课时作业(29)简单的三角恒等变换(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十九)　简单的三角恒等变换 基础过关练 一、单项选择题 1．已知＝2，则tan θ等于(　　) A．　　　　　　　　B．－ C．－ D． 答案　C 解析　由＝＝＝tan ＝2， 得tan θ＝＝＝－. 2．(2025·太原月考)已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　) A． B．－ C． D． 答案　A 解析　∵α∈， cos α＝1－2sin2＝， ∴∈，sin＝＝.故选A. 3．(2025·新疆阿勒泰质检)若cos θ＝，且270°<θ<360°，则cos ＝(　　) A． B． C．± D．－ 答案　D 解析　因为cos θ＝2cos 2－1＝，则cos 2＝， 因为270°<θ<360°，则135°<<180°， 所以cos ＝－＝－.故选D. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 答案　A 解析　因为cos ＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos ＝－3m.故选A. 5．已知sin ＝tan 210°，则sin (60°＋α)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　由题意知sin ＝tan 210° ＝tan (180°＋30°)＝tan 30°＝， 则cos2＝1－sin2＝， cos(30°－α)＝cos2－sin2＝， 所以sin(60°＋α)＝sin [90°－(30°－α)] ＝cos (30°－α)＝. 6．(2025·茂名模拟)已知tan α＝，则－sin2α等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　因为tanα＝， 所以－sin2α＝－sin2α ＝－sin2α ＝cos2α＋2cos2α－sin2α ＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α ＝3cos2α－2sin2α ＝ ＝＝＝－. 二、多项选择题 7．(2025·高三课时练习)若cosα＝－，则的值可能为(　　) A． B．2 C．－ D．－2 答案　CD 解析　＝＝ ＝ ＝＝， ∵cos α＝－，∴sin α＝±， 当cos α＝－，sin α＝－时，＝＝－； 当cos α＝－，sin α＝时，＝＝－2.故选CD. 8．已知f(x)＝sin x sin －，则f(x)的值不可能是(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案　CD 解析　因为f(x)＝sin x sin － ＝sin x－ ＝sin2x＋sinx cos x－ ＝×＋sin 2x－ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin ， 所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2. 三、填空题 9．(2025·浙江杭州质检)已知sin α＋cos α＝，α∈，则sin 2α＝________． 答案　－ 解析　因为sin α＋cos α＝，α∈， 所以2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，2α∈， 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，2sin αcos α＝sin 2α， 所以1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－. 10．(2025·温州模拟)若cos 2α＝2cos ，α∈(0，π)，则sin 2α＝________，tan α＝________． 答案　1　1 解析　由cos 2α＝2cos ， 得cos2α－sin2α＝2， 即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α－sin α)， 当sin α＝cos α时，α＝，sin α＋cos α＝； 当sin α≠cos α时，sin α＋cos α＝. 对sin α＋cos α＝两边平方， 得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝2， 化简得2sin αcos α＝1， 即sin 2α＝1，由2sin αcos α＝1， 得＝1，即＝1， 整理得tan2α－2tanα＋1＝0，解得tan α＝1. 四、解答题 11．(2025·福建龙岩质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为，－. (1)求cos 的值； (2)求cos －cos 2α的值． 解　(1)因为锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为，－， 显然点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为，， 由已知及三角函数定义得sin α＝，sin β＝，而cos α＝，cos β＝－， 所以cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. (2)由(1)知sin α＝，cos α＝， 所以cos －cos 2α＝sin 2α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α＝2××－＝. 12．已知3sin α＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值． 解　(1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 所以sin 2α＋cos 2α ＝ ＝ ＝＝. (2)因为β∈，所以tanβ<0， 因为2tan 2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－， 又因为α∈(0，π)，tan α＝－， 所以<α<π. 所以tan (α＋β)＝＝＝－1， 由得π<α＋β<2π， 所以α＋β＝. 考能提升练 13．(2025·广东揭阳质检)五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．如图所示的五角星中、、等都是黄金分割比，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得sin 126°＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由图形可知A＝36°，则sin 18°＝＝×＝， 所以cos 36°＝1－2sin 218°＝1－2×2＝， 所以sin 126°＝sin ＝cos 36°＝.故选C. 14．(2025·临沂模拟)已知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是(　　) A．满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝ B．α－β＝π C．α＋β＝π D．满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝ 答案　D 解析　f(x)＝＋＋ ＝－[cos 2x(1＋cos 2α＋cos 2β)－ sin 2x(sin 2α＋sin 2β)]， 由题意得 两式平方相加可得cos (2α－2β)＝－， 所以2α－2β＝＋2kπ或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z. 当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D正确，A、B、C错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$