，＝20×6＋10＝130，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，D正确．故选AD. 三、填空题 9．(2025·辽宁实验中学模拟)为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，小明分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数，其数值分别为－0.95，－0.87，0.76，0.92，则这四组数据中线性相关性最强的是________组数据． 答案　甲 解析　根据题意，因为样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强． 甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数分别为－0.95，－0.87，0.76，0.92， 所以甲组数据的线性相关性最强． 10．(2025·安庆模拟)对于数据组(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是i，那么将yi－i称为对应点(xi，yi)的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如表所示的数据： 单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量y/件 84 83 78 m 根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为＝－16x＋a，据计算，样本点(8.4，83)处的残差为1.4，则m＝________． 答案　75 解析　由条件知当x2＝8.4时，2＝83－1.4＝81.6， 代入＝－16x＋a，解得a＝81.6＋16×8.4＝216， 于是＝－16x＋216， 又＝8.5，所以＝80， 即＝80，解得m＝75. 三、解答题 11．(2025·黑龙江鸡西模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2024年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额y/万元 350 440 580 700 880 (1)计算变量x，y的相关系数r(结果精确到0.01)； (2)求变量x，y之间的线性回归方程，并据此预测2024年6月份该公司的直播带货金额． 参考数据：＝590，2＝10， 2＝176400，＝1320，≈664. 参考公式：相关系数r＝，线性回归方程的斜率＝，截距＝－. 解　(1)r＝＝＝≈0.99. (2)因为＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝590，2＝10，(xi－)(yi－)＝1320， 所以＝＝＝132，＝590－132×3＝194， 所以变量x，y之间的线性回归方程为＝132x＋194， 当x＝6时，＝132×6＋194＝986(万元). 所以预测2024年6月份该公司的直播带货金额为986万元． 12．某科技公司为加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入y(单位：亿元)与年份代码x共10组数据，其中年份代码x＝1，2，…，10分别指2014年，2015年，…，2023年．现用模型①y＝bx＋a，②y＝c＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中ti＝，＝i. (xi－)2 (ti－)2 75 2.25 82.5 4.5 (yi－)·(xi－) (yi－)·(ti－) 121.4 28.82 (1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由； (2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程(结果保留2位小数)；根据该模型，求该公司2029年高科技研发投入y的预报值． 附：经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解　(1)应该选择模型②. 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，相应的经验回归方程的预报精度就会越高，所以选模型②比较合适． (2)根据模型②，令t＝，研发投入y与t可用经验回归方程来拟合，有＝＋t. 则＝＝≈6.404， 所以＝－＝75－×2.25＝60.59，则y关于t的经验回归方程为＝6.40t＋60.59. 所以y关于x的非线性经验回归方程为＝6.40＋60.59. 2029年，即x＝16时， ＝6.40＋60.59＝86.19(亿元). 所以该公司2029年高科技研发投入y的预报值为86.19(亿元). 学科网（北京）股份有限公司 $$