课时作业(31)函数y＝A sin (ωx＋φ)(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(三十一)　函数y＝A sin (ωx＋φ) 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·湛江质检)要得到函数y＝cos 的图象，只要将函数y＝cos x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　由三角函数图象的相位变换可知，将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为y＝cos .故选D. 2．(2025·南充模拟)已知函数f＝2sin (ω>0)的最小正周期为π，把函数f的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为(　　) A．y＝2sin 2x　　　　　B．y＝2cos 2x C．y＝2sin D．y＝2sin 答案　A 解析　因为ω>0，所以＝π，故ω＝2， 则f＝2sin ， 则向右平移个单位长度后得到y＝2sin ＝2sin 2x.故选A. 3．(2025·淮安模拟)把函数f＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　函数f＝sin 的图象向左平移个单位后，得函数y＝sin ＝sin 的图象， 由函数为偶函数，则有＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ， 又0<φ<π，所以φ＝.故选A. 4．(2025·安徽阜阳质检)已知函数f＝sin 2x＋cos 2x，则将函数f的图象向左平移φ个单位后得到函数g的图象，g图象关于原点对称，则(　　) A．φ＝ B．φ＝ C．φ＝ D．φ＝ 答案　C 解析　∵f＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， ∴将函数f的图象向左平移φ个单位后得到函数g的图象， 即g＝sin ＝sin ， 又g图象关于原点对称，可得2φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝－，k∈Z， ∵ 0<φ<，∴ φ＝.故选C. 5．(2025·河南模拟)若函数f(x)＝sin (ω>0)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵函数f(x)＝sin (ω>0)在上恰有两个零点， ∴2π≤ω·＋<3π， 解得≤ω<①， 又∵f(x)在上单调递增， ∴解得0<ω≤4②， 由①②式联立可知ω的取值范围是.故选B. 6．(2025·浙江联考)将函数f＝2sin 的图象向左平移π个单位长度，得到函数y＝g的图象，则函数g在x∈时的值域为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　函数f＝2sin 的图象向左平移π个单位长度， 得到函数y＝g＝2sin ＝2sin ＝2sin ， 因为x∈，所以2x－∈， 所以2sin ∈，故选D. 二、多项选择题 7．(2025·广东佛山质检)已知函数f＝2sin x cos x＋2sin 2x，则(　　) A．f的最小正周期为π B．是曲线f的一个对称中心 C．x＝－是曲线f的一条对称轴 D．f在区间上单调递增 答案　ACD 解析　A选项，f＝2sin x cos x＋2sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin ＋， 故f的最小正周期为＝π，A正确； B选项，当x＝－时，f＝2sin ＋＝－2＋， 故不是曲线f的一个对称中心，B错误； C选项，当x＝－时，2sin ＝2sin ＝－2，故x＝－是y＝2sin 的一条对称轴，也是f的一条对称轴，C正确； D选项，x∈时，2x－∈，由于y＝sin z在z∈上单调递增， 故f在区间上单调递增，D正确．故选ACD. 8．(2025·南通模拟)已知是函数f＝sin 的一个对称中心，则(　　) A．ω＝2 B．x＝是函数f的一条对称轴 C．将函数f的图象向右平移单位长度后得到的图象关于原点对称 D．函数f在区间上的最小值是－ 答案　AC 解析　A选项，由题意得sin ＝0， 故ω＋＝kπ，k∈Z， 解得ω＝3k－1，k∈Z，又0<ω<3，故0<3k－1<3，解得<k<， 又k∈Z，故k＝1，所以ω＝2，A正确； B选项，f＝sin ，当x＝时，f＝sin ＝， 故x＝不是函数f的一条对称轴，B错误； C选项，将函数f的图象向右平移个单位长度后得到g＝sin ＝sin 2x， 由于g的定义域为R，且g＝sin ＝－sin 2x＝－g， 故g为奇函数，其图象关于原点对称，C正确； D选项，x∈时，2x＋∈， 由于y＝sin z在z∈的最小值为－1，当且仅当z＝－时，等号成立， 故f在区间x∈的最小值是－1，D错误．故选AC. 三、填空题 9．(2025·宜春月考)函数f＝A sin (A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则函数f的解析式为______________． 答案　f＝4sin 解析　由图象可知A＝4，T＝－＝4π， 又ω>0，则ω＝＝＝，所以f＝4sin ， 又在该曲线上，所以4sin ＝0， 则＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<2π，则φ＝，故f＝4sin . 10．(2025·北京育才学校质检)设函数f＝A sin (A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f的最小正周期是________． 答案　 解析　由于f在区间上具有单调性，则－≤T，所以T≥. 由f＝f可知，函数f的一条对称轴为x＝＝， 又f＝－f，则f有对称中心， 从而T＝4＝. 四、解答题 11．(2025·重庆模拟)已知函数f＝A sin (ωx＋φ)的图象上相邻两条对称轴的距离是，f的最大值与最小值之差为1，且f的图象的一个对称中心是. (1)求函数f的解析式； (2)若方程f＝m在区间上有解，求实数m的取值范围． 解　(1)因为函数f图象上相邻两条对称轴的距离为，所以＝. 又ω>0，故＝，ω＝4. 因为f的最大值与最小值之差为1，故2A＝1，A＝， 又由f的图象的一个对称中心是，故4×＋φ＝kπ， 则φ＝kπ－，，又<， 故当k＝1时，φ＝， 故f＝sin . (2)∵x∈，∴4x＋∈， ∴sin ∈， ∴f∈，若方程f＝m在区间上有解，则m∈， 故实数m的取值范围是. 12．(2025·山东聊城质检)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)－1，满足________． (1)求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调递减区间； (2)把y＝f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)在区间上的最大值为，求实数m的最小值． 在①函数f(x)的一个零点为0；②函数f(x)图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数f图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． 解　(1)若选①②： 因为函数f的一个零点为0，所以f＝0，所以2sin φ－1＝0， 即sin φ＝，因为0<φ<，所以φ＝. 因为函数f图象上相邻两条对称轴的距离为，所以T＝2×＝π. 因为0<ω<3，所以ω＝2，所以函数f的解析式为f＝2sin －1， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f的单调递减区间为 (k∈Z). 若选①③： 因为函数f的一个零点为0，所以f＝0，所以2sin φ－1＝0， 即sin φ＝，因为0<φ<，所以φ＝. 因为函数f图象的一个最低点的坐标为， 所以2sin ＝－2， 所以sin ＝－1， 所以ω＋＝2kπ－，即ω＝3k－1，因为0<ω<3，所以ω＝2. 所以函数f的解析式为 f＝2sin －1， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f的单调递减区间为. 若选②③： 因为函数f图象上相邻两条对称轴的距离为，所以T＝2×＝π. 因为0<ω<3，所以ω＝2，因为函数f图象的一个最低点的坐标为， 所以2sin ＝－2， 所以sin ＝－1， 所以＋φ＝2kπ－， 即φ＝2kπ－. 因为0<φ<，所以φ＝， 所以函数f的解析式为 f＝2sin －1， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f的单调递减区间为 (k∈Z). (2)把y＝f(x)的图象向右平移个单位得到y＝2sin －1＝2sin －1， 再将y＝2sin －1向上平移个单位得到y＝2sin －， 即g＝2sin －， 由－≤x≤m，得－≤2x－≤2m－， 因为g在区间上的最大值为， 所以sin 在区间上的最大值为1. 所以2m－≥，所以m≥，所以m的最小值为. 考能提升练 13．(2025·山东质检)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在上单调递增，在上单调递减，将函数f的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g的图象，若函数g为偶函数，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为函数f＝sin 在上单调递增，在上单调， 所以 即解得ω＝2， 由题意，g＝sin ＝sin ， 因为函数g为偶函数，0<φ<， 所以2φ－＝，解得φ＝.故选D. 14．(多选)(2025·云南昆明质检)若函数f＝A sin 在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是(　　) A．f＝2sin B．f的图象的一个对称中心为 C．f的单调递增区间是，k∈Z D．把g＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得f的图象 答案　BC 解析　由图可知A＝2，＝π－＝，T＝3π＝，ω＝，所以A选项错误． f＝2sin ， f＝2sin ＝2sin ＝2， 又0<φ<，<＋φ<，所以＋φ＝，φ＝，f＝2sin ， f＝2sin ＝0，所以B选项正确． 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得3kπ－≤x≤3kπ＋，k∈Z， 所以f的单调递增区间是， k∈Z，C选项正确． 把g＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到g＝2sin ≠f， 所以D选项错误．故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$