精品解析： 河南省周口市2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

2024-2025学年度高二5月联考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程求，即可求椭圆的离心率. 【详解】在双曲线中，，所以， 所以，所以离心率. 故选：C. 3. 如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 4. 正整数满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用二项式定理可得其展开式，进而化为形式，即得答案. 【详解】因为 ，所以， 故选：D 5. 在等比数列中，，，则当取得最小值时， （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 6. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 7. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数恒成立条件，分析构成函数得两个函数的单调性情况和零点的情况，分别计算两个函数的零点，写出零点之间的关系式方程，再构造函数求出代数式的最小值. 【详解】由题意知，则，因为函数在定义域上单调递增，函数在定义域上也单调递增. 当在区间上，函数与有相同的零点，且符号相同，就满足函数恒成立. 解，得，解，得， 所以，解，得，所以，所以. 令，则， 解，得，解，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ） A. B. -3 C. 1 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求得，得到切线方程为，根据切线过点，求得，由切线有2条，利用，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】设切点为，由函数，可得， 则切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 因为切线有2条，所以，解得或， 结合选项知，选项A、D符合题意. 故选：AD. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两点分布定义直接计算可得A正确，利用方差性质计算可得B正确，由二项分布公式计算可得C错误，结合正态分布对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，可得， 则，故A正确； 对于B，若随机变量的方差，则，故B正确； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C错误； 对于D，若随机变量服正态分布，，则， 所以，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，直线与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为.若点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，得到直线的方程，联立方程组，根据，求得，得到抛物线的方程，进而求得切点，结合抛物线的定义，可得判定A错误，B正确；设点到直线的距离为，得到，结合点到直线的距离公式，求得，可判定C正确；再由直线的方程为，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，可得判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心， 因为点，所以直线的斜率， 因为直线为圆的切线，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，解得（舍去）， 所以抛物线的方程为， 当时，方程，可得， 解得，所以，解得，所以切点， 所以，所以A错误，B正确； 设点到直线的距离为， 因为，所以， 当且仅当直线，且在垂线段上时，等号成立， 因为点到直线的距离，所以，所以C正确. 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，，则____________. 【答案】20 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. 故答案为：20. 13. 100件产品中含有4件二等品、96件一等品，从中随机抽取5件，则抽出的产品中至少有4件一等品的抽法有____________种.（结果用式子表示） 【答案】或 【解析】 【分析】抽出的5件产品中至少有4件一等品包含4件一等品1件二等品和5件一等品0件二等品两类情况，再由组合数结合分类加法原理计算可得. 【详解】抽出的5件产品中至少有4件一等品包含4件一等品1件二等品和5件一等品0件二等品两类情况. 抽出的5件产品中，有4件一等品1件二等品的抽法有种， 有5件一等品0件二等品的抽法有种， 由分类加法计数原理，得抽出的5件产品中至少有4件一等品的抽法有或种. 故答案为：或. 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过指对互化把原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解. 【详解】因为，对恒成立，所以，， 所以，所以， 令，则， 因为，所以在上为增函数，所以， 所以，令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即，所以， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，利用指对互化对不等式同构变形，然后利用导数研究单调性和最值，分离参数，再利用导数研究最值即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知构造数列后由等比数列的性质可得； （2）由错位相减法求和可得. 【小问1详解】 因数列满足， 所以， 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则， 以上两式相减，得 ， 所以. 16. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意补全列联表，再由条件计算卡方进行独立性检验可得； （2）先求出男、女性对服务非常满意的概率，列出可能的取值，计算相应概率，列出分布列，再由期望公式求解可得. 【小问1详解】 根据题意，完整的列联表如下 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 零假设为：不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异. 根据列联表中的数据，计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异. 【小问2详解】 由列联表，得女性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为. 由题意可知，可能的取值为0，1，2. ，，， 故的分布列为 0 1 2 故的数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，过点A作于点E． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又平面平面． 平面平面． 又平面． （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点B且平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴， 过点B且平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设．① ．② 由①②得． 又为的重心，． 设平面的法向量为，则 ， 令，则 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C的方程； （2）设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 注意到A为BP的中点，由相关点法，即可求得曲线C的方程； (2) 先判断直线l恒过点，而即为△QMN面积的两倍，故将问题转化为求△QMN面积的最大值. 【小问1详解】 设点P（x，y），D，则A 、B，由题意的，因为， 所以 而，， 所以代入圆O：得曲线C的方程为 . 【小问2详解】 由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为． 联立得消去x得， ，化简整理，得． 设，，则，． 因为，所以． 因为，所以，，得， 将，代入上式，得， 得， 解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，则直线l恒过点， 所以． 设，则，， 易知在上单调递增，所以当时，取得最大值为． 又，所以． 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）不存在；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和分别讨论值的符号作答. （2）根据给定条件，求出斜率k，在成立时可得，分析整理并构造函数，利用函数探讨单调性质即可推理作答. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得，而， 则当时，即在R上为增函数， 当时，由，得，即，解得或， 则有或，由，解得， 所以在上递减，在和上递增． 【小问2详解】 依题意，，求导得， 有两个极值点，即在上有两个不等根和，则，且， 因为， 则，若存在a，使得，则， 即，不妨令，亦即成立， 令，，，因此在上递增， ，于是得当时，不成立， 所以不存在a，使得. 【点睛】思路点睛：涉及的双变量函数问题，不管待证的是两个变量的等式或不等式，还是导函数的值的等式或不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二5月联考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （ ） A. B. C. D. 4. 正整数满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2023 D. 2024 5. 在等比数列中，，，则当取得最小值时， （ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知直线与圆交于两点，设弦中点为，为坐标原点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ） A. B. -3 C. 1 D. 3 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，直线与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为.若点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列前项和，若，，则____________. 13. 100件产品中含有4件二等品、96件一等品，从中随机抽取5件，则抽出产品中至少有4件一等品的抽法有____________种.（结果用式子表示） 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 16. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且为重心，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C的方程； （2）设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值． 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $