广东省深圳市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024~2025学年度高一下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 过三个点有且只有一个平面 B. 四边形可以确定一个平面 C. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行 D. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 对于，内角所对的边分别为，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 是为锐角三角形的必要不充分条件 D. 若，则符合条件的有两个 11. 如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若，则 C. 若为的内心，，则 D. 若是的外心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则_____． 13. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为_____；侧面积为_____． 14. 如图，在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若是夹角为的两个单位向量，则． （1）求和； （2）求与的夹角． 16. 锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，边上的中点为． （1）求四棱锥的体积； （2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； （3）求直三棱柱外接球的表面积． 18. 的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且． （1）若，求面积的最大值； （2）若，当取得最小值时，求的值． 19. 在中，对应的边分别为 （1）求； （2）奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值． 2024~2025学年度高一下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）6 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①设，由，得， 从而，即 ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $