精品解析：江西省九江市都昌县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 实数的绝对值是 （ ） A. 3 B. C. D. 2. 截至2024年11月，我国高铁的运营总里程已超过46000公里，稳居世界第一．数据“46000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 李老师每天早上都去公园锻炼，他从家里步行到公园，在公园里打太极拳锻炼身体，然后步行回家，在这个过程中，李老师和家的距离y与时间x的对应图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. “国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班100分的人数最多．”嘉淇的描述所反映的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图所示，已知点P是二次函数图象的顶点，若关于x的一元二次方程有实数根，则下列结论正确的是（　　） A. m的最大值为-6 B. m的最小值为-6 C. m的最大值为8 D. m的最小值为8 二、填空题（本题共6小题，每题3分） 7. 若，则______． 8. 分解因式：______． 9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为________． 10. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中，，，，则点的坐标为___________． 12. 如图，在中，，，分别是，边上的点，且，与交于点，，若点是射线上一点，当是等腰三角形时，则的度数是______． 三、解答题（本题共5小题，每题6分） 13. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 14. 如图，在菱形中，，垂足为点E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出线段的中点M； （2）在图2中，过点C画出边上的高． 15. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 16. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 17. 在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 四、（本题共3小题，每题8分） 18. 某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了______名学生； （2）图中“小说类”所在扇形的圆心角为______度； （3）若该校共有学生人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数． 19. 如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点，，，，，，在同一平面内）． （1）求风轮叶片的长度； （2）如图2，点在右侧，且．求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 五、（本题共2小题，每题9分） 21. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． （1）求，两点的坐标． （2）求抛物线的解析式，点，点的坐标，及抛物线的对称轴； （3）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 六、（本题12分） 23. 综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 实数的绝对值是 （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：的绝对值是3． 故选：A． 2. 截至2024年11月，我国高铁的运营总里程已超过46000公里，稳居世界第一．数据“46000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．解题的关键：能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示． 【详解】解：由上向下观察物体看到的图形为： 故选：D． 4. 李老师每天早上都去公园锻炼，他从家里步行到公园，在公园里打太极拳锻炼身体，然后步行回家，在这个过程中，李老师和家的距离y与时间x的对应图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：步行到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大，故选项A、B不符合题意； 第二阶段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变； 第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故选项C不符合题意，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查函数图象问题，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的倾斜度判断运动的速度是解决本题的关键． 5. “国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班100分的人数最多．”嘉淇的描述所反映的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数．根据题意众数的定义即可求解． 【详解】解：得分是100分的人数最多， ∴嘉淇的描述所反映的统计量是众数． 故选：C． 6. 如图所示，已知点P是二次函数图象的顶点，若关于x的一元二次方程有实数根，则下列结论正确的是（　　） A. m的最大值为-6 B. m的最小值为-6 C. m的最大值为8 D. m的最小值为8 【答案】C 【解析】 【分析】方程化为，因此关于x的一元二次方程有实数根，从函数的角度是二次函数与直线有公共点，观察图象知，，则可求得答案． 【详解】方程化为， 由于关于x的一元二次方程有实数根， 所以二次函数与直线有公共点， 观察图象知，， 解得：， 则的最大值为8， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，注意从函数角度理解一元二次方程是解题的关键，注意数形结合． 二、填空题（本题共6小题，每题3分） 7. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性，代数式求值问题，掌握平方和算术平方根的非负性是解本题的关键． 根据平方和算术平方根的非负性可得，的值，再代入可解答． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键． 原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．根据点坐标的平移规律求解即可得． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标为，即为， 故答案为：． 10. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 11. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中，，，，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，相似三角形及坐标与图形，正确做出辅助线，掌握相似三角形的判定方法，是解答本题的关键．先根据勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数求出的长，最后利用三角形相似求出线段的长度，得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，分别是，边上的点，且，与交于点，，若点是射线上一点，当是等腰三角形时，则的度数是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可分当时，当时，进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当是等腰三角形时，则分：①当时，此时点P与点F重合， ∴； ②当时，且点P在线段上， ∵， ∴； 点P在射线上，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； ③因为，所以，所以这种情况是不成立的， 综上所述：当是等腰三角形时，则或或； 故答案为或或． 