精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高一下学期第三次质量检测数学试题

咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第三次质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】z＝， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限． 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算以及复数的几何意义，需掌握复数的四则运算，属于基础题. 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 3. 平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用即可计算. 【详解】由题意可得， 因，则，得. 故选：C 4. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意，样本数据的方差为16， 则样本，，，…，的方差为， 所以样本，，，…，的标准差为． 故选：A 5. 中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再根据计算得到结果. 【详解】根据题意，， 所以，则. 故选：B. 6. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示： 图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 7. 某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表： 天/第 1 2 3 4 5 6 7 件数 285 367 463 290 335 719 698 已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（ ） A. 8808 B. 9696 C. 10824 D. 11856 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可. 【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为： （件）， ∴每月（按30天计算）代收快递约为件， ∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为元. 故选：C. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了100份，将成绩分成6组，第1组为，第2组为，…，第6组为，画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 第6组有15个样本 C. 从第5，6组中，按组别分层抽取6个样本，则应在第5组抽取3个样本 D. 估计参赛选手成绩的中位数在内 【答案】AD 【解析】 【分析】由矩形的面积和为1可得A正确；计算频数可判断B，由中位数的计算可得D正确；根据频率及分层抽样的概念直接判断C选项. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B：第6组有个样本，B错误； 对于C，由频率分布直方图可知第5组与第6组的频率分别为与， 则第5组内抽取为个样本，故C错误； 对于D，因为，， 所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确． 故选：AD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B 由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误； 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积S最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误． 故选：ACD 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为__________． 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】447 【解析】 【分析】根据给定数表，按要求列出不重复的前5个编号即可. 【详解】依题意，被抽到的前5个不重复的编号依次为：175，068，331，047，447， 所以第5个被抽到的同学的编号为447. 故答案为：447 13. 已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为， 取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形， 过点、在平面内作，，垂足分别为、， 由题意可知，，则、都为等腰直角三角形， 故，，则，， 在平面内，因为，，， 则四边形为矩形，故， 由题意可知，梯形的周长为， 即，解得， 故， 因此，该圆台的体积为. 故答案为：. 14. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】如图，令，则： 三点共线； 与共线反向，； ；- 解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求的值； （2）若与（）垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 ∵，，且与的夹角为， ∴， 故； 【小问2详解】 ∵与（）垂直， ∴， 即，解得：． 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） 不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），86 （2）74，75，75 （3）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案； （2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案； （3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以样本成绩的第80百分位数在内，且为. 【小问2详解】 本成绩的平均数为； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3， 所以样本成绩的中位数在内，且为； 样本成绩的众数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4， 所以两组成绩合并后的平均数； 所以两组成绩合并后的方差. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为． （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，即可得解. （2）由题意得，利用基本不等式结合三角形的三边关系可求出的范围，进而得的范围. （3）利用等面积法得到内切圆半径r的表达式，利用余弦定理转化r的表达式，再运用正弦定理结合三角函数的图象与性质求解. 【小问1详解】 在中，由，得， ， 又，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 因此，解得，而， 所以， 故的周长的取值范围是. 【小问3详解】 因为，， 所以得， 设的内切圆半径为r， 由， 得， 由（1）知， 根据正弦定理，得， 则，， 所以 ， 由为锐角三角形，得，解得， 所以，则， 因此，， 所以内切圆半径的取值范围为. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积比； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，结合等体积法及锥体体积公式求解. （3）作出异面直线所成的角，再求解三角形即可得解. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，连接， 由梯形，，得， 由点是棱上靠近端的三等分点， 得，则， 而平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在梯形中，， 则， 由（1）知，平面，而点是棱上点， 则点到平面的距离相等， 由，得点到平面的距离是点到平面的距离， 则， 所以三棱锥与四棱锥的体积比. 【小问3详解】 在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，， 在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第三次质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 3. 平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. -2 4. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 5. 中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 7. 某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表： 天/第 1 2 3 4 5 6 7 件数 285 367 463 290 335 719 698 已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（ ） A. 8808 B. 9696 C. 10824 D. 11856 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了100份，将成绩分成6组，第1组为，第2组为，…，第6组为，画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 第6组有15个样本 C. 从第5，6组中，按组别分层抽取6个样本，则应在第5组抽取3个样本 D. 估计参赛选手成绩的中位数在内 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为__________． 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 13. 已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________． 14. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求的值； （2）若与（）垂直，求的值． 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为． （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积比； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $