课时作业(28)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十八)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·广东佛山质检)cos sin ＋cos sin 的值等于(　　) A．　　　　　　　　B．1 C．0 D． 答案　B 解析　cos sin ＋cos ·sin ＝sin ＝sin ＝1.故选B. 2．(2025·江西赣州模拟)若sin ＝，α∈，则cos α＝(　　) A． B． C． D．－ 答案　C 解析　由α∈，得α－∈， 由sin ＝， 得cos ＝＝， 所以cos α＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝.故选C. 3．(2025·广东东莞质检)已知α，β均是锐角，已知sin α＝，cos (α＋β)＝，则sin β＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　因为α，β均是锐角，0<α＋β<π， 则cos α＝，sin (α＋β)＝，又β＝(α＋β)－α， 所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－×＝.故选D. 4．(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)的值是(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 答案　B 解析　由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°， 又tan 20°＋tan 25°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°， 所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2. 5．(2025·河北唐县第一中学二模)已知钝角α满足sin α＝，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　由α为钝角，可知cos α<0，所以cos α＝－＝， 所以cos ＝＝×＝－.故选：B. 6．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意得， sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝. ∵0<β<α<，∴0<α－β<， ∴cos (α－β)＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝×－×＝， ∴β＝. 二、多项选择题 7．(2025·江西质检)下列式子中值为的为(　　) A．tan B．sin 15°＋cos 15° C． D．tan 103°－tan 43°－tan 103°tan 43° 答案　ACD 解析　对于A，tan ＝tan ＝tan ＝； 对于B，sin 15°＋cos 15°＝sin ＝sin 60°＝； 对于C，＝＝tan 60°＝； 对于D，由tan 60°＝tan ＝＝， 所以tan 103°－tan 43°－tan 103°tan 43°＝.故选ACD. 8．(2025·江苏南京质检)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是(　　) A．每一个直角三角形的面积为 B．3sin β－3cos α＝2 C．3sin β－3sin α＝2 D．cos ＝ 答案　AC 解析　对于A，4个直角三角形的面积之和为9－4＝5，故每个直角三角形的面积为，故A正确， 对于BC，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2， 可得3sin β－3cos β＝2，由于α，β互余，所以3sin β－3sin α＝2，故B错误，C正确， 对于D，3cos α－3sin α＝2，①，3sin β－3cos β＝2，②，且cos α＝sin β，sin α＝cos β， 4＝9cos αsin β＋9sin αcos β－9cos αcos β－9sin αsin β＝9sin 2β＋9cos 2β－9cos ＝9－9cos ，故cos (α－β)＝，故D错误．故选AC. 三、填空题 9．(2025·河南新乡模拟)设0<α<，且sin ＝，则sin ＝________． 答案　 解析　因为0<α<，则－<α－<， 因为sin ＝，所以cos ＝＝＝， 所以sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 10．求值：sin 220°(tan 10°－)＝________． 答案　1 解析　原式＝－sin 40° ＝－sin 40°· ＝－sin 40°· ＝ ＝ ＝＝1. 四、解答题 11．已知α，β∈，且 (1)求α＋β的值； (2)证明：0<α－β<，并求sin (α－β)的值． 解　(1)因为α，β∈， 所以cos α>0，cos β>0， 由 解得cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝＝， sinβ＝＝， 则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. (2)因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增， 所以0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝. 12．已知cos ＝，sin ＝－，α∈，β∈.求： (1)sin α的值； (2)cos (α＋β)的值． 解　(1)因为α∈， 所以－α∈， 又因为cos ＝，所以sin ＝－. 所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. (2)因为sin ＝－， 所以sin ＝， 又β∈，则＋β∈， 所以cos ＝. 则cos (α＋β)＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝－， 故cos (α＋β)＝－. 考能提升练 13.(2025·郑州模拟)已知角θ∈(0，2π)，θ终边上有一点(cos 2－sin 2，－cos 2－sin 2)，则θ等于(　　) A．2 B．＋2 C．－2 D．＋2 答案　C 解析　因为tan θ＝ ＝－＝－ ＝－tan ＝tan ＝tan ， 所以θ＝－2＋kπ，k∈Z. 又cos 2－sin 2<0， －cos 2－sin 2＝－sin <0， 故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2. 14．(2025·河南洛阳质检)若α，β为锐角，且α＋β＝，则tan α＋tan β的最小值为(　　) A．2－2 B．－1 C．2－2 D．－1 答案　A 解析　因为tan ＝＝1， 所以＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋＋tan αtan β＝2， 所以(1＋tan α)(1＋tan β)≤2， 即2≤，得(tan α＋tan β＋2)2≥8， 由于α，β为锐角，所以tan α＋tan β＋2>0，所以tan α＋tan β＋2≥2， 当且仅当tan α＝tan β＝－1时等号成立， 所以tan α＋tan β的最小值为2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$