课时作业(71)圆锥曲线中的综合问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十一)　圆锥曲线中的综合问题 基础过关练 1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点． (1)若a＝2，求线段AB的长； (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ 解　(1)由题设知，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0， 所以Δ＝16－4×2＝8>0， 则xA＋xB＝－4，xAxB＝2， 所以|AB|＝·＝×＝2. (2)联立直线与双曲线方程得3x2－(ax＋1)2＝1， 整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0， 由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0， 即－<a<，且a≠±， 所以xA＋xB＝，xAxB＝－， 则yAyB＝a2xAxB＋a(xA＋xB)＋1＝－＋＋1＝1， 若以AB为直径的圆经过坐标原点， 则·＝0， 即xAxB＋yAyB＝1－＝0， 所以a＝±1，满足要求． 2．(2025·陕西咸阳模拟)已知P(4，y0)(y0>0)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，过P作圆D：(x－4)2＋y2＝r2(0<r<4)的两条切线(切点为A，B)，交抛物线C分别点M，N，且当r＝1时，＝. (1)求抛物线C的方程； (2)判断直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 解　(1)如图， 易知2＝2＋2， 即y＝()2＋12＝16. ∵y0>0，∴y0＝4，即P(4，4). 代入y2＝2px得 p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)法一： 易知P(4，4)，直线PM，PN的倾斜角互补，斜率相反， 设直线PM：y－4＝k(x－4)，直线PN：y－4＝－k(x－4)， 则⇒y－4＝k， 即ky2－4y－16k＋16＝0. 依题意 yM＋4＝，有yM＝－4，即M. 用－k代替k得N， ∴直线MN的斜率为＝－. 综上知，直线MN的斜率为定值－. 法二：易知P(4，4)，直线PM，PN的倾斜角互补，斜率相反， 设M，N，则由kPM＋kPN＝0得： ＋＝0(y1≠y2)，化简得y1＋y2＝－8. ∴直线MN的斜率为 ＝＝＝－. 综上知，直线MN的斜率为定值－. 考能提升练 3．(2025·南昌模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程； (2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)由题设可知解得a＝3，c＝2，则b2＝a2－c2＝5， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ①若直线MN与x轴垂直， 由对称性可知|x1|＝|y1|， 将点M(x1，y1)代入椭圆方程，解得|x1|＝， 故原点到该直线的距离d＝. ②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m， 由消去y得(9k2＋5)x2＋18kmx＋9m2－45＝0， 由根与系数的关系得 则由·＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 得(k2＋1)＋km＋m2＝0， 整理得45k2＋45＝14m2，则原点到该直线的距离d＝＝＝， 故存在定点P(0，0)，使得P到直线MN的距离为定值． 4．平面内动点M与定点F(0，1)的距离和它到定直线y＝4的距离之比是1∶2. (1)求点M的轨迹E的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2分别交轨迹E于点A，C和B，D，求四边形ABCD面积S的最小值． 解　(1)设M(x，y)， 由题意得＝且y≠4， 化简得4x2＋3y2＝12，即＋＝1. (2)当其中一条直线的斜率不存在时，则|AC|，|BD|一条为长轴长、另一条为过F的通径长， 令y＝1，则＋＝1， 可得x＝±， 故通径长为3，而长轴长为2a＝4， 易得S＝×3×4＝6. 当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝kx＋1， 联立 化简整理，得(3k2＋4)x2＋6kx－9＝0， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， |AC|＝ ＝＝， 由l1⊥l2，则直线l2的斜率为－， 同理|BD|＝， 则S＝|AC|·|BD|＝. 令k2＋1＝t(t>1)， 则S＝＝ ＝＝≥， 当＝，即k＝±1时等号成立， 而<6， 则四边形ABCD面积S的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$