精品解析：江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期第二次阶段性考试（5月）数学试题

2024/2025学年度第二学期 联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则化简，再利用复数求模公式即可. 【详解】，则. 故选：C 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角之比求出三个角的大小，再利用正弦定理将转化为即可求解. 【详解】因为，且， 所以，， 所以 故选：D. 3. 在平行四边形中，为对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4. 设，是两个不同平面，，是两条直线，下列命题中错误的个数是（ ） （1）如果，，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，，那么； （4）如果，与所成的角和与所成的角相等，那么 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】A. 利用垂直于同一直线的两平面平行判断； B. 再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；D.利用空间直线的位置关系判断． 【详解】A. 因为，，所以，又，所以，故正确； B.因为，，所以或，又，所以，故错误； C. 因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误； D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误． 故选：C 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，结合得到函数值域. 【详解】 ， 设，所以在上单调递减， 故. 故选：B 6. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式将转化为，展开后借助辅助角公式化简即可求解. 【详解】 . 故选：D. 7. 在中，若，，则角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理化简，再根据余弦定理求解的大小即可. 【详解】因为，所以由正弦定理可得，， 又根据余弦定理，， 又因为，所以. 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系求出，再由向量夹角的坐标表示以及辅助角公式可求得当时，所求表达式取得最大值. 【详解】如下图所示： 易知，所以； 同理可得，即可得； 因为点是线段上，可得； 显然，所以； 因此可得，其中； 因此可得当，即等号成立； 由可得，此时存在满足， 所以的最大值为. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ） A. 与有三个交点 B. 与有两个交点 C. ，当时，恒在的下方 D. ，当时，恒在的上方 【答案】BC 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随的运动而变化 B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】证明出平面，结合锥体体积公式可以判断A；证明出平面平面，根据面面平行的性质判断B；利用特殊点判断C；证明出以平面，从而得到面面垂直. 【详解】A选项，因为，平面，而平面， 所以平面，故上任意一点到平面的距离均相等， 的面积为定值，则三棱锥的体积不变，故A错误； B选项，由正方体的性质可得且， 又平面，都不在平面内， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故B正确； C选项，当与重合时，，所以为等边三角形， 则与的所成角为，所以不成立，C选项错误； D选项，因为平面，平面，故， 又因为，平面， 所以平面，平面，故， 因为平面，平面，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 故选：BD. 11. 中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得，则设，再结合面积公式及的面积可求出，从而可求出三边长，然后逐个分析判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，由的面积，得， 化简整理得，解得，则， 对于A，的最长边长为14，A正确； 对于B，由余弦定理得， 而，则，，B正确； 对于C，的三条高的和为，C错误； 对于D，由为的中线，得， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有三个交点，由已知画出图象观察即可求解. 【详解】有三个零点，可转化为与有三个交点， 函数是定义域为的奇函数，所以图象关于原点对称， 再由当时，，可画出下图： 由图可知：，即. 故答案为：. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知条件并结合对称性可得，再以为基底表示出，根据即可得结果. 【详解】利用对称性由可得， 可得，即； 又； 所以可得，即可得. 故答案为：4 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2） ； 【解析】 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. 【小问2详解】 ，则. ，则，. 所以. 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积的定义，求出向量的坐标． （2）根据向量垂直可得，再根据模的计算公式，即可得到答案； 【详解】（1）向量，的夹角为，且，设，若， 则，． ，，故． （2）因为， ， ，． . 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值； （2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得. 【小问1详解】 因为 ， 又，所以，故， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 . 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且，点F为PD中点. （1）若，证明：直线AF∥平面PEC； （2）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）首先取中点，连接，，根据三角形中位线性质和已知得到，，从而得到四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定即可证明平面. （2）由题知：要使平面平面，只需，从而得到，即可得到. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 因为，分别为，的中点，所以，. 因为，所以为的中点，所以，. 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以直线平面. （2）存在一个常数，使得平面平面，理由如下： 要使平面平面，只需， 因为，， 所以， 又因为平面，，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则， 又，所以，得到， 又，且 所以的取值范围是. 【小问2详解】 因为和，则，， 则设向量和的夹角为，则， 所以， 则，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 因为，则，， 又，则，即， 又，则，又正整数， 当，不合题意， 当，，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2025学年度第二学期 联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个不同平面，，是两条直线，下列命题中错误的个数是（ ） （1）如果，，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，，那么； （4）如果，与所成的角和与所成的角相等，那么 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 在中，若，，则角的大小为（ ） A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ） A. 与有三个交点 B. 与有两个交点 C. ，当时，恒在的下方 D. ，当时，恒在的上方 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随的运动而变化 B. 平面 C. D. 平面平面 11. 中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若，则_____． 13. 已知函数是定义域为奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为_____． 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为_____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，求的值． 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值； （2）若，，求的值. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且，点F为PD中点. （1）若，证明：直线AF∥平面PEC； （2）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$