课时作业(23)函数中的构造问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十三)　函数中的构造问题 一、单项选择题 1．定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)<2，若f(m)－f(1－2m)≥6m－2，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　　　　B． C．[－1，＋∞) D． 答案　B 解析　令g(x)＝f(x)－2x， 则g′(x)＝f′(x)－2<0，则g(x)在R上是减函数， 又f(m)－f(1－2m)≥6m－2等价于f(m)－2m≥f(1－2m)－2(1－2m)， 即g(m)≥g(1－2m)，由单调性得m≤1－2m， 解得m≤. 2．(2025·广东佛山月考)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．c>b>a　　　　　　B．b>a>c C．b>c>a　 D．a>b>c 答案　D 解析　令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝， 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因为a＝＝＝f(4)，b＝＝f(6)，c＝＝f(7)， 所以f(4)>f(6)>f(7)，即a>b>c.故选D. 3．(2025·汉中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)－f′(x)>0，且有f(2)＝2，则f(x)>2ex-2的解集为(　　) A．(－∞，1)　 B．(－∞，2) C．(1，＋∞)　 D．(2，＋∞) 答案　B 解析　设F(x)＝， 则F′(x)＝＝<0， ∴F(x)为减函数． 又f(2)＝2，则F(2)＝＝. ∵f(x)>2ex-2等价于>， 即F(x)>F(2)， ∴x<2，即所求不等式的解集为(－∞，2). 4．已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)<0 B．9f(－3)<f(1) C．4f(2)>f(－1) D．f(1)<f(2) 答案　C 解析　令x＝0，则2f(0)＋0>0， 所以f(0)>0，故A错误； 令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)， 当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0， 得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为偶函数f(x)的定义域为R， 所以g(x)＝x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(－3)＝g(3)>g(1)， 所以9f(－3)>f(1)，故B错误； 所以g(2)>g(1)＝g(－1)，4f(2)>f(－1)，故C正确； 由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)符合题意， 此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误． 二、多项选择题 5．已知a＝e－，b＝e－，c＝ln (e 是自然对数的底数)，则下列结论正确的有(　　) A．ac<0，bc>0　 B．ac<0，bc<0 C．a>b>c　 D．b>a>c 答案　BD 解析　首先证明切线不等式ex≥x＋1， 设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0， 又因为f′(x)为单调递增函数，所以f′(x)有唯一零点x＝0， 且当x∈(－∞，0)，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 故f(x)min＝f(0)＝0，则f(x)＝ex－x－1≥0，即ex≥x＋1， 则a＝e－＝f>f(0)＝0，b＝f>f(0)＝0，而c＝ln <ln 1＝0，所以B正确，A错误； 又因为当x>0 时，f(x)单调递增，a＝f，b＝f，则a<b， 因此c<a<b，故D正确，C错误．故选BD. 6．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有f′(x)cos x＋f(x)sin x<0成立，则(　　) A．f>f B．f>f C．f>f D．f>f 答案　CD 解析　根据题意，令g(x)＝，x∈， 则其导数g′(x)＝， 又由x∈，且恒有 f′(x)cosx＋f(x)sin x<0， 可得g′(x)<0，即函数g(x)为上的减函数． 由<，则有g>g， 即>， 所以f>f，故C正确； 又由<，则有g>g， 即>， 所以f>f，故D正确．故选CD. 三、填空题 7．(2025·晋中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________． 答案　(2，＋∞) 解析　令g(x)＝f(x)－x2－3x， 则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数． 又f(2x－3)<2x(2x－3)， 即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0， 又f(1)－12－3×1＝0，即g(2x－3)<g(1)， 所以2x－3>1，解得x>2， 所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞). 8．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________． 答案　 解析　∵f(x)＜f′(x)tan x， ∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈， 令g(x)＝，x∈， ∴g′(x)＝＞0， ∴g(x)在上为增函数， 由f(x)＞sinx，得＞1＝， 即g(x)>g，∴x＞， 又0<x<，∴<x<， ∴不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$