课时作业(70)圆锥曲线中常见结论及应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(七十)　圆锥曲线中常见结论及应用 一、单项选择题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8a2，则C的离心率是(　　) A．　　　　　　 　 　B． C．3 D．5 答案　B 解析　如图，由对称性知MN与F1F2互相平分， ∴四边形MF2NF1为平行四边形， ∵|F1F2|＝|MN|， ∴四边形MF2NF1为矩形， ∴S△NF1F2＝4a2， 又S△NF1F2＝＝4a2，即b2＝4a2， ∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝. 2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　) A． B． C．－1 D．－ 答案　B 解析　∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形， ∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2， ∴＝，且∠AF2O＝45°， ∴kMA＝－1， 又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝. 3．(2025·太原模拟)过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若＝2，则|MN|等于(　　) A．4 B．8 C．9 D．12 答案　C 解析　在抛物线中，由焦点弦的性质可得 解得 所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝9. 4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 答案　A 解析　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈， 则直线l2的倾斜角为＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB|＝＝，|DE|＝＝， ∴|AB|＋|DE|＝＋＝ ＝≥16， 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时，等号成立， 即|AB|＋|DE|的最小值为16. 5．直线l过抛物线C：y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点且S△ABO＝3，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为(　　) A.4 B．8 C．16 D．32 答案　C 解析　不妨令直线l的倾斜角为θ， 则S△ABO＝＝＝3， ∴sin θ＝，取θ＝60°， ∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2， ∴|AB|＝8，|AA′|＝6，|BB′|＝2， |A′B′|＝|AB|sin θ＝4， ∴S四边形ABB′A′＝(|BB′|＋|AA′|)·|A′B′| ＝×(2＋6)×4＝16. 6．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　D 解析　由已知可得F(1，0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)， 则切线AM，AN的方程分别为＋＝1， ＋＝1， 因为切线AM，AN过点A(3，t)， 所以x1＋＝1，x2＋＝1， 所以直线MN的方程为x＋＝1， 因为F(1，0)， 所以1＋＝1， 所以点F(1，0)在直线MN上， 所以M，N，F三点共线， 所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0. 二、多项选择题 7．(2025·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　) A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 答案　BD 解析　设P(x0，y0)，所以＋＝1， 因为e＝＝，所以a＝2c，所以a2＝b2， 所以kPA1·kPA2＝－＝－，所以A错误； 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2tan ＝b2， 所以B正确； 若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2， 即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2， 所以·2c·b>b2， 所以c>b，所以c2>a2－c2，所以e2>， 故e∈，所以C错误； 若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b， 所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)， 所以5e2＋2e－3≤0，故0<e≤，所以D正确． 8．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.线段AB长度的最小值为2 B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切 C．∠HFG＝90° D．∠AMO＝∠BMO 答案　BCD 解析　如图，取AB的中点C，作CD⊥GH，垂足为D， 当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确； ∵直线y＝－1为准线， ∴|CD|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|， 故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切， 故B正确； 又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF， 又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG， ∴∠BFG＝∠MFG， 同理可得∠AFH＝∠MFH， 又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°， ∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH. 即∠HFG＝90°，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在， ∴设直线AB：y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， kAM＋kBM＝＋＝＋ ＝2k＋＝2k＋2·＝0， ∴∠AMO＝∠BMO，故D正确． 三、填空题 9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为____________． 答案　y2＝4x或y2＝16x 解析　抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)， 因为以MF为直径的圆与y轴相切， 所以该圆与y轴相切于点(0，2)， 故圆心的纵坐标为2，则M点的纵坐标为4， 又|MF|＝xM＋＝5， 所以xM＝5－，即M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8. 所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 10．(2025·襄阳模拟)如图，过双曲线C：x2－＝1(b>0)右支上一点P作双曲线的切线l，分别交两渐近线于A，B两点，则|AB|的最小值为________． 答案　2b 解析　设点P(x0，y0)，A(x1，y1)是切线与渐近线在第一象限的交点，B(x2，y2)是切线与渐近线在第四象限的交点， 则在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x－＝1， 双曲线的渐近线方程为y＝±bx， 联立⇒ 所以点A， 同理可得B， 则|AB|＝ ＝2， 又因为x0≥1， 所以|AB|≥2＝2b， 当且仅当x0＝1时取等号，即|AB|min＝2b. 学科网（北京）股份有限公司 $$