精品解析：2025年河南省平顶山市鲁山县两所中学中考二模数学试题

2025河南省鲁山县两所中学中考二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的运算结果等于（ ） A. 5 B. C. D. 2. 上证报中国证券网讯 国家统计局在国新办新闻发布会上介绍，2024年我国经济总量达到万亿元，这是首次突破万亿元，比上年增长，我国经济总量规模稳居全球第二位．用科学记数法表示万亿，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. 3x-2x=1 C. 3x•2x=6x D. 4. 如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ） A. 25立方米 B. 30立方米 C. 32立方米 D. 35立方米 6. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第二象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 10. 赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 五一假期来临之际，小李、小王两位同学分别计划从三个植物园中随机选择一处进行美术写生，则两人恰好选到同一处的概率是_______． 13. 已知是方程的解，那么实数的值为_______． 14. 如图，扇形中，，点为上一点，将扇形沿着折叠，恰好经过点，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年3月28日13时20分缅甸境内发生7.9级地震，泰国北部清迈、夜丰颂等地震感较强，夜丰颂拜县部分景点坍塌．为让同学们了解地震自救知识，某学校举办了“从容面对灾难，实现自我救助”的知识竞赛．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分）绘制了如下不完整的统计图表： 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 组别 成绩分) 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： （1）直接写出统计表中的______，______； （2）学生成绩数据的中位数落在_____组内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是____度； （3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （4）若全校有2000名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 18. 如图，将形矩形放在平面直角坐标系中，且．点在边上，满足，连接，射线． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． （1）求和的值； （2）当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 20. 阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中表示最高的樱花树，表示地面，表示斜坡，阳光的光线与斜坡垂直．若米，米，斜坡的坡角为，求最高的那棵樱花树的高度（其中）（结果精确到米）． 21. 如图，在中，是的外接圆，点是边上一点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 23. （1）如图1，在正方形和中，点G在边的延长线上，点E在边的延长线上．求证：． （2）如图2，在中，，点K是边的三等分点，过点K作，交于点L，点M在边的延长线上，连接，过点L作，交射线于点N．已知，求的值． （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025河南省鲁山县两所中学中考二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的运算结果等于（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 上证报中国证券网讯 国家统计局在国新办新闻发布会上介绍，2024年我国经济总量达到万亿元，这是首次突破万亿元，比上年增长，我国经济总量规模稳居全球第二位．用科学记数法表示万亿，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万亿 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. 3x-2x=1 C. 3x•2x=6x D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据同类项的合并法则、单项式的乘法法则和除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A.，故该选项错误； B. 3x-2x=x，故该选项错误； C. 3x•2x=，故该选项错误； D.，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查合并同类项、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. 如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 由三角形外角的性质以及对顶角的性质可得，如图：过F作，则，易得；再根据余角的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由三角形的外角的性质可得：，即； 由对顶角相等可得：， 如图：过F作，则， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选C． 5. 某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ） A. 25立方米 B. 30立方米 C. 32立方米 D. 35立方米 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式将上面的值代入进行计算即可. 【详解】解：平均每天的用水量是立方米， 故选B. 【点睛】本题考查从统计图中获取信息及平均数的计算方法，解题的关键是从图中获取确定这组数据中的数据. 6. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 7. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，一次函数图象的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据函数图象的增减性判定即可． 【详解】解：A、当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符合题意； B、每个象限，随的增大而减小，不符合题意； C、随的增大而增大，符合题意； D、随的增大先减小再增大，最后减小，不符合题意； 故选：C ． 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 9. 若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第二象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 10. 赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形，三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，，，可得：，，，在中，根据勾股定理可得，即可得，，在中，根据勾股定理可得，然后作，垂足为，证得，可求，然后即可求解； 【详解】解：设，，， ∴， ∴，， 在中，，即， ∵， ∴，且，， 化简得：， 解得：或（舍去）， ∴，， 即， ∴， 在中，， 作，垂足为，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：A. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．先提公因式2，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 五一假期来临之际，小李、小王两位同学分别计划从三个植物园中随机选择一处进行美术写生，则两人恰好选到同一处的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小李和小王恰好选中同一处的结果有3种， 两人恰好选中同一处的概率是． 13. 已知是方程的解，那么实数的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次方程，理解方程的解的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．将代入分式方程，得到关于m的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 14. 如图，扇形中，，点为上一点，将扇形沿着折叠，恰好经过点，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法是解题的关键．