课时作业(27)同角三角函数基本关系式及诱导公式(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十七)　同角三角函数基本关系式及诱导公式 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·甘肃定西模拟)已知sin β＝－，－<β<0，则cos β＝(　　) A．　　　　　　　　B．± C．－ D． 答案　D 解析　由－<β<0，得cos β>0，而sin β＝－， 所以cos β＝＝.故选D. 2．(2025·河南驻马店质检)已知sin ＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　cos ＝sin ＝sin ＝.故选B. 3．若角α的终边在第三象限，则＋等于(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案　B 解析　由角α的终边在第三象限， 得sinα<0，cos α<0， 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 4．(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋4，x∈R，且f(2024)＝3，则f(2025)的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　∵f(2024)＝a sin (2024π＋α)＋b cos (2024π＋β)＋4＝3， ∴a sin ＋b cos ＝－1， ∴f＝a sin ＋b cos (2024π＋β＋π)＋4＝－a sin －b cos (2024π＋β)＋4＝1＋4＝5.故选C. 5．已知α是第四象限角，且2tan 2α－tan α－1＝0，则＝(　　) A.－ B． C．－ D． 答案　D 解析　由2tan 2α－tan α－1＝0，解得tan α＝－或tan α＝1. 因为α是第四象限角，所以tan α＝－， 故＝＝＝.故选D. 6．(2025·北京模拟)已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z， ∴tan β＝tan (π－α＋2kπ)＝tan (π－α)＝－tan α＝－＝－＝－. 二、多项选择题 7．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，，则(　　) A．cos (π＋α)＝ B．cos (－β)＝ C．sin ＝－ D．tan (π－β)＝ 答案　BC 解析　由三角函数的定义可得， cos α＝，cos β＝， 因为α，β为锐角， 所以sin α＝，sin β＝，tan β＝， 所以cos (π＋α)＝－cos α＝－， cos (－β)＝cos β＝， sin ＝－cos α＝－， tan (π－β)＝－tan β＝－. 8．(2025·沈阳质检)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边过点P，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，将OP绕原点逆时针旋转后与角θ的终边重合，则(　　) A．sin α＝ B．α＝π－β C．cos α＋cos β＝0 D．sin α＋cos θ＝0 答案　ACD 解析　A选项，由题意得sin α＝＝，A正确； B选项，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，故α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， 故α＝π＋2kπ－β，k∈Z，B错误； C选项，由B可知cos α＝cos ＝－cos β，故cos α＋cos β＝0，C正确； D选项，θ＝α＋，故cos θ＝cos ＝－sin α，故sin α＋cos θ＝0，D正确．故选ACD. 三、填空题 9．(2025·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sinαcos α－sin2α＝________． 答案　－ 解析　由sinα＝2cos α，得tan α＝2，则cos2α＋sinαcos α－sin2α＝＝＝＝－. 10．如图，A，B是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，∠AOB＝90°，则tan ∠COB＝________． 答案　－ 解析　因为A 点的坐标为， 所以cos ∠AOC＝，sin ∠AOC＝， 又因为∠AOB＝90°， 所以cos ∠COB＝cos ＝－sin ∠AOC＝－，sin ∠COB＝sin ＝cos ∠AOC＝， 故tan ∠COB＝＝－. 四、解答题 11．(2025·安徽马鞍山质检)已知 f＝. (1)化简f； (2)若α是第三象限角，且sin ＝，求f的值． 解　(1)根据诱导公式得 f＝ ＝＝－cos α， 所以f＝－cos α. (2)由诱导公式可知sin ＝－sin α＝，即sin α＝－， 又α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以f＝－cos α＝. 12．在①4sin (2 022π＋α)＝－3cos (2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题． 已知第四象限角α满足________，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋3sinαcos α. 解　若选择条件①： ∵4sin (2 022π＋α)＝－3cos (2 024π＋α)， ∴4sin α＝－3cos α， ∴tan α＝－. 若选择条件②： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 又sin α＋cos α＝， ∴＋cos2α＝1， ∴cosα＝，sin α＝－， ∴tan α＝－. 若选择条件③： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 又∵α，β的终边关于x轴对称， ∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β. 又∵4sin β＝3cos β， ∴－4sin α＝3cos α， 即tan α＝－. (1)＝ ＝＝1. (2)sin2α＋3sinαcos α＝＝＝＝－. 考能提升练 13．(2025·菏泽质检)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝－，则sin α－cos α＝______． 答案　 解析　因为α是第二象限角，所以cos α<0，sin α>0，又sin α＋cos α＝－， 所以2＝，即sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝，得2sin αcos α＝－， 所以sin α－cos α＝＝＝＝. 14．(2025·河南驻马店质检)(1)已知＝－且lg 有意义，若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin a的值； (2)是否存在角α∈，β∈，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解　(1)因为＝－，所以sin α<0， 所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角， 因为lg 有意义，所以cos α>0， 所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角， 综上可知，角α是第四象限角， 因为点M在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±， 又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－， 根据正弦函数的定义，可知sin α＝－. (2)因为等式同时成立， 利用诱导公式化简得两式平方后相加得sin 2α＋3cos 2α＝2， 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以可得cos 2α＝，即cos α＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入cos α＝cos β得cos β＝， 又β∈，所以β＝，此时也符合等式sin α＝sin β ； 当α＝－时，代入cos α＝cos β得cos β＝， 又β∈，所以β＝，显然此时不符合等式sin α＝sin β， 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$