课时作业(26)任意角和弧度制、三角函数的概念(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十六)　任意角和弧度制、三角函数的概念 基础过关练 一、单项选择题 1．给出下列四个命题，其中正确的是(　　) A．－是第四象限角 B．是第二象限角 C．－400°是第一象限角 D．－315°是第一象限角 答案　D 解析　－是第三象限角，故A错误；＝π＋，则是第三象限角，故B错误；－400°＝－360°－40°，则－400°是第四象限角，故C错误；－315°＝－360°＋45°，则－315°是第一象限角，故D正确． 2．(2025·江西吉安质检)已知角的集合β＝{α|α＝－，k∈Z}，则在内的角有(　　) A．2个　　　　　　　B．3个 C．4个 D．5个 答案　B 解析　依题意，解不等式0≤－<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}， 所以在内的角有3个．故选B. 3．(2025·新疆八一中学质检)若＝cos θ，＝－tan θ，则的终边在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 答案　D 解析　因为＝cos θ，可得cos θ≥0，则θ是第一、四象限或x轴正半轴， 又因为＝－tan θ，可得tan θ≤0，则θ是二、四象限或x轴， 所以θ是第四象限或x轴正半轴， 所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z， 可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z， 令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z， 则在二象限或x轴负半轴； 令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z， 则在四象限或x轴正半轴， 综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上．故选D. 4．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　) A．－ B．± C．－ D．± 答案　C 解析　由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±. 当y＝时，sin α＝，tan α＝－， 此时sin α·tan α＝－； 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝， 此时sin α·tan α＝－. 综上，sin α·tan α＝－. 5．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度为3 rad/s，起点为射线y＝－x与圆的交点；Q的角速度为5 rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间t，依题意有5t－3t＝2π＋， 解得t＝π＋，此时质点Q转过角度为5π＋，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为.故选C. 6．(2025·德州统考)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若角α的终边落在直线x＋3y＝0上，则的值等于(　　) A．3或－3 B．或－ C．3或－ D．－3或 答案　B 解析　角α的终边落在直线x＋3y＝0上， 所以角α在第二象限或第四象限， 所以tan α＝－，因为＝， 当角α在第二象限时，sin α>0， 所以＝＝＝tan α＝－； 当角α在第四象限时，sin α<0， 所以＝＝－＝－tan α＝. 二、多项选择题 7．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 答案　ACD 解析　角θ的终边经过点(－2，－)， 则sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0， 所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确． 8．(2025·郑州模拟)若α是第四象限角，则点P所在的象限可能是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　CD 解析　因为α是第四象限角，所以2kπ－<α<2kπ，k∈Z，则kπ－<<kπ，k∈Z， 当k是奇数时，是第二象限角，cos <0，tan <0，点P在第三象限， 当k是偶数时，是第四象限角，cos >0，tan <0，点P在第四象限， 所以点P在第三或第四象限．故选CD. 三、填空题 9．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角终边相同，则α＝________． 答案　－960° 解析　∵α与120°角终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z. ∵－990°＜k·360°＋120°＜－630°， ∴－1110°＜k·360°＜－750°.又k∈Z， ∴k＝－3，此时α＝(－3)×360°＋120°＝－960°. 10．(2025·台州模拟)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1 cm)的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以 rad/s的速度爬行，黑蚂蚁以 rad/s的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为________． 答案　1 解析　 如图所示，红蚂蚁以 rad/s的速度爬行，黑蚂蚁以 rad/s的速度爬行， 则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处， 此时∠BOC＝－＝，即△BOC为正三角形，故BC＝OB＝1. 四、解答题 11．已知＋＝－2，试判断角θ所在的象限． 解　∵＋＝－2， ∴cos θ<0且sin θ<0. 由cos θ<0，得θ为第二象限或第三象限或终边在x轴负半轴上的角 由sin θ<0，得θ为第三象限或第四象限或终边在y轴负半轴上的角 综上所述，θ为第三象限的角． 12．(2025·湖南衡阳质检)已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝120°，R＝5 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解　(1)设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则 α＝120°＝，R＝5，l＝×5＝ cm， S＝××5－×52＝. (2)设扇形弧长为l，则l＋2R＝20，即l＝20－2R， ∴扇形面积S＝lR＝(20－2R)·R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25， ∴当R＝5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝＝2 rad. 因此当α＝2 rad时，这个扇形面积最大． 考能提升练 13.(多选)(2025·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0).已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A.若∠AOB＝α，则 ＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．若y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 答案　AD 解析　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确． 14．(2025·兰州模拟)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________． 答案　 解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2， 在Rt△POB中，PB＝r tan α， 则△POB的面积为r2tan α， 由题意得r2tan α＝2×αr2， 即tan α＝2α， 所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$