根据恰好经过点O，可得点O关于的对称点在上，然后作点O关于的对称点D，连接，可得则，阴影部分的面积为，再证得是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵恰好经过点O， ∴点O关于的对称点在上，作点O关于的对称点D，连接，如图， 则， 阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴，即， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，使得，作关于对称点，交于点，连接，交于点，过作于点，过作于点，则四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，故有，，，，由等腰三角形的性质和勾股定理得，，则，，当三点共线时最小，即最小值为，再以为原点，所在直线为轴，最后由平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，作关于对称点，交于点，连接，，交于点，过作于点，过作于点， ∴四边形是平行四边形，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴当三点共线时最小，即最小值为， 如图，以为原点，所在直线为轴， ∴，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，平行四边形与矩形的判定与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，两点之间线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先化简二次根式，绝对值，再计算乘除法，然后合并即可； （）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 2025年3月28日13时20分缅甸境内发生7.9级地震，泰国北部清迈、夜丰颂等地震感较强，夜丰颂拜县部分景点坍塌．为让同学们了解地震自救知识，某学校举办了“从容面对灾难，实现自我救助”的知识竞赛．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分）绘制了如下不完整的统计图表： 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 组别 成绩分) 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： （1）直接写出统计表中的______，______； （2）学生成绩数据的中位数落在_____组内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是____度； （3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （4）若全校有2000名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 【答案】（1）40，80 （2），72 （3） 补全条形统计图如下： （4）1400 【解析】 【分析】（1）由题意知，共调查（人），根据，计算可得值，根据，计算求解即可； （2）根据中位数为第100，101位的数的平均数，进行判断即可，根据，计算求解即可； （3）补全统计图即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共调查（人）， ∴（人）， ∴（人）， 故答案为：40，80； 【小问2详解】 解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数， ∵，， ∴中位数落在组内， ∴， 故答案为：，72； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵（人）， ∴估计成绩高于90分的学生人数为1400人． 【点睛】本题考查了条形统计图，频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息． 18. 如图，将形矩形放在平面直角坐标系中，且．点在边上，满足，连接，射线． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段的长． 【答案】（1） 解：如图：射线即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相似三角形解决实际问题成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作角平分线即可； （2）如图：延长交射线于点Q，过点G作于点H，然后证明可得，进而得到；再证明，设，则、，易得，则，最后运用勾股定理以及线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：延长交射线于点Q，过点G作于点H， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图的步骤，可知平分， ∴． 又∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． （1）求和的值； （2）当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把点代入一次函数，反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设，则，所以点到的距离为，，则，结合二次函数最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于点， ∴，， 解得，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为， ∵点在第一象限且在点左侧，且轴， ∴设，则点的横坐标为， ∴，即， ∴点到的距离为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为． 20. 阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中表示最高的樱花树，表示地面，表示斜坡，阳光的光线与斜坡垂直．若米，米，斜坡的坡角为，求最高的那棵樱花树的高度（其中）（结果精确到米）． 【答案】最高的那棵樱花树的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于E，解得到米，则米，再证明，据此解，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于E， 由题意得，， ∴， 在中，米， ∴米， ∵， ∴， 在中，米， 答：最高的那棵樱花树的高度为米． 21. 如图，在中，是的外接圆，点是边上一点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）连接，证明，则，即可得到结论； （2）求出，连接，，证明是等边三角形，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∵ ∴， 连接，， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点M坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答； （3）先点D坐标，进而求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点是拋物线上的点， ∴解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拋物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． ∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：∵点是抛物线上一点， ∴，则， 设直线的表达式为， ∵点，， ∴，解得：， 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时， ， ∴时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， ， ∴当时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 23. （1）如图1，在正方形和中，点G在边的延长线上，点E在边的延长线上．求证：． （2）如图2，在中，，点K是边的三等分点，过点K作，交于点L，点M在边的延长线上，连接，过点L作，交射线于点N．已知，求的值． （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：∵正方形和， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质以及等边对等角可得，再结合正方形的性质运用即可证明结论； （2）解：如图，作于点O，易得，证明可得可得，即；再四边形是矩形可得，，进而证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （3）根据已知条件及勾股定理可得，如图，作于点N，证明可得，再证明可得，即，最后代入整理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方形的性质、平行线的判定和性质等知识点，作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $