课时作业(21)导数与函数的单调性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十一)　导数与函数的单调性 一、单项选择题 1．(2025·苏州测试)函数f(x)＝(x－3)ex 的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2]　　　 　 　B．[0，3] C．[1，4]　 D．[2，＋∞) 答案　A 解析　函数的导数 f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)<0 得(x－2)ex<0， 即x<2， 所以函数的单调递减区间为(－∞，2].故选A. 2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数y＝f(x)(　　) A．在(－∞，－1)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递减 C．在(－∞，2)上单调递增 D．在(2，＋∞)上单调递减 答案　D 解析　根据导函数的图象可知，f(x)在区间(－∞，－1)，(2，＋∞)上f′(x)<0，f(x)递减， 在区间(－1，2)上，f′(x)≥0，f(x)递增， 所以D选项正确，ABC选项错误．故选D. 3．(2025·安阳质检)已知函数f(x)＝ 若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是(　　) A．[1，e2]　 B．[e，2e] C．[e，e2]　 D．[e，＋∞) 答案　C 解析　令函数g(x)＝，h(x)＝. 要满足条件，必须g(x)在(0，a)上单调递减， h(x)在(a，＋∞)上单调递减，且g(a)≥h(a). 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减． h′(x)＝， 令h′(x)>0，即1－ln x>0，解得0<x<e， 令h′(x)<0，即1－ln x<0，解得x>e， 可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以a≥e. g(x)－h(x)＝， 令>0，即2－ln x>0，解得0<x≤e2， 令<0，即2－ln x<0，解得x>e2， 则当0<x≤e2 时，g(x)≥h(x)， 当x>e2 时，g(x)<h(x)， 要使g(a)≥h(a)，则0<a≤e2. 所以a 的取值范围是[e，e2].故选C. 4．(2025·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f，b＝f，c＝f(e－)，则(　　) A．a>b>c　 B．c>a>b C．a>c>b　 D．c>b>a 答案　B 解析　由f(x)＝ln x， 得f′(x)＝ln x＋， 当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因为c＝f ，0<<<<1， 所以f >f >f ，故c>a>b. 5．(2025·唐山联考质检)已知函数f(x)＝ln x＋ 在上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥　 B．a≤　 C．a≤4　 D．a≥4 答案　C 解析　由于f(x)＝ln x＋ 在 上单调递增，所以f′(x)＝－≥0 在 上恒成立，故a≤＝x＋＋2 在 上恒成立， 由于x＋＋2≥4 当且仅当x＝1时取等号，所以a≤4.故选C. 6．(2025·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是(　　) A．　 B． C．　 D． 答案　D 解析　当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x， 因为ex≥1，cos x∈[－1，1]， 所以f′(x)＝ex＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 所以f(－π)＝f(π)＝eπ， 所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π， 解得x∈. 二、多项选择题 7．(2025·梅州模拟)设f(x)，g(x)都是单调函数，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，h(x)＝f(x)－g(x)，下列命题中，正确的是(　　) A．若f′(x)>0，g′(x)>0，则h(x)单调递增 B．若f′(x)>0，g′(x)<0，则h(x)单调递增 C．f′(x)<0，g′(x)>0，则h(x)单调递减 D．若f′(x)<0，g′(x)<0，则h(x)单调递减 答案　BC 解析　f′(x)>0，函数为增函数，f′(x)<0时，函数为减函数，同理g′(x)>0 时，函数为增函数，g′(x)<0 时，函数为减函数， 不妨取f(x)＝2x，g(x)＝2x+1，则满足f′(x)>0，g′(x)>0， h(x)＝f(x)－g(x)＝2x(1－2)＝－2x，显然h(x)是减函数，排除A选项； 取f(x)＝－x，g(x)＝－2x，满足f′(x)<0，g′(x)<0， 则h(x)＝f(x)－g(x)＝x，故h(x)是增函数，排除选项D； 当f′(x)>0，g′(x)<0 时，函数f(x)为增函数，g(x)为减函数，则－g(x)为增函数， 所以h(x)＝f(x)－g(x)为增函数，故B正确； 当f′(x)<0，g′(x)>0 时，f(x)为减函数，g(x)为增函数，－g(x)为减函数， 所以h(x)＝f(x)－g(x)为减函数，故C正确．故选BC. 8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值可以是(　　) A．－2　 B．－　 C．e　 D．2 答案　ACD 解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1， 函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间， 则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点， 即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点， 则判别式Δ＝4b2－12>0，解得b>或b<－. 所以实数b的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 三、填空题 9．(2025·宁波镇海中学质检)若函数f(x)＝(x－m)2＋ln x 在区间(1，2)上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是________． 答案　 解析　f′(x)＝2(x－m)＋(x>0)，由题意f′(x)>0 在(1，2)上有解， 即m<x＋ 在(1，2)上有解， 根据对勾函数的性质可知，y＝x＋在(1，2)上单调递增，所以在x＝2 时取最大值， 故m<2＋＝，故实数m 的取值范围是. 10．已知函数g(x)＝2x＋ln x－ 在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围是________． 答案　(－10，－3) 解析　g′(x)＝2＋＋＝. ∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调， ∴g′(x)＝0 在区间(1，2)内有解， 则a＝－2x2－x＝－2＋在(1，2)内有解， 易知函数y＝－2x2－x 在(1，2)上是减函数， ∴y＝－2x2－x 的值域为(－10，－3)， 因此实数a的取值范围为(－10，－3). 四、解答题 11．(2025·重庆月考)已知函数f(x)＝－2a2ln x＋x2＋ax(a∈R). (1)当a＝1 时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 解　(1)当a＝1 时，f(x)＝－2ln x＋x2＋x， f′(x)＝－＋x＋1，所以f′(1)＝－2＋1＋1＝0，f(1)＝，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝. (2)f′(x)＝＝. ①当a＝0 时，f′(x)＝x>0，所以函数在(0，＋∞)上单调递增； ②当a>0 时，令f′(x)＝0，则x1＝－2a (舍)或x2＝a， 由f′(x)<0，得0<x<a，所以当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减； 由f′(x)>0，得x>a，所以当x∈(a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． ③当a<0 时，令f′(x)＝0，则x1＝－2a 或x2＝a (舍)， 由f′(x)<0，得0<x<－2a，所以当x∈(0，－2a)时，函数f(x)单调递减； 由f′(x)>0，得x>－2a，所以当x∈(－2a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． 综上所述，若a＝0时，则函数在(0，＋∞)上单调递增． 若a>0，则当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减 当x∈(a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． 若a<0，则当x∈(0，－2a)时，函数f(x)单调递减； 当x∈(－2a，＋∞)时，函数f(x)单调递增． 12．已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2. (1)若g(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，求a的值； (2)讨论函数g(x)的单调性． 解　(1)由题意得g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a) ＝(x－a)(ex－2)， 由题意知0，ln 2为方程(x－a)(ex－2)＝0的两根，∴a＝0. (2)g(x)的定义域为R， g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)， 令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2， ①若a>ln 2， 则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增， 在(ln 2，a)上单调递减； ②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立， ∴g(x)在R上单调递增； ③若a<ln 2， 则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增， 在(a，ln 2)上单调递减． 综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $$