课时作业(33)正弦定理、余弦定理(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(三十三)　正弦定理、余弦定理 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·吉林通化质检)在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则角C为(　　) A．90°　　　　　　　　B．60° C．45° D．30° 答案　B 解析　由a＝3，b＝4，c＝及余弦定理的推论，得cos C＝＝＝， 因为0°<C<180°，所以C＝60°.故选B. 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，cos A＝－，则△ABC外接圆的半径R为(　　) A．5 B．3 C． D． 答案　C 解析　因为cos A＝－，且A∈(0，π)， 所以sin A＝， 又a＝4，所以2R＝＝＝5，所以R＝. 3．(2025·长沙模拟)在△ABC中，a＝6，b＝6，A＝30°，则最长边c＝(　　) A．6 B．12 C．6或12 D．6 答案　B 解析　在△ABC中，a＝6，b＝6，A＝30°， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，36＝108＋c2－12×c， 化简得c2－18c＋72＝0，解得c＝6或c＝12， 因为c是最长的边，所以c＝12，故选B. 4．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B等于(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意结合正弦定理可得 sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋sin B cos A， 整理可得sin B cos A＝0， 由于B∈(0，π)，故sin B>0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－－＝. 5．(2025·哈尔滨质检)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“60－00”，578密位写成“5－78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab.则角C用密位制表示正确的是(　　) A．2－50 B．5－00 C．10－00 D．20－00 答案　C 解析　因为a2－c2＋b2＝ab， 所以cos C＝＝＝， 又C∈，所以C＝， 由题知，2π＝6000密位，所以＝1000密位， 依题意，1000密位表示为10－00.故选C. 6．(2025·北京模拟)在△ABC中，∠A＝，AB＝4，BC＝a，且满足该条件的△ABC有两个，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　根据题意如下图所示， 易知当BC⊥AC时，BC＝AB sin 30°＝2，若a＝2满足条件的三角形只有一个； 由题可知以B为圆心，a为半径的圆与AC边有两个交点时，即图中C1，C2两点满足题意； 所以可得BC<a<AB，即2<a<4， 所以a的取值范围是.故选C. 二、多项选择题 7．(2025·广东东莞质检)在△ABC中，∠ABC＝，BC＝2，AC＝2，则AB可能的取值有(　　) A． B．2 C．3 D．4 答案　BD 解析　在△ABC中，∠ABC＝，BC＝2，AC＝2， 则由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC， 4＝AB2＋12－4×AB，整理得AB2－6AB＋8＝0， 解得AB＝2或AB＝4.故选BD. 8．(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＋b cos C＝c cos B＋4c cos C，A＝，则的取值可能是(　　) A． B． C．2 D． 答案　BC 解析　因为a＋b cos C＝c cos B＋4c cos C， 由正弦定理得sin A＋sin B cos C＝sin C cos B＋4sin C cos C， 因为sin A＝sin ＝sin B cos C＋cos B sin C，　 所以2sin B cos C＋cos B sin C＝sin C cos B＋4sin C cos C， 即2sin B cos C＝4sin C cos C， 所以2cos C＝0，所以cos C＝0或sin B＝2sin C. 当cos C＝0时，C＝，因为A＝，所以B＝， 所以sin B＝，sin C＝1，则＝＝. 当sin B＝2sin C时，＝＝2. 综上，的值为或2.故选BC. 三、填空题 9．(2025·福州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，且cos A＝，bc＝，则b＋c的值为________． 答案　3 解析　cos A＝＝， 即＝，解得b＋c＝3. 10．(2025·湖南长沙质检)中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为________m. 答案　74 解析　由题设及图知：MC＝MN，AC＝2AB＝74，∠CAM＝45°，则∠AMC＝180°－45°－105°＝30°， 在△ACM中＝⇒＝⇒MN＝74 m． 四、解答题 11．(2025·绵阳南山中学质检)已知函数f＝sin x cos x＋cos 2x＋1. (1)求f的最小正周期； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f＝2，a＋b＝4，且△ABC的面积为，求△ABC外接圆的半径． 解　(1)f＝sin x cos x＋cos 2x＋1 ＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin ＋， ∴f的最小正周期T＝＝π. (2)由f＝2，可得sin ＝， 又0<C<π， ∴<2C＋<，∴2C＋＝， ∴C＝， 由S＝ab sin ＝，得ab＝， 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝2－2ab－2ab×＝12，得c＝2， 由正弦定理得△ABC外接圆的半径R＝×＝2. 12．(2025·鞍山模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，再从条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题． (1)证明：△ABC为等腰三角形； (2)若△ABC的面积为2，点D在线段AB上，且BD＝2DA，求CD的长． 条件①：cos C＝；条件②：cos A＝. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　选择条件①：cos C＝. (1)证明：由3c sin A＝4b sin C和正弦定理得3a＝4b， 由cos C＝和余弦定理得＝＝， ∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形． (2)由(1)得3a＝4b，b＝c， ∵cos ∠ACB＝，∴sin ∠ACB＝， ∴S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c2＝2， ∴c＝b＝3，a＝4. ∵BD＝2DA，∴BD＝2，DA＝1， ∴CD2＝a2＋BD2－2a·BD cos B ＝a2＋BD2－2a·BD cos ∠ACB＝. ∴CD＝. 选择条件②：cos A＝. (1)证明：由3c sin A＝4b sin C和正弦定理得 3a＝4b， 由cos A＝和余弦定理得 ＝＝， ∴b＝c或b＝－c(舍去)， ∴△ABC为等腰三角形． (2)由(1)得3a＝4b，b＝c， ∵cos A＝，∴sin A＝， ∴S△ABC＝bc sin A＝b2＝2， ∴c＝b＝3，a＝4. ∵BD＝2DA，∴BD＝2，DA＝1， ∴CD2＝b2＋DA2－2b·DA cos A＝， ∴CD＝. 考能提升练 13.(2025·河南信阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD＝1，则2a＋c的最小值为(　　) A． B． C．8 D．8 答案　B 解析　由题意可知：∠ABD＝30°， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，即ac×＝×1×c×＋×1×a， 整理得＋＝， 则2a＋c＝ ＝ ≥＝. 当且仅当c＝2a＝时，等号成立． 所以2a＋c的最小值为.故选B. 14．(多选)(2025·山东潍坊质检)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则(　　) A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若AB＝DF，则BD＝DE C．若AF＝3，sin ∠CAF＝，则EF＝2 D．若DE＝BE，则三角形ABC的面积是三角形DEF面积的19倍 答案　BCD 解析　选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则AF＝CF＝BE＝CE＝AD＝BD， 从而F，E，D三点重合，不合题意，故A错误； 在△ABD中，不妨设AB＝DF＝t, 由余弦定理AB2＝BD2＋2－2BD·cos 120°， 7t2＝BD2＋2＋BD·， 解得BD＝t，∴BD＝DE，故B正确； 在△ACF中，sin ∠CAF＝，而∠AFC＝120°， 所以cos ∠CAF＝＝， sin ∠ACF＝sin ＝sin 60°cos ∠CAF－cos 60°sin ∠CAF＝， 由正弦定理得＝，解得CF＝5， 又因为AF＝EC＝3，所以EF＝CF－EC＝2，故C正确； 若DE＝BE，设DE＝BE＝m，BE＝AD＝3m，BD＝2m， 在△ABD中， AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos 120°＝19m2， S△ABC＝AB·BC sin 60°＝19m2×，S△DEF＝DF·DE sin 60°＝m2×， 所以S△ABC＝19S△DEF，故D正确．故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$