精品解析：安徽省合肥市包河区2024-2025学年九年级中考三模数学试卷

2024-2025学年度第二学期教学质量检测（三） 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出ABCD四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据0.000000068用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由两个同样大小正方体和一个四棱锥搭建的几何体，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区的75份环境数据样本．已知样本分布如下：热带雨林气候20份；沙漠气候15份；温带海洋性气候25份；极地气候5份；地中海气候10份；若从这75份样本中随机抽取一份，抽到的样本不是温带海洋性气候的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______（填，或）． 12. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，则k的值为______． 14. 如图，中，，，为边的中点，将线段以点中心逆时针旋转得到线段，连接． （1）若，则长为______； （2）长最大为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 化简：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点分别在格点上，O为格点． （1）将线段向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段． （2）以点O为中心，在网格画出线段的中心对称线段，并直接写出的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 （1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？ （2）该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 18. 如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 20. 如图，已知是的直径，C为上一点，连接为上一点，连接并延长交过C点的切线于点E，已知． （1）求证：． （2）若，，求长． 六、（本题满分12分） 21. 为了解某校学生本学期阅读书籍数量，随机调查了该校名学生，根据统计结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为______，图中的值为______，这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为______； （2）补全图，并求出这些学生本学期阅读书籍数量的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，学校为本学期阅读书籍不少于本学生颁发“阅读之星”勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： （3）若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M． （1）若， ①求证：； ②求的值； （2）求证：M为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期教学质量检测（三） 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出ABCD四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义， 根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为2025． 故选：B． 2. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据0.000000068用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000068用科学记数法表示为； 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式，积的乘方，幂的乘方．根据合并同类项、单项式乘单项式，积的乘方，幂的乘方进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原说法错误； B、，故原说法错误； C、，故原说法正确； D、，故原说法正确； 故选C． 4. 如图，是由两个同样大小的正方体和一个四棱锥搭建的几何体，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左面看所得到的视图叫做左视图． 根据左视图的定义即可得到答案． 【详解】解：的左视图是 故选：C． 5. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，正多边形的内角，三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据正多边形的内角和公式以及每一个内角都相等，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴； 故选B． 6. 某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区75份环境数据样本．已知样本分布如下：热带雨林气候20份；沙漠气候15份；温带海洋性气候25份；极地气候5份；地中海气候10份；若从这75份样本中随机抽取一份，抽到的样本不是温带海洋性气候的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握“概率 = 所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．先算出温带海洋性气候样本数量，再求出不是温带海洋性气候的样本数量，最后用不是温带海洋性气候的样本数除以总样本数得到概率． 【详解】解：总样本数份，温带海洋性气候份，不是温带海洋性气候的样本数为份， ∴抽到不是温带海洋性气候样本的概率为 ． 故选：D 7. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键； 根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积； 故选：C． 8. 已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，在数轴上表示不等式的解集，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出函数值为2时自变量的值即可得到的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：∵点是一次函数的图象一点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，， 故选：A． 9. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 10. 如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小． 先根据算术平方根的性质把化为的形式，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为______． 【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴，垂足为E，证明可得，继而求出，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】如图，过B点作轴于点E， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 14. 如图，中，，，为边的中点，将线段以点中心逆时针旋转得到线段，连接． （1）若，则长为______； （2）长最大为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，借助于圆求线段的最值问题，解题的关键是构造出圆来解决最值问题． （1）利用勾股定理和线段的中点即可求解； （2）过点作，使，以线段的中点为圆心，长为半径画，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 为边的中点， ， 故答案为：2； （2）如图，以为直径画，则点在上， 过点作，使，连接 以线段的中点为圆心，长为半径画， ，， ， ， ∴点在以为直径的圆弧上， 连接并延长，交于点，此时长最大， ， ， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点分别在格点上，O为格点． （1）将线段向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段． （2）以点O为中心，在网格画出线段的中心对称线段，并直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图和中心对称作图、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握平移的性质和中心对称的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质画出点A、B平移后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质即可完成作图，根据勾股定理及其逆定理即可判断是等腰直角三角形，进而可得． 【小问1详解】 解：线段如图所示： 【小问2详解】 解：线段如图所示； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 （1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？ （2）该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】（1）该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 （2）该文具店全部卖完一共可获得1548元利润 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【小问1详解】 解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． 【小问2详解】 （元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 18. 如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 【答案】商场A到电影院D距离约为780米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过B点作于点E，于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：过B点作于点E，于点F， 由题意得，， 四边形为矩形， ， 由题意得，米，米， 在中，， （米）， （米）， （米），（米）， 在中，， （米）， （米） 答：商场A到电影院D距离约为780米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案：． 20. 如图，已知是的直径，C为上一点，连接为上一点，连接并延长交过C点的切线于点E，已知． （1）求证：． （2）若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，求得，得到，根据三角形外角的性质得到； （2）根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质得到结论． 【小问1详解】 解：连接． ∵为的切线， ， ， ∵为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴， 解得， ， ， 由（1）知， ， 即， 解得． 六、（本题满分12分） 21. 为了解某校学生本学期阅读的书籍数量，随机调查了该校名学生，根据统计结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为______，图中的值为______，这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为______； （2）补全图，并求出这些学生本学期阅读书籍数量的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，学校为本学期阅读书籍不少于本的学生颁发“阅读之星”勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数． 【答案】（1），，； （2）图见解析，本； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，正确掌握上述知识点是解题的关键． （）由阅读量为本的人数除以所占百分比可得抽查人数；求出阅读量为本，本所占百分比，再用减去阅读量为本、本、本、本所占百分比即可；求出阅读书籍为本、本的人数，然后按中位数的定义即可得出结论； （）补全条形图，按平均数的定义求平均数； （）用总人数乘以阅读量为本、本、本所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由条件可知，∵， ∴， ∴， 学生本学期阅读书籍本的有（人）， 学生本学期阅读书籍本的有（人）， 学生本学期阅读书籍数量从小到大排列第位数和第位数均别为， ∴这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由上可得学生本学期阅读书籍本的有人，学生本学期阅读书籍本的有人， 补全统计图，如图所示， ， 答：这些学生本学期阅读书籍数量的平均数为本； 【小问3详解】 解：由题意得：（人） 答：该校获得“阅读之星”勋章的演大约有人． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： （3）若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）P点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 【小问2详解】 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． 【小问3详解】 由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 八、（本题满分14分） 23. 已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M． （1）若， ①求证：； ②求的值； （2）求证：M为的中点． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①利用正方形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出，最后利用轴对称的性质即可得出． ②证明，由相似三角形的性质得出，即，设即，解得，再根据正切的定义求解即可． （2）延长、交于点P．由平行线的性质得出 ，根据等腰三角形的判定和性质即可得出，再根据相似三角形的性质可得出进而可得出M为的中点． 【小问1详解】 ①证明：∵是正方形， ∴， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ． 又E点与F点关于对称， ； ②， ， ， 又∵， ， ， 即， 设， 则， 解得， ； 【小问2详解】 证明：如图，延长、交于点P． ， ，， ∵， ， ， 又， D为的中点，即， ∵， ∴， ∴， ， 即M为的中点． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求角的正切值，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线截线段成比例，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$