课时作业(30)三角函数的图象与性质(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(三十)　三角函数的图象与性质 基础过关练 一、单项选择题 1．若函数y＝cos (ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　) A．1　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为函数y＝cos (ω>0)两对称中心间的最小距离为， 所以＝，则T＝π， 所以T＝＝π，解得ω＝1. 2．(2025·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos ，则f(x)在[－2，0]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 答案　D 解析　∵x∈[－2，0]， ∴2x－∈， ∵－<－4－<－π<－<0， ∴函数f(x)＝cos 在[－2，0]上先减后增． 3．(2025·陕西商洛模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，若f＝－f，f＝f，且f在区间上单调，则f的值为(　　) A．－ B． C． D．1 答案　B 解析　因为f＝－f，所以函数图象关于点成中心对称， 又f＝f，所以f的图象关于直线x＝对称， 且f在区间上单调，所以－＝，即T＝，ω＝3. 又3×＋φ＝kπ，k∈Z，<，所以φ＝0， 所以f＝sin 3x，所以f＝.故选B. 4．(2025·四川眉山质检)函数y＝cos 2x＋3cos x＋2的最小值为(　　) A．2 B．0 C．1 D．6 答案　B 解析　∵在y＝cos 2x＋3cos x＋2中，cos x∈，对称轴：cos x＝－＝－， ∴函数在上单调递增，在x＝－1处取最小值，ymin＝2＋3×＋2＝0.故选B. 5．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f(x)＝sin ， 则f＝sin ＝. 6．(2025·安康模拟)记函数f(x)＝sin ＋b(ω∈N*)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的最小值为1，则y＝f(x)图象的一个对称中心为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由函数的最小正周期T满足<T<π， 得<<π，解得2<ω<4， 又因为ω∈N*，所以ω＝3， 所以f(x)＝sin ＋b， 又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2， 所以f(x)＝sin ＋2， 令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， 所以对称中心为(k∈Z)，只有C符合题意(k＝2). 二、多项选择题 7．(2025·秦皇岛模拟)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝sin 2x B．y＝sin C．y＝cos D．y＝sin 答案　AC 解析　对于A，函数y＝f＝sin 2x满足y＝f＝sin ＝－sin 2x＝－f， 且y＝f＝2sin x的定义域为R关于原点对称，即y＝f＝2sin x是奇函数， 且注意到其周期为T＝＝＝π，故A正确； 对于B：函数y＝f＝sin 满足y＝f＝sin ＝sin ＝f， 且y＝f＝sin 的定义域为R关于原点对称， 所以y＝f＝sin 是偶函数，不是奇函数，故B错误； 对于C：y＝cos ＝cos ＝－sin 2x， 由A选项分析易知y＝f＝－sin 2x是奇函数， 同时也是最小正周期是π的周期函数，故C正确； 对于D：函数y＝f＝sin ＝cos 2x满足f＝cos ＝cos ＝f， 且y＝f＝cos 2x的定义域为R关于原点对称， 所以y＝f＝cos 2x是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选AC. 8．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案　BC 解析　A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点， 令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f＝g＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．故选BC. 三、填空题 9．函数y＝的定义域为________． 答案　(k∈Z) 解析　法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示， 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 法二：要使函数y＝有意义，即使sin x－cos x≥0，即sin ≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即原函数的定义域为(k∈Z). 10．(2025·江西抚州模拟)不等式sin ≥的解集为__________． 答案　 解析　画出x∈[0，2π]时，y＝sin x的图象． 令sin α＝，α∈，解得α＝或α＝. 又y＝sin x的周期为2π，所以sin α≥的解集为. 用2x＋代替α解出x.可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z 则sin ≥的解集为 .　 四、解答题 11．(2025·甘肃定西质检)已知函数f＝2cos (ω>0，0<φ<π)图象相邻两对称轴之间的距离为且f＝1. (1)求函数f的解析式； (2)求函数f的单调区间． 解　(1)由f＝2cos φ＝1⇒cos φ＝， 又0<φ<π，则φ＝. 函数f图象相邻两对称轴之间的距离为，故T＝＝π⇒ω＝2， ∴f＝2cos . (2)令－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ且k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ－，k∈Z， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π且k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为(k∈Z). 12．(2025·新乡模拟)已知函数f(x)＝a sin －2cos2(a>0)，且满足________． 从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期； (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　(1)f(x)＝a sin－2cos2 ＝a sin－cos －1 ＝a sin －cos －1 ＝a sin ＋sin －1 ＝(a＋1)sin －1. 若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝2sin －1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π， 则f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin －1. 若选择条件③f(x)的图象过点， 则f＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin －1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令f(x)＝1，得sin ＝1， 解得2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝， 所以实数m的取值范围是. 考能提升练 13．(2024·山东威海质检)已知函数f＝2cos (ω>0)，若f在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　函数f＝2cos (ω>0). 当x∈时，令t＝ωx＋，则t∈，　 若f(x)在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则y＝2cos t在t∈有且仅有3个零点和3条对称轴， 则3π<ωπ＋≤，解得<ω≤.故选A. 14．(2025·甘肃张掖质检)已知函数f＝sin (2x＋φ)，φ∈，若f在上恰有三个零点，则φ的取值范围是________． 答案　∪ 解析　由2x＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝sin (2x＋φ)的零点为x＝－＋，k∈Z， 当φ∈时，－∈， 所以y＝f在上的三个零点分别为－＋，－＋π，－＋， 故满足－＋≤<－＋2π，解得≤φ<，从而≤φ<； 当φ∈时，－∈， 所以y＝f在上的三个零点分别为－，－＋，－＋π， 故满足－＋π≤<－＋，解得－≤φ<，从而－<φ≤0. 综上，φ∈∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$