课时作业(35)解三角形中的最值与范围问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(三十五)　解三角形中的最值与范围问题 一、单项选择题 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　B．(2，4) C．(0，4) D．(4，3) 答案　B 解析　由题意，△ABC有两解需满足a sin B<b<a，即2<b<4. 2．(2025·襄阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则的最小值为(　　) A． B． C．1 D．－3 答案　B 解析　∵c2＝6S，∴c2＝6×ab sin C＝3ab sin C， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C， 得a2＋b2－2ab cos C＝3ab sin C， 即a2＋b2＝2ab cos C＋3ab sin C， 两边同除以ab得＋＝2cos C＋3sin C ＝sin (C＋φ)≤ ，其中tan φ＝， 设＝x，x>0，即0<x＋≤ ， ∴≤x≤ ， ∴的最小值为. 3．(2025·江西师大附中模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝4，sin ∠ABC＝2sin ∠BAC，M为AB的中点，则cos ∠BMC的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　在△ABC中， 由sin ∠ABC＝2sin ∠BAC及正弦定理得b＝2a，而M为AB的中点，c＝4， 在△ACM，△BCM中，由余弦定理得 整理得CM2＝＝， 2c·CM cos ∠BMC＝3a2，即有a2>且∠BMC为锐角， cos ∠BMC＝＝＝， 当＝，即a＝时，(cos ∠BMC)min＝. 4．(2025·湖北武汉联考)已知△ABC的面积为S, ∠BAC＝2α， AD是△ABC的角平分线， 则AD长度的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　△ABC中，∠BAC＝2α， AD是角平分线得 S△ABD＝AB·AD sin α，S△ACD＝AC·AD sin α，S△ABC＝AB·AC sin 2α. 而S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 因此AB·AC sin 2α＝AB·AD sin α＋AC·AD sin α 得AD＝ ≤＝cos α. 而AB·AC＝， 所以ADmax＝cos α＝ ＝ .故选D. 二、多项选择题 5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝c sin C－b sin B，则下列说法正确的是(　　) A．C＝ B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6 D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A－sin B)＝c sin C－b sin B， ∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2， 即a2＋b2－c2＝ab. 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C＝＝， ∵0<C<π，∴C＝，故A错误； 对于B选项，由题可知ab sin C＝ab＝， ∴ab＝4， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4， ∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4， ∵ab≤，∴≤4， ∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立， ∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0， 解得a＝， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误． 6．(2025·长春模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c－2b cos A，则(　　) A．A＝2B B．B的取值范围是 C．若b＝3，c＝4，则a＝ D．的取值范围是(，) 答案　ACD 解析　对于A，在△ABC中，由正弦定理，b＝c－2b cos A可化为sin B＝sin C－2sin B cos A. 因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin (A＋B)， 所以sin C＝sin A cos B＋sin B cos A， 所以sin B＝sin (A－B). 所以B＝A－B，即A＝2B，或B＋A－B＝π，即A＝π， 这与A为△ABC的内角相矛盾，舍去．故A＝2B，故A正确； 对于B，因为△ABC为锐角三角形， 所以所以 解得<B<，故B错误； 对于C，因为A＝2B，由正弦定理得＝， 即＝，所以cos B＝. 因为b＝3，c＝4， 由余弦定理的推论得cos B＝， 所以cos B＝＝， 即＝，即a2＝21， 解得a＝(a＝－舍去)，故C正确； 对于D，由正弦定理，得 ＝＝＝2cos B. 因为<B<，所以<cos B<， 所以<2cos B<， 即的取值范围是(，)，故D正确． 三、填空题 7．(2025·哈尔滨质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边BC上且AD为角A的角平分线，AD＝BD＝2，则边AC的取值范围是________． 答案　 解析　如图，设∠B＝α，则∠BAD＝∠CAD＝α，∠ADC＝2α，∠C＝π－3α， 在△ADC中，由正弦定理得＝，即＝， 所以AC＝＝＝ ＝＝. 在△ABC中，由 即得0<α<， 所以AC＝＝， 由于y＝4cos α－在α∈上单调递减，所以0<4cos α－<3， 所以AC∈. 8．(2025·贵州模拟)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，内角A的角平分线交边BC于D点，且AD＝4.若(2b＋c)cos A＋a cos C＝0，则△ABC面积的最小值是______． 答案　16 解析　∵(2b＋c)cos A＋a cos C＝0， ∴2sin B cos A＋sin C cos A＋sin A cos C＝0， 即2sin B cos A＋sin ＝2sin B cos A＋sin B＝0， 又B∈，sin B>0， ∴2cos A＋1＝0，即cos A＝－，又A∈， ∴A＝， 由题可知S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AD＝4， 所以bc sin ＝×4c sin ＋×4b sin ，即bc＝4， 又bc＝4≥8，即bc≥64，当且仅当b＝c取等号， 所以S△ABC＝bc sin ≥×64×＝16， 即△ABC面积的最小值是16. 四、解答题 9．(2025·江西吉安质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2b sin C＝c sin B－c cos B，若D为AC边上一点，AB⊥BD，BD＝2. (1)求角B； (2)求＋的取值范围． 解　(1)2b sin C＝c sin B－c cos B，由正弦定理可得2sin B sin C＝sin C sin B－sin C cos B， 即sin B sin C＝－sin C cos B， 因为0<C<π，所以sin C≠0，故sin B＝－cos B，所以tan B＝－， 又0<B<π，故B＝. (2)因为AB⊥BD，所以∠DBC＝－＝， 在△BCD中，＝，得CD＝＝， 在△ABD中，＝，得AD＝＝， 故＋＝sin A＋sin C，而∠ABC＝， ∴A＋C＝， 所以＋＝sin A＋sin C＝sin ＋sin C＝cos C＋sin C＝sin ， 由题意知C∈，∴C＋∈， 故sin ∈，即＋的取值范围为. 10．(2025·安徽高三模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋bc. (1)证明：A＝2B； (2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围． 解　(1)证明：由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A. 又a2＝b2＋bc， 所以有b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A， 整理可得b＋2b cos A＝c. 由正弦定理边化角可得，sin B＋2sin B cos A＝sin C. 又sin C＝sin ＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin B＋2sin B cos A＝sin A cos B＋cos A sin B， 整理可得，sin B＝sin A cos B－cos A sin B＝sin (A－B). 因为△ABC为锐角三角形， 所以0<A<，0<B<， 所以B＝A－B，A＝2B. (2)由(1)知，A＝2B，则C＝π－＝π－3B. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<. 根据正弦定理＝＝可得， b＝，a＝. 因为sin C＝sin ＝sin 3B＝sin ＝sin B cos 2B＋cos B sin 2B＝sin B(cos 2B－sin 2B)＋2sin Bcos 2B ＝sin B， 所以b＝＝＝， a＝＝ ＝＝， 所以a＋b＝＋＝. 因为<B<， 所以<cos B<，－1<2cos B－1<－1， ＝<<＝＋1， 所以＋1<a＋b<2， 所以＋3<a＋b＋c<2＋4. 所以△ABC的周长的取值范围为(＋3，2＋4). 学科网（北京）股份有限公司 $$