精品解析：上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷

上海数学调研卷 （考试时间120分钟，满分150分） （试卷共4页，答题纸共2页 一、填空题 （本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.） 1. 已知全集，，则________． 2. 若，，则________． 3. 设为虚数单位，若，则________． 4. 已知等比数列的首项与公比相等，若，则________． 5. 函数在处的切线斜率为________． 6. 设实数，圆:的面积为，则________． 7. 在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 8. 未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为________． 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 10. 设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为________． 11. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 二、选择题 （本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 设，则下列选项中正确的是（ ）． A. B. C. D. 14. 某试验田种植一批水稻，对其进行种植实验．在右表中记录了5组水稻的“播种面积”与“总产量”的相关数据并预测序号6的实验数据，若发现实验序号5的实验数据有误需剔除，则下列说法正确的是（ ）． 实验序号 1 2 3 4 5 6 播种面积 （单位：千公顷） 60.9 71.8 72.9 73.6 75.8 80.0 总产量 （单位：万吨） 37.8 37.4 38.9 40.1 37.3 未知 A. 实验样本的相关系数将变小． B. 实验样本的相关系数将不变． C. 实验序号6的预测结果将变大． D. 实验序号6的预测结果将变小． 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 三、解答题 （本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 设，.已知函数的定义域为，且． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）设，若对任意的，均有，求的取值范围． 19. 某市眼病疾控中心计划对24000名不同年龄的市民进行视力调查，调查所得到的年龄与视力情况如下表所示． 视力情况 年龄范围 视力正常 840 456 1116 2460 1752 视力不正常 6096 960 1920 3840 4560 （1）从中随机抽取一名市民，求所抽取的市民，在“视力正常”的条件下，年龄范围在 的概率； （2）设随机变量为“任取一名市民的视力情况”（若视力正常，则记；若不正常，则记），求的分布与期望； （3）通过分层抽样抽取2000人．请利用抽样后的样本数据填写下列2×2列联表，并判断该市视力情况是否与年龄有关联？ 视力正常 视力不正常 合计 年龄不低于60岁 a b a+b 年龄低于60岁 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 21. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海数学调研卷 （考试时间120分钟，满分150分） （试卷共4页，答题纸共2页 一、填空题 （本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.） 1. 已知全集，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：． 2. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 3. 设为虚数单位，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的运算法则、模的计算公式计算可得. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：5. 4. 已知等比数列的首项与公比相等，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为等比数列的首项与公比相等， 所以， 所以， 故答案为：. 5. 函数在处的切线斜率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 则函数在处的切线斜率为. 故答案为：. 6. 设实数，圆:的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为，所以, 将圆一般式化为标准式得， 又， 所以，所以. 故答案为：. 7. 在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 【答案】 【解析】 【分析】二项式系数最大的有且仅有第4项，可知展开式有7项，即可求解. 【详解】因为二项式系数最大的有且仅有第4项， 由二项式系数的性质可知：展开式有7项， 所以， 故答案为：6 8. 未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】记零件为1号车间加工，零件为2号车间加工， 零件为3号车间加工，任取1个零件为合格， 则，，， ，，， 则 . 故答案为：. 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出底面的外接圆，圆心为，根据题意即可分析出答案． 【详解】作出底面的外接圆，圆心为， 由题意得，当直线过点，且最近接点时，与直线所成角最小，即与夹角最小， 因为，所以，所以，则也符合题意， 同理可得，， 所以满足题意得直线有，共6条， 故答案为：6． 10. 设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为________． 【答案】； 【解析】 【分析】利用恒等式可求出参数，，再利用对数运算性质进行求解对数不等式即可. 【详解】由均成立，可得恒成立， 即， 则，因为，所以，解得， 所以， 由，则， 故答案为： 11. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 【答案】 【解析】 【分析】以矩形的中心为原点建立直角坐标系，计算直线的方程，根据图形中心对称得到直线的方程，计算图形中的关键点坐标，通过面积公式计算即可得到结果. 【详解】 如图以矩形的中心为原点建立平面直角坐标系，记边上的圆心分别为， 则直线的斜率为， 根据圆与圆的半径相等，可知， 设直线的方程为，即， 根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，根据图中位置可得， 则直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 根据图形的中心对称性，可知直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 所以中间重合部分的面积为：， 对于直线的方程为， 令，可得，令，可得， 可得，即， 所以， 根据对称性可知， 所以六边形的面积为：， 在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道的面积为：. 故答案为：. 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【答案】 【解析】 【分析】结合条件与等比数列求和公式可得，从而得，再按分类探究.当时，可设，进而结合数列缺少项，利用等比数列求和公式得到，再借助取值推出矛盾. 【详解】由题意对任意正整数，存在不超过的正整数，使得， 由，令，则； 令，则，或； 故数列的任意一项均为的正整数次幂形式，且为递增数列， 设，其中，，且， 即数列各项均为正整数的递增数列. 又，且， 可得，故； 由， 故， 由，可知， 则， 故，则； ①当时，则，则由可知， 此时，， 满足题意； ②当时，则，可取， 则， 满足题意； ③当时，则，，又， 故； 由， 可知数列的前项中， 至少有两项不在数列的前项中（不包含第项）. 故可设， 其中，且数列为正整数列的递增子数列且. 故， 解得. 又，而， 故只能取，即只可能两项不在数列的前项中； 则数列中，而只能取或，故产生矛盾； 故不满足题意； 综上可知，满足要求的正整数只能为或，即个数为. 故答案为：. 二、选择题 （本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 设，则下列选项中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于ACD，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，所以，当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 故选：B． 14. 某试验田种植一批水稻，对其进行种植实验．在右表中记录了5组水稻的“播种面积”与“总产量”的相关数据并预测序号6的实验数据，若发现实验序号5的实验数据有误需剔除，则下列说法正确的是（ ）． 实验序号 1 2 3 4 5 6 播种面积 （单位：千公顷） 60.9 71.8 72.9 73.6 75.8 80.0 总产量 （单位：万吨） 37.8 37.4 38.9 40.1 37.3 未知 A. 实验样本的相关系数将变小． B. 实验样本的相关系数将不变． C. 实验序号6的预测结果将变大． D. 实验序号6的预测结果将变小． 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关性的性质即可求解AB，根据回归方程的斜率变化，即可求解CD. 【详解】根据表中数据可知：1-4号的数据中，播种面积逐渐增发，总产量整体呈现上升趋势，呈现正相关，但5号数据，播种面积在增大，但产量低，偏离了正相关趋势，当剔除5号数据后，相关性会变强，故AB错误， 由于5号数据削弱了正相关性，导致回归直线的斜率变小，因此剔除后，回归直线的斜率会变大，所以对于试验6号，预测的结果将变大，故C正确，D错误. 故选：C 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 【答案】B 【解析】 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 三、解答题 （本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明:平面，平面，所以； 因为底面是正方形，故．    而，平面,故平面． 又因为平面，因此． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定和性质即可得证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可利用向量法求线面角，或者利用等体积法求解点到平面的距离，利用线面角的几何法求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 方法一： 取的中点，连接，由（1）中结论易知两两垂直. 以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，根据，可知，； 易知，故 即，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 可知. 综上所述：直线与平面的所成角为. 方法二： 设，则，根据，可知， 而，是棱的中点，故，进而 由于平面，,故平面,又平面,故． 在中，可知， 又，在中由余弦定理知. 故的面积为 设到平面的距离为，根据，可知 设直线与平面所成角为，可知. 综上所述：直线与平面的所成角为. 18. 设，.已知函数的定义域为，且． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）设，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据定义域两个端点的偶函数性质求出的值； 方法二：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据求出的值. （2）首先根据定义域求出的范围，然后通过讨论不同的范围下，利用函数的单调性和最大最小值，求出满足不等式成立的的范围，即是最终要求的答案. 【小问1详解】 方法一：由函数是偶函数，，可知，解得， 同时，则，解得， 此时，对任意，显然有. 综上所述：，. 方法二：由函数是偶函数，，可知，解得. 且对任意，有，即， 化简得恒成立，所以. 综上所述：，. 【小问2详解】 根据，，且，则或. 情况1：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 则，故是上的严格增函数， 故只需，解得，则. 情况2：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 由情况1可知，是上的严格增函数， 只需，即，与无交集，舍去. 综上所述，的取值范围是. 19. 某市眼病疾控中心计划对24000名不同年龄的市民进行视力调查，调查所得到的年龄与视力情况如下表所示． 视力情况 年龄范围 视力正常 840 456 1116 2460 1752 视力不正常 6096 960 1920 3840 4560 （1）从中随机抽取一名市民，求所抽取的市民，在“视力正常”的条件下，年龄范围在 的概率； （2）设随机变量为“任取一名市民的视力情况”（若视力正常，则记；若不正常，则记），求的分布与期望； （3）通过分层抽样抽取2000人．请利用抽样后的样本数据填写下列2×2列联表，并判断该市视力情况是否与年龄有关联？ 视力正常 视力不正常 合计 年龄不低于60岁 a b a+b 年龄低于60岁 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2）的分布为 （3）2×2列联表： 视力正常 视力不正常 合计 年龄不低于60岁 351 700 1051 年龄低于60岁 201 748 949 合计 552 1448 2000 有关联.【解析】 【分析】（1） 计算条件概率，统计人数即可得到概率； （2） 利用频率看作概率，即可得到两点概率分布列，并求出期望； （3） 利用统计二阶列联表，并计算卡方，可通过独立性检验原理得到判断. 【小问1详解】 记事件为“所抽取的市民，视力正常”； 事件为“所抽取的市民，年龄范围在”. 由视力正常的人数为：， 则由条件概率可得：. 【小问2详解】 由题干可得，随机变量可能取值为； 因为，. 因此可得，随机变量的分布为 所以，随机变量的期望为：. 【小问3详解】 根据分层抽样，可得如下2×2列联表： 提出原假设：该市视力情况与年龄没有关联，确定显著性水平， 计算， 由于，而，因此根据该数据样本可得，原假设不成立，因此该市视力情况与年龄有关联. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 21. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是. （2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为. （3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系. 【小问1详解】 对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. 【小问2详解】 对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. 【小问3详解】 先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $