精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025届高三下学期模拟预测数学试题

石嘴山市第一中学2025届高三年级模拟预测 数学 试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（    ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 3. 已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为 ，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 5. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分） 近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 6. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）． A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 7. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）. A. 18 B. 36 C. 48 D. 54 8. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是（ ） （注：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为，则， A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为165 D. 估计该学校学生身高的方差为46.4 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于y轴对称 C. 函数在区间上有2个零点 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与 轴正半轴交于点 ，过 且垂直于 轴的直线与 的某条渐近线交于点，且 与 轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数__________． 13. 的展开式中常数项是___________ 14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 16. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 17. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求 的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设 为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求 的分布列及数学期望. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段 上的动点，求到直线距离的最小值. 19. 已知椭圆分别为椭圆 的右顶点和上顶点，过椭圆 上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N． （1）求椭圆 的方程； （2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）证明：直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025届高三年级模拟预测 数学 试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合 ，再利用集合的交集运算即可. 【详解】由，， 可得. 故选：D 2. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（    ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的乘方、几何意义和有关概念计算即可求解. 【详解】，所以，故A错误； ，故B正确； 的共轭复数为，故C错误； 的虚部为，故D错误 故选：B 3. 已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直性质定理判断A，由条件确定的位置关系，判断B， 根据线面平行性质定理，判定定理证明，判断C，由条件确定位置关系，判断D. 【详解】若，，且m，n为两条不同的直线，由线面垂直性质可得，所以A正确； 若，，则m与n可能相交、平行或异面，所以B不正确； 若，，设过m的平面与，分别交于，，则，，， 所以，又因为，，所以，则，所以C正确； 因为，，，若平面与不垂直，则 与平面相交但不垂直．故D错误. 故选：AC. 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为 ，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求与，利用条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中 为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D. 5. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分） 近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解； 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 6. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）． A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值. 【详解】，故, 记抛物线 的准线为 ，则 ：， 记点到 的距离为，点到 的距离为， 则. 故选：A. 7. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）. A. 18 B. 36 C. 48 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】依题意甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，故先排乙，再排甲，最后将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法， 所以 人的名次排列有种方法. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B 二、多选题 9. 某学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是（ ） （注：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为，则， A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为165 D. 估计该学校学生身高的方差为46.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义，结合平均数、方差的计算公式逐项求解判断. 【详解】对于A，抽取的样本里男生有60人，A正确； 对于B，每一位学生被抽中的可能性为，B正确； 对于C，该学校学生身高的平均值，C错误； 对于D，该学校学生身高的方差，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于y轴对称 C. 函数在区间上有2个零点 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据恒等变换公式化简，A：代入检验法判断；B：先求平移后的解析式，然后根据奇偶性作出判断；C：令，求出 关于 的表达式，对 取值并结合所给范围判断零点个数；D：令，先分析的单调性，由此可判断出在区间上的单调性. 【详解】， 对于A：因为，所以是对称中心，故正确； 对于B：的图象向左平移个单位长度后所得到的图象的解析式为， 显然为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，故错误； 对于C：当时，令，则，所以， 取，则，取，则， 取其他整数时，，所以在区间上有2个零点，故正确； 对于D：当时，则， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故正确； 故选：ACD. 11. 已知 为坐标原点，双曲线的左顶点为 ，右焦点为，以为直径的圆与 轴正半轴交于点 ，过 且垂直于 轴的直线与 的某条渐近线交于点 ，且 与 轴垂直，双曲线的离心率为 ，渐近线的斜率为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题给条件可得，再根据相似三角形的比例关系即可判断A选项；由A知，，，，离心率，即可判断B、C两项；由题知点 横坐标为，纵坐标与 相同，所以可得，又点 在渐近线上，得，则可得，再代入即可判断D. 【详解】 由题知，且，所以. 又因为为直径， 在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点 在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解. 【详解】由题意得， 因为，所以，解得. 故答案为：. 13. 的展开式中常数项是___________ 【答案】61 【解析】 【分析】先求的通项公式，分布求出常数项和项的系数即可. 【详解】由展开式的通项公式有，， 所以当时，，当时，， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：61 14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图，可求得圆锥的母线、高以及底面圆的半径，结合几何关系得，进而可求得球体的半径，再根据球体的表面积公式即可求解. 【详解】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，如图1所示， 则，圆的周长，则， 所以， 又，，， 所以，即，解得， 即球体的半径为，所以其表面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； 【小问2详解】 由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 17. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求 的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设 为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求 的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 的分布列如下， 0 1 2 数学期望为0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量 服从二项分布，所以 , 所以 所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以 的分布列如下， 0 1 2 所以 的数学期望为. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段 上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】（1）由直四棱柱知，底面 ， 因为平面 ，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以 为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面 ，平面 ， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以 为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 19. 已知椭圆分别为椭圆 的右顶点和上顶点，过椭圆 上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线 与椭圆的另一个交点为N． （1）求椭圆 的方程； （2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值； （3）证明：直线经过定点． 【答案】（1） （2） （3） 解法一：设直线的方程为， 点关于直线 对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以 为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以 为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得② 把②代入①得， ，则，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点． 【解析】 【分析】（1）依题意直接得到 、，从而求出椭圆方程； （2）法一：分析可得关于直线 对称，则四边形的面积，设，利用点到直线的距离表示，结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；法二：点M到直线 的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线 平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出 的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出 、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出 、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆 向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. 【小问1详解】 由已知可得，所以椭圆 的方程为． 【小问2详解】 解法一：因为，，所以，即， 因为，即关于直线 对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线 的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线 的距离的最大值． 直线 的方程为， 设，则M到直线 的距离为， ， 因为，所以， 所以， 所以当时，． 解法二：因为，所以，即， 因为，即关于直线 对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线 的距离， 因为，所以的最大值即为点M到直线 的距离的最大值． 直线 的方程为， 若点M到直线 的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线 平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线 的距离的最大值为， ， 当时，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $