2025年江苏省常州市新闸中学九年级中考模拟数学试题

数学中考模拟卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（2分）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作（　　） A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m 2．（2分）计算：2a﹣a＝（　　） A．a B．﹣a C．3a D．1 3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 4．（2分）下列运算正确的是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2+b2 B．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+b2 5．（2分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B．12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12） 6．（2分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．62° C．72° D．82° （第6题图） （第7题图） （第8题图） 7．（2分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＝2，则y1＝y2．其中，错误的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．（2分）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 　 　 ． 10．（2分）计算：（xy2）2＝　 　 ． 11．（2分）若a+2b＝2，则2a+4b＝　 　 ． 12．（2分）分解因式：mx2﹣4my2＝　 　 ． 13．（2分）如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，连接AD，若AB＝5，AD＝6.5，则AC＝　 　 ． （第13题图） （第14题图） （第15题图） 14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，将线段AB绕点A逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点E处，则的长是 　 　 ． 15．（2分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　 　 ． 16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F，若，则的值为 　 　 ． （第16题图） （第17题图） （第18题图） 17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切，连接AB，若AB＝4，则k＝　 　 ． 18．（2分）如图，矩形纸片ABCD，E是边CD上一点，连接AE、BE．F是边AD上一个动点，连接BF，沿直线BF将△ABF翻折，点A落在△ABE内部的点G处．若，BC＝4，，则AF的取值范围是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（6分）计算：． 20．（8分）解方程和不等式组： （1）； （2）． 21．（8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 　 　 分，众数是 　 　 分，平均数是 　 　 分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 22．（8分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）、D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． （1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是 　 　 ； （2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF． （1）求证：DE＝DF；（2）若∠BAC＝80°，求∠CDF的度数． 24．（8分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（3，2）． （1）求反比例函数的表达式；（2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式． 25．（8分）如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域． （1）设垂直于墙的篱笆长是x m，花园面积是S m2，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？ 26．（10分）给出如下定义：点P（x1，y1），点Q（x2，y2）是平面直角坐标系xOy中不同的两点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P、Q的坐标满足|y2﹣y1|＝k|x2﹣x1|，则称P、Q为一对“斜关点”，k叫点P、Q的“斜关比”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）． 例如：若P（1，0），，有，所以点P、Q为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，0）、B（3，1）、C（3，0）、D（3，﹣3）． （1）在点A、B、C、D中，写出一对“斜关点”是 　 　 ，此两点的“斜关比”是 　 　 （只需写出一对即可）． （2）若存在点E，使得点A、E是一对“斜关点”，点C、E也是一对“斜关点”，且k（A，E）＝k（C，E）＝2，求点E的坐标． （3）若⊙O的半径是4，M是⊙O上一点，满足MT＝1的所有点T，都与点D是一对“斜关点”，且k（T，D）≥1．请直接写出点M横坐标m的取值范围． 27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段BC绕点B按顺时针方向旋转到BD，连接CD．点F是边AB上一个动点，连接DF交BC于点E．已知BC＝2，∠DCB﹣∠ABC＝45°． （1）若∠CAB＝70°，则∠ABD＝　 　 °； （2）若∠CBA＝27°，DC＝DE，求CD的长； （3）若DF⊥AB，点E是BC的中点，求AC的长． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC＝4OA，点P是线段BC上一点（不与点B、C重合），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连接OQ，四边形OCPQ是平行四边形． （1）填空：b＝　 　 ； （2）求四边形OCPQ的面积； （3）若点D是OC的中点，连接AD、AC．点E（5，4）是抛物线上一点，F是直线QE上一点，连接BE、BF．若△BEF与△ADC相似，求点F的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考模拟卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B D C B C 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作﹣8m． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．【分析】直接合并同类项得出答案． 【解答】解：2a﹣a＝a． 故选：A． 【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键． 3．【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键． 4．【分析】根据平方差公式及完全平方公式进行逐一判断即可． 【解答】解：A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故本选项不符合题意； B．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，故本选项符合题意； C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意； D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查平方差公式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天． 根据题意得：240x＝150（x+12）． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠2+∠3＝180°，由∠1＝∠3，得出∠1+∠2＝180°，即可得答案． 【解答】解：如图： ∵CD∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∵∠1＝∠3， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝108°， ∴∠2＝72°， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键． 7．【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC或AC＝BC， 当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理， 当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理， ∴AC＝3． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理． 8．【分析】根据二次函数的图象及性质可得a＜0，b＝﹣2a，b＜0，可判断结论①；由x＝2处的函数值可判断结论②；由x＝﹣1处函数值可判断结论③；根据x1+x2＞2得到点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离可判断结论④． 【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0， 二次函数对称轴为直线x＝1，则1， ∴b＝﹣2a，b＞0， ∴ab＜0，故①正确，不合题意； ∵过点（﹣1，0）， ∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为（3，0）， 由函数图象可得x＝2时y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确，不合题意； ∵x＝﹣1时y＝0， ∴a﹣b+c＝0， b＝﹣2a代入得：3a+c＝0，故③错误，符合题意； ∵对称轴是直线x＝1， ∴若，即x1+x2＝2时，y1＝y2， 当x1+x2＞2时，点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离， ∵二次函数图象开口向下， ∴y1＞y2，故④正确，不合题意． 综上所述，错误的选项是③． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与系数符号的关系是解题关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案． 【解答】解：由题意得：点B表示的数是． 故答案为：． 【点评】此题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 10．【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（xy2）2＝x2y2×2＝x2y4． 【点评】此题考查的是幂的乘方与积的乘方； 幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：把积的每个因式分别乘方，然后再将所得的幂相乘． 11．【分析】将2a+4b提取公因式，把a+2b＝2代入计算即可． 【解答】解：∵a+2b＝2， ∴2a+4b＝2（a+2b）＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查代数式求值，提取公因式是解题的关键． 12．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝m（x2﹣4y2）＝m（x+2y）（x﹣2y）． 故答案为：m（x+2y）（x﹣2y） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出BC，根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，D为斜边BC的中点，AD＝6.5， ∴BC＝2AD＝13， 由勾股定理得：AC12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出BC的长是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 14．【分析】作EH⊥AB于H，由矩形的性质得到AE＝2EH，推出∠EAB＝30°，由弧长公式即可求出弧BE的长． 【解答】解：作EH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠DAH＝90°， ∴四边形AHED是矩形， ∴EH＝BC＝2， ∵AE＝AB＝4， ∴EHAE， ∵sin∠EAB， ∴∠EAB＝30°， ∴弧BE的长π． 故答案为：π． 【点评】本题考查矩形的性质，弧长，旋转的性质，关键是作EH⊥AB于H，构造直角三角形，求出∠EAB的度数． 15．【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°． ∵∠ABC＝65°， ∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°． ∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAB＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 16．【分析】先由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而得出AE：DC＝2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵， ∴AE：DC＝2：5，△AEF∽△CDF， ∴（）2， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 17．【分析】依据题意，可得A （2，），B（，2），再由 AB＝4，再根据两点距离公式进而得解． 【解答】解：∵以点A、B为圆心，2为半径作圆，⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切， ∴点A的横坐标为2，点B的纵坐标为2． 可得A （2，），B（，2）， 由两点距离公式可得：2（）2＝（4）2．， 解得k＝﹣4或k＝12． 又∵k＞0， ∴k＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 18．【分析】当点G在线段AE上，设BF交AE于点H，由四边形ABCD是矩形，AB，BC＝4，DE，得∠BAF＝∠D＝∠AHB＝90°，CD＝AB，AD＝BC＝4，可证明∠ABF＝∠DAE，则tan∠ABF＝tan∠DAE，求得AF；当点G在线段BE上，作EK⊥AB于点K，交BF于点T，作TL⊥BF于点L，则四边形BCEK是矩形，所以EK＝BC＝4，BK＝CE＝3，求得BE＝5，由∠GBF＝∠ABF，得LT＝KT，由sin∠BEK，得ETLTKT，则KTKT＝4，求得KT，再证明△KBT∽△ABF，得，求得AF，所以AF的取值范围是AF，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，点G在线段AE上，设BF交AE于点H， ∵点G与点A关于直线BF对称， ∴BF垂直平分AG， ∵四边形ABCD是矩形，AB，BC＝4，DE， ∴∠BAF＝∠D＝∠AHB＝90°，CD＝AB，AD＝BC＝4， ∴∠ABF＝∠DAE＝90°﹣∠BAE， ∴tan∠ABF＝tan∠DAE， ∴AF； 如图2，点G在线段BE上，作EK⊥AB于点K，交BF于点T，作TL⊥BF于点L， ∵∠BKE＝∠KBC＝∠C＝90°， ∴四边形BCEK是矩形， ∴EK＝BC＝4，BK＝CE＝CD﹣DE3， ∴BE5， 由翻折得∠GBF＝∠ABF， ∴LT＝KT， ∵∠ELT＝∠BKE＝90°， ∴sin∠BEK， ∴ETLTKT， ∵KT+ET＝EK， ∴KTKT＝4， ∴KT， ∵∠BKT＝∠BAF＝90°，∠KBT＝∠ABF， ∴△KBT∽△ABF， ∴， ∴AF， ∴当点G在△ABE的内部时，AF的取值范围是AF， 故答案为：AF． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分别求出点G在线段AE上及点G在线段BE上时AF的值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后把化简后合并即可． 【解答】解：原式＝1﹣221 4分 ． 6分 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 20．【分析】（1）方程两边同时乘以2（x﹣1）得出2+2x﹣2＝3，求出方程的解，再进行检验即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， 1， 方程两边同时乘以2（x﹣1），得2+2x﹣2＝3， 解这个方程，得2x＝3， ， 2分 检验：当x时，2（x﹣1）≠0， 3分 所以分式方程的解是； 4分 （2）， 解不等式①，得x， 2分 解不等式②，得x＜1， 3分 所以不等式组的解集是 ． 4分 【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． 21．【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案． 【解答】解：（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69（分），众数是69（分），平均数是70（分）； 故答案为：69，69，70； 3分 （2）82（分）， 答：小涵的总评成绩为82分； 5分 （3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选， 理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分， 所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选． 8分 【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法． 22．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选中D（街舞社团）的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选中D（街舞社团）的结果有1种， ∴他选中D（街舞社团）的概率是． 故答案为：． 2分 （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果有：AA，BB，CC，共3种， ∴他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率为． 8分 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．【分析】（1）由角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，再证△ADE≌△ADF（SAS），即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得∠EAD∠BAC＝40°，AD⊥BC，∠AED＝∠ADE，再由三角形内角和定理求出∠ADF＝70°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． 又∵AE＝AF，AD＝AD， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）， ∴DE＝DF； 4分 （2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠DAC∠BAC＝40°， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD＝70°． ∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDF＝20°． 8分 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 24．【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3，由△OAB的面积为3求得OA＝2，即可求得A（0，﹣2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【解答】解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象过点B（3，2）． ∴， ∴k＝6， ∴反比例函数的表达式是； 3分 （2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3． ∵S△OAB＝3， ∴， ∴OA＝2． ∴A（0，﹣2）， 把A、B点的坐标代入 y＝mx+n，得， 解这个方程组，得， ∴一次函数的表达式是yx﹣2． 8分 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 25．【分析】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，由二次函数性质可得答案； （2）设A区域平行墙的篱笆长ym，则B区域平行墙的篱笆长（30﹣y）m，根据A区域面积不小于B区域面积的2倍，列出不等式，求出y的最小值即可． 【解答】解：（1）设设垂直于墙的篱笆长是x m，则平行于墙的篱笆长为（60﹣3x）m， 由题意，得S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300， ∵﹣3＜0， ∴当x＝10时，S有最大值是300m2， ∴S关于x的函数表达式为S＝﹣3x2+60x，S的最大值为300； 4分 （2）设A区域平行墙的篱笆长y m， 则B区域平行墙的篱笆长（30﹣y）m， 由题意，得10y≥2×10（30﹣y）， 解得：y≥20， ∴y的最小值是20． 则10y×2的最小值是400， 即至少要购买400株牡丹． 4分 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 26．【分析】（1）探究出y2≠y1，x2≠x1，只能是A与B或A与D形成“斜关点”，分别计算即可； （2）设点E（x，y），由定义可知，|y﹣0|＝2|x﹣1|且|y﹣0|＝2|x﹣3|，得到|x﹣1|＝|x﹣3|，解出x的值，再y值即可； （3）作直线a满足与两轴夹45°角，在直线a右侧作直线b∥a且于a相距一个单位，设b交⊙O于P，连接OP，作PH⊥x轴于H，交a于G，作PF⊥a于F，设直线x＝2交⊙O于Q，以P、Q为圆心1为半径作圆，则两圆分别与直线a和x＝3相切，利用勾股定理求出OF，再设OH为x，利用OF列出方程，解出OH，即可回答此题． 【解答】解：（1）∵满足|y2﹣y1|＝k|x2﹣x1|的k为正数， ∴|y2﹣y1|≠0，|x2﹣x1|≠0， ∴y2≠y1，x2≠x1， ∵点A（1，0）、B（3，1）、C（3，0）、D（3，﹣3）， ∴只能是A与B或A与D形成“斜关点”， 当A与B形成“斜关点”，|1﹣0|＝k|3﹣1|， ∴k， 当A与D形成“斜关点”，|﹣3﹣0|＝k|3﹣1|， ∴k， 故答案为：A、B，（答案不唯一）； 2分 （2）设点E（x，y）， 由定义可知，|y﹣0|＝2|x﹣1|且|y﹣0|＝2|x﹣3|， ∴|x﹣1|＝|x﹣3|， ∴x﹣1＝x﹣3（无解，舍去）或x﹣1＝3﹣x， ∴x＝2， ∴|y﹣0|＝2． ∴y＝±2， ∴点E的坐标是（2，2）或（2，﹣2）； 6分 （3）如图，⊙O的半径是4， 作直线a满足与两轴夹45°角，在直线a右侧作直线b∥a且于a相距一个单位， 设b交⊙O于P，连接OP，作PH⊥x轴于H，交a于G，作PF⊥a于F， 设直线x＝2交⊙O于Q，以P、Q为圆心1为半径作圆， ∴两圆分别与直线a和x＝3相切， ∵MT＝1， ∴点T在以M为圆心，1为半径的圆上， ∵k（T，D）≥1， ∴点T需在直线a的右侧（可以在直线a上）， ∵|x2﹣x1|≠0， ∴点T需在x＝3的左侧， 则满足题意的点M的横坐标应在点P和点Q之间（不与点Q重合）， ∵PF＝1＝FG，OP＝4， ∴OF， 设OH＝x＝GH， ∴OGx， ∴1x， ∴x， ∴点P的横坐标为， ∵点Q横坐标为2， ∴m＜2． 10分 【点评】本题考查了圆的综合应用，对新定义的理解并解答及准确的计算是本题的解题关键． 27．【分析】（1）由旋转的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC＝65°，即可求解； （2）通过证明△DCE∽△BCD，可得，即可求解； （3）由“AAS”△CEH≌△BEF，可得EH＝EF，CH＝BF＝DH，通过证明△EFB∽△BFD．可得，即可求解． 【解答】解：（1）∵∠CAB＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝20°， ∵∠DCB﹣∠ABC＝45°， ∴∠DCB＝65°， ∵将线段BC绕点B按顺时针方向旋转到BD， ∴BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝65°， ∴∠CBD＝50°， ∴∠ABD＝70°， 故答案为：70； 2分 （2）∵∠DCB﹣∠ABC＝45°，∠CBA＝27°， ∴∠DCB＝72°， ∵DC＝DE， ∴∠DCB＝∠CED＝72°， ∵BC＝BD， ∴∠DCB＝∠BDC＝72°， ∴∠DBC＝∠CDE＝∠BDE＝36°， ∴DC＝ED＝EB， ∴△DCE∽△BCD， ∴， ∴CD2＝CE•CB， 设CD＝DE＝EB＝x，则CE＝2＝x， ∴π2＝2（2﹣x）， ∴x2+2x﹣4＝0， ∴， （舍去）， 即DC的长是 ； 6分 （3）如图2，过点C是作 CH∥AB交BC于点H． 则∠HCE＝∠FBE．∠CHE＝∠EFB＝90°， ∵∠DCB﹣∠ABC＝45°， ∴∠DCH＝∠CDH＝45°， ∴CH＝DH， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE． ∴△CEH≌△BEF（AAS）， ∴EH＝EF，CH＝BF＝DH， 设∠ABC＝α， 则∠DCB＝∠BDC＝45°+α， ∴∠BDF＝α， ∴△EFB∽△BFD． ∴， ∴， ∴， ∵BC＝2， ∴AC＝1， 即AC的长是1． 10分 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 28．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）证明四边形OCQP是平行四边形，则四边形OCPQ的面积＝OC×PR＝4×2＝8； （3）当△BEF∽△CAD 时，即，即可求解；当△BEF∽△DAC时，同理可解． 【解答】解：（1）∵OC＝4OA＝4， 则OA＝1，则点A（1，0）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：1+b+4＝0， 解得：b＝﹣5， 故答案为：﹣5； 2分 （2）如图1，过点P作PR⊥y轴于R． ∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4） ∴B（4，0）． ∵C（0，4）， ∴直线BC的函数表达式是 y＝﹣x+4， ∵四边形OCQP是平行四边形， ∴PQ∥OC且 PQ＝OC． 设点P（m，﹣m+4）， 则点Q（m，m2﹣5m+4）， ∴PQ＝﹣m＝m2+5m＝﹣m2+4m， ∴﹣m2+4m＝4． ∴m1＝m2＝2， ∴PR＝2． ∴四边形OCPQ的面积＝OC×PR＝4×2＝8； 6分 （3）如图2，过点E作ET⊥x轴于T，过点F作FG⊥ET于G． 则ET＝4． ∵Q（2，﹣2），E（5，4）， ∴直线EQ的函数表达式是y＝2x﹣6． ∴直线EQ与x轴的交点H（3，0）． ∴HT＝2． ∴， ∵OA＝1，OD＝2， ∴， ∴∠HET＝∠ADO． ∵， ∴∠ACD＝∠BET． ∴∠CAD＝∠BEH． 当△BEF∽△CAD 时，即， ∵， ∴． ∴FG＝1，EG＝2． ∴F（4，2）； 当△BEF∽△DAC时，则， ∵， 则， 则， ∴， 综上所述，点F的坐标是（4，2）或 ． 10分 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$