课时作业(34)解三角形(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(三十四)　解三角形 1．(2025·福州质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设2＝sin 2A＋sin B sin C. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且AD＝1，求4b＋c的最小值． 解　(1)2＝sin 2B＋2sin B sin C＋sin 2C＝sin 2A＋sin B sin C， 即sin 2B＋sin 2C＋sin B sin C＝sin 2A， 由正弦定理可得：b2＋c2＋bc＝a2， 所以cos A＝＝－， 又因为A∈，所以A＝. (2)AD为∠BAC的角平分线，∠BAD＝∠CAD＝. 由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得c·AD·sin ∠BAD＋b·AD·sin ∠CAD＝bc·sin ∠BAC， 又AD＝1，所以b＋c＝bc，故＋＝1， 所以4b＋c＝·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即c＝2b时，4b＋c的最小值为9. 2．(2025·浙江杭州质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a cos B＝2c＋b. (1)求A； (2)若a＝4，b＋c＝2，求△ABC中BC边中线AD长． 解　(1)因为2a cos B＝2c＋b， 由正弦定理得2sin A cos B＝2sin C＋sin B， 即2sin A cos B＝2sin ＋sin B， 即2sin A cos B＝2sin A cos B＋2cos A sin B＋sin B， 所以2cos A sin B＋sin B＝0， 又sin B>0，所以cos A＝－， 又A∈，所以A＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝2－bc， 即16＝20－bc，所以bc＝4， 因为AD为△ABC中BC边的中线， 所以＝， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以AD＝. 3．(2025·海南质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos A＋a cos C＝0. (1)求A； (2)若内角A的角平分线交BC于D点，且AD＝，求△ABC的面积的最小值． 解　(1)由正弦定理可得，2sin B cos A＋sin C cos A＋sin A cos C＝0， 所以2sin B cos A＋sin ＝0，即2sin B cos A＝－sin B， 因为B是△ABC的内角，所以sin B≠0， 得2cos A＝－1，所以cos A＝－， 所以A＝. (2)因为∠BAC＝，AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD＝，又AD＝， 则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得bc sin ＝×c sin ＋×b sin ， 所以bc＝， 又bc＝≥2，则≥2，得bc≥12， 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以S△ABC＝bc sin ＝bc≥×12＝3， 故S△ABC最小值为3. 4．(2025·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知a cos B＋b＝c，b＝2. (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的高． 条件①：sin B＝；条件②：cos B＝－；条件③：△ABC的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)法一：在△ABC中，a cos B＋b＝c， 由正弦定理可得sin A cos B＋sin B＝sin C. 因为A＋B＋C＝180°， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B. 所以sin B＝cos A sin B. 又因为在△ABC中，sin B≠0， 所以cos A＝，所以A＝60°. 法二：在△ABC中，a cos B＋b＝c， 由余弦定理cos B＝， 可得a·＋b＝c， 整理得c2＋b2－a2＝bc， 所以cos A＝＝，解得A＝60°. (2)选条件①，由(1)知0°<B<120°， 在△ABC中，sin B＝，所以B＝45°. 因为A＋B＋C＝180°，所以C＝75°， 所以sin C＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋ cos 45°sin 30°＝， 设BC边上高线的长为h， 则h＝b sin C＝2×＝. 选条件②，cos B＝－<－，所以B>120°， 因为A＝60°，所以A＋B>180°，△ABC不存在． 选条件③，因为S△ABC＝bc sin A ＝c sin 60°＝c＝， 所以c＝1＋， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋4＋2－2×2×(1＋)cos 60°＝6， 所以a＝. 设BC边上高线的长为h， 则h＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$