课时作业(10)函数的对称性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十)　函数的对称性 基础过关练 一、单项选择题 1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A．y＝　　　　　　 　B．y＝lg |x| C．y＝tan x D．y＝x3 答案　A 解析　y＝的图象关于y＝x、坐标原点(0，0)分别成轴对称和中心对称，故A正确； y＝lg |x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误； y＝tan x关于点(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误； y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0，0)成中心对称，但无对称轴，故D错误． 2．(2025·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称 答案　C 解析　令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x， ∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， ∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称． 3．(2025·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 答案　A 解析　由已知可得，f(2－x)＝22-x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误； f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误； 因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误． 4．(2025·赣州联考)已知函数f(x)在上单调递增，满足对任意x∈R，都有f ＝f ，若f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D．(－∞，2] 答案　C 解析　由f ＝f ，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝， 因为函数f(x)在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递减， 因为f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减， 则解得1<a≤. 所以实数a的取值范围为. 5．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于(　　) A．3 B． C．－1 D．－ 答案　D 解析　设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)， 则则 则y′＝f(1－2m＋x′)， 即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称， 则1－2m＝2，得m＝－. 6．(2025·南宁模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋f(2－x)＝4，g(x)＝f(x－1)＋1，若g(x＋1)为偶函数，且f(2)＝0，则g(2022)＋g(2023)＝ (　　) A．5 B．4 C．3 D．0 答案　B 解析　∵f(x)＋f(2－x)＝4，∴f(x)以(1，2)为对称中心，且f(1)＝2. ∵g(x＋1)＝g(－x＋1)即f(x)＋1＝f(－x)＋1， ∴f(x)为偶函数，以y 轴为对称轴． ∴f(－(2－x))＝f(2－x)，即f(x－2)＝f(2－x)， 由f(x)＋f(2－x)＝4 知，f(x＋2)＋f(x)＝4， ∴f(x＋2)＝f(2－x)，f(x＋2)＝f(x－2)， 从而f(x＋2＋2)＝f(x＋2－2)，即f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)的周期为4，∴g(x)的周期为4， 故g(2022)＋g(2023)＝g(2)＋g(－1)＝f(1)＋1＋f(－2)＋1＝2＋1＋0＋1＝4.故选B. 二、多项选择题 7．(2025·南昌模拟)对于两个实数a，b，设min{a，b}＝ 则“t＝1 ”是“函数f(x)＝min{|x|，|x－t|} 的图象关于直线x＝ 对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　如图，在同一个坐标系中做出两个函数y＝|x| 与y＝|x－t| 的图象， 则函数f(x)＝min{|x|，|x－t|} 的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分， 根据图象令x＝－x＋t，解得x＝， 分析可得其图象关于直线x＝ 对称， 要使函数f(x)＝min{|x|，|x－t|} 的图象关于直线x＝ 对称，则t的值为t＝1， 当t＝1 时，函数f(x)＝min{|x|，|x－t|} 的图象关于直线x＝ 对称， 所以“t＝1”是“函数f(x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称”的充分必要条件．故选C. 8．已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1－x)＝f(1＋x)，则(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(－1)<f(4) C．f(2x＋1)<f(1) D．f(x＋1)为偶函数 答案　ABD 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(0)＝f(2)，故A正确； 又f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，1]上单调递减， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－1)＝f(3)<f(4)，故B正确； 因为1<2x＋1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(1)<f(2x＋1)，故C错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称， 即函数f(x＋1)的图象关于y轴对称， 所以f(x＋1)为偶函数，故D正确． 三、填空题 9．(2025·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数．则f(x)＝________． 答案　cos πx(形如a cos πx＋b或a＋b或a＋b或a＋b等) 解析　因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)， 所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1， 故可取函数f(x)＝cos πx. 10．(2025·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则(xi＋yi)的值为________． 答案　n 解析　∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 则f(2－x)＋f(x)＝0， ∴函数f(x)的图象关于点(1，0)对称， ∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的， ∴函数y＝的图象关于点(1，0)对称， ∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1，0)对称， ∴(xi＋yi)＝i＋i＝2×＋0×＝n. 四、解答题 11．(2025·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解　(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝ log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2). 12．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0， 故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2). (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． 考能提升练 13．设函数f(x)定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋6)为奇函数 答案　D 解析　因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2，0)和(2，0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数． 14．(多选)(2025·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(2)＝1 B．g(0)＝1 C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0) D．g(－1)＋g(2)<2 答案　BCD 解析　∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称， 将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象， ∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0， ∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1， ∴g(0)＝1，故B选项正确； ∵y＝f(x－2)为减函数，∴f(x)为减函数， ∴g(x)＝f(x)＋1为减函数， 又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误； ∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数， ∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确； g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2 ＝－f(1)＋f(2)＋2， ∵f(1)>f(2)， ∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$