三、解答题（本题共5小题，每题6分） 13. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，绝对值，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，计算即可得到结果． （2）括号中两项通分并同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在菱形中，，垂足为点E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出线段的中点M； （2）在图2中，过点C画出边上的高． 【答案】（1）图1中AC与BD交点即是M．（2）图2中CN就是AD边上的高． 【解析】 【分析】（1）菱形是特殊的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分可解．（2）根据矩形的判定方法作过A、E、C为顶点的矩形即可． 【详解】如图1 作法：连接BD交AC于M，则点M就是求作的点．理由如下： ∵菱形ABCD ∴AC与BD互相平分（菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分） ∴M是AC的中点． （２）如图2 作法：连接EM并延长交AD于N，连接CN，则CN就是求作的高．理由如下： ∵菱形ABCD ∴AD∥BC ∴∠NAC=∠ACE ∠ANM=∠MEC 又∵M是AC的中点 ∴AM=CM ∴△AMN≌△CME（ASA） ∴EM=MN ∴四边形ECNA是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又∵ ∴四边形ECNA是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ∴于N ∴CN是AD边上的高． 【点睛】本题是考查菱形和矩形有关的知识的作图题．解答的要点是先画划草图，再根据草图第（1）题应用菱形性质和第（2）应用矩形的判定方法找到作图的方法． 15. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 16. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【解析】 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 17. 在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 【答案】400米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，利用平行关系判定相似三角形，再结合相似三角形的对应边成比例是解题关键．由可证得，进而通过相似三角形的比例关系建立等式，求解的长度． 【详解】解：厘米米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：的大致距离为米． 四、（本题共3小题，每题8分） 18. 某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了______名学生； （2）图中“小说类”所在扇形的圆心角为______度； （3）若该校共有学生人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200 （2）126 （3）216人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用文史类的人数除以其所占的百分比即可得到结论计算即可； （2）利用样本容量计算出生活类的人数，利用扇形的知识计算求解可得到结论； （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 根据题意，得（人）， 故答案为：200． 【小问2详解】 样本中生活类人数为：（人）， 故小说类人数为：（人）， 根据题意，得， 故答案为：126． 【小问3详解】 根据题意，得（人）， 答：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数216人． 19. 如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点，，，，，，在同一平面内）． （1）求风轮叶片的长度； （2）如图2，点在右侧，且．求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径作圆，延长交于点，设直线与交于点，根据题意可得，，从而求出的长，进而可得，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，从而得，，进而求出，然后在中求出，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：以点为圆心，的长为半径作圆，延长交于点，设直线与交于点 由题意得：，， ∴， ∴， ∴风轮叶片的长度为； 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， ∴． ∴在中，． ∵， ∴， ∴， ∴此时风叶的端点距地面的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的定义，矩形的判定与性质，三角函数等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式，根据待定系数法求得一次函数解析式，再求得点A的坐标，最后得出反比例函数解析式； （2）求得的长，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k≠0）的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点 ∴把代入，得，解得， 把代入，得； 把代入，得，解得； 【小问2详解】 解：过，点A作轴，垂足为H，如图所示： ， ， ∵一次函数的图像与y轴交于点B， 即当时，， ， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数，熟练求出函数解析式是解题的关键． 五、（本题共2小题，每题9分） 21. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切； 在直角中由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：如下图所示，过作于， ， ， 平分交于点， ， 与相切； 【小问2详解】 解：设圆的半径为， ，，， ， ，是的切线， ， ， ， ， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． （1）求，两点的坐标． （2）求抛物线的解析式，点，点的坐标，及抛物线的对称轴； （3）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2），，， （3）或 【解析】 【分析】根据一次函数图像性质即可求解； 先用待定系数法求出二次函数的解析式，对二次函数的一般形式进行变形，再根据二次函数的图像与性质即可求解； 根据题意可知，若存在直线与抛物线的交点则有，整理后根据根与系数的关系得到，，代入即可求得值． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于、两点， ，． 【小问2详解】 解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线解析式为， 当时，， ， 解得或， ， ， ，对称轴． 【小问3详解】 解：值存在， 依题得：， ， ，， 代入可得， ， 解得或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与一元二次方程综合、一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． 六、（本题12分） 23. 综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点C作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；， ∴； ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点C作，且，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $