精品解析：2025年江苏省盐城市盐都区三模数学试题

2025年春学期第三次学情调研 九 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列关于表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为8 D. 中位数为9 【答案】D 【解析】 【分析】先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时），再据此分析这组数据． 本题主要考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数）是解题的关键． 【详解】解：数据10出现2次，7、8、9各出现1次， ∴众数是10 ． 将数据排序为7，8，9，10，10 ，数据个数5（奇数），中间的数是9， ∴中位数是9 ． 故选：D． 5. 2025年“五一”假期，盐城市A级旅游景区、乡村旅游重点村、旅游休闲街区共接待游客6806800人次．数据6806800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 6. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看到的图形是 故选：D． 7. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(　　) A. 75° B. 65° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】对图中的角进行标注，如图： ∵∠ACB=∠DFE=90°， ∴∠ACB+∠DFE=180°, ∴AC//DF， ∴∠2=∠A=45°， ∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°， 故选A． 8. 小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数， ． 故选：A 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 二次根式有意义，那么实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的求解，根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 10. 因式分解：_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法提取公因式m，即可解答. 【详解】 故答案为 【点睛】此题考查因式分解-提公因式法，解题关键在于掌握运算法则. 11. 甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是_______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵平均值相同，且， 故采集到更稳定心率数据的手环是甲； 故答案为：甲． 12. 新定义：．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，即，得到，求出或，即可得到答案． 【详解】解：新定义：，， ，即， ， 解得：或， 故答案为：或． 13. 如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，由切线的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由圆周角定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是的切线，点B和点C是切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 关于、的方程组则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组求解问题．本题可以通过将两个方程相加或相减来简化计算，直接得到的值，而无需单独求解的值． 【详解】解：观察， 将两个方程相加，得到：， 将上述方程两边同时除以3，得：． 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，先利用弧长公式求解，可得，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵的长为m，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，函数（）的图像经过该正方形的顶点P，（）的图像上有一点D，直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E．当时，b的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质. 先求出反比例函数解析式，根据题意求出，，当时，由中点坐标可知，再由值恒定，随b的增大而增大，作答即可. 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∵函数（）的图像经过该正方形的顶点P， ∴， 即函数解析式为， ∵直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E． ∴F纵坐标为3，E纵坐标为0 当时，，即 当时，，即 当时，由中点坐标可知 ∵直线经过点D， ∴， ∴， ∵值恒定， ∴随b的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：. 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，算术平方根和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 解集在数轴上表示如图： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知和，点在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据两直线平行内错角相等，可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元． 22. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 （1）请写出统计表中a，b的值： _____， _____； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 【答案】（1），10 （2）估计最常使用“”的同学约有180名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答； （2）用学生数乘以所占的比例即可解答； （3）先画树状图得所有等可能结果数以及恰好是和的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查学生数：， 所以使用“”同学的所占百分比为，即； “豆包”使用的学生数为：位，即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：（人）． 答：最常使用“”的同学有180位． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是和的结果数为2． ． 23. 已知实数a，b，c满足，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A、C两点，并与线段交于另一点D．小盐在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全； （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ① 求证：直线是的切线； ② 若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； （2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证； ②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，、点O、点D即为所求． 【小问2详解】 ①证明：连接， 弧弧， ， ， ， ， ． 又是的半径， 直线是的切线． ②解：设的半径为r，则，， 中，， 即， 解得， 故的半径为． 25. 为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色的校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案．某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图 2，点 A、B、C、D、E 在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为 F，垂直平分，与 交于点 G．其中， 参考数据 设计任务 任务 1：求文化长廊的最大宽度的长； 任务 2：求文化长廊的最高点E到地面的距离.（结果精确到0.1m） 【答案】任务1：的长为4.6m 任务2：文化长廊的最高点E到地面的距离为3.5m 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数和数形结合是解题的关键. 任务1：过点D作，交延长线于点H，求出，证明，求出，即可得到； 任务2：由矩形的性质得到，求出，即可得到答案. 【详解】解：任务1：过点D作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵垂直平分，垂足为 F，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 答：CD的长为4.6m； 任务2：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 答：文化长廊的最高点E到地面的距离为3.5m． 26. 已知二次函数的图像为C． （1）用m表示图像C的顶点坐标； （2）证明：当时，图像C与x轴有两个交点； （3）记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点． （1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为； （2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点； （3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：整理， 可得：， 图像的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图像与轴有两个交点； 【小问3详解】 解：一次函数（是常数，，）的图像为线段， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 依题意，图像与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， ∴； ②当时， ， 解得：； ③当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， ， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）； 综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点． 27. 图形的平移、轴对称和旋转是初中数学中重要的基本全等变换．这些变换在保持图形形状和大小不变的前提下，通过改变图形的位置或方向，展现出独特的几何特征与性质．灵活运用这三种变换的特性，不仅能将复杂的几何问题化繁为简，还能在探索过程中发现新颖的几何结论，为解决各类数学问题提供巧妙的思路与方法．下面请利用这三种基本全等变换尝试解决以下问题： （1）如图1，在矩形中，，点E、F为边的三等分点，且，则图中阴影部分的面积为______； （2）如图2，在矩形中，，点E、F为边的三等分点，则图中阴影部分的面积为______； （3）如图3，在矩形中，，点P是折线上的动点（不与点B、D重合），连接，线段沿翻折得到线段，记，将点D绕点C按逆时针方向旋转α得到，作射线交折线于点Q． ① 如图4，当点、点和点C共线时，求的面积； ② 点P在运动过程中，当点恰好落在矩形的边所在直线时，求的长． 【答案】（1）8 （2） （3）①8②或 【解析】 【分析】（1）由矩形性质，得，根据线段三等分点，得，根据平行线性质，得，可得四边形和四边形都是正方形，可得； （2）连接，根据三等分点，得，得，根据直径性质，得，得A，P，F三点共线,由轴对称可得，，得所对的4条弧全等，将叶形沿公共弦拆开放到大弓形里面的两个小弓形上，得； （3）①由矩形性质得，由翻折性质得，，由旋转性质得，当点、点和点C共线时， ，得，，即得； ②当点落边上时，证明，得，得，∴，证，得，得，得； 当点落边的延长线上时，证明，由，得，证明，可得，得，即得；综上，的长为或． 【小问1详解】 解：∵矩形中， ， 且点E、F为边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形都是正方形， ∴； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：连接， ∵在矩形中，，，点E、F为边的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵是两半圆的直径， ∴， ∴， ∴A，P，F三点共线 由轴对称知，， ∴， ∴所对的4条弧全等，如图， 将弓形2绕点P顺时针旋转到弓形1， 将弓形3绕点P逆时针旋转到弓形4， 则； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵在矩形中，， 由翻折知，， 由旋转知，， ∴， 当点、点和点C共线时， ， ∴， ∴在中， ， ∴在中， ， ∴， ∴； ②当点落边上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点落边的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平移、轴对称和旋转．熟练掌握平移、轴对称和旋转性质，矩形性质，正方形判定和性质，圆周角定理推论，扇形面积公式，割补法求图形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期第三次学情调研 九 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列关于表述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式，计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为8 D. 中位数为9 5. 2025年“五一”假期，盐城市A级旅游景区、乡村旅游重点村、旅游休闲街区共接待游客6806800人次．数据6806800用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(　　) A. 75° B. 65° C. 45° D. 30° 8. 小军借助几何画板软件研究函数图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 二次根式有意义，那么实数a的取值范围是_____． 10. 因式分解：_______. 11. 甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是_______．（填“甲”或“乙”） 12. 新定义：．若，则的值为______． 13. 如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则______． 14. 关于、的方程组则的值为______． 15. 如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，函数（）的图像经过该正方形的顶点P，（）的图像上有一点D，直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E．当时，b的取值范围为_______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知和，点在上，，，．求证：． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：x元/个 单价：元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 22. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 （1）请写出统计表中a，b的值： _____， _____； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 23. 已知实数a，b，c满足，． （1）求证：； （2）若，求的值． 24. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A、C两点，并与线段交于另一点D．小盐在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全； （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ① 求证：直线是的切线； ② 若，，求的半径． 25. 为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案．某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图 2，点 A、B、C、D、E 在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为 F，垂直平分，与 交于点 G．其中， 参考数据 设计任务 任务 1：求文化长廊的最大宽度的长； 任务 2：求文化长廊的最高点E到地面的距离.（结果精确到0.1m） 26. 已知二次函数的图像为C． （1）用m表示图像C的顶点坐标； （2）证明：当时，图像C与x轴有两个交点； （3）记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 27. 图形的平移、轴对称和旋转是初中数学中重要的基本全等变换．这些变换在保持图形形状和大小不变的前提下，通过改变图形的位置或方向，展现出独特的几何特征与性质．灵活运用这三种变换的特性，不仅能将复杂的几何问题化繁为简，还能在探索过程中发现新颖的几何结论，为解决各类数学问题提供巧妙的思路与方法．下面请利用这三种基本全等变换尝试解决以下问题： （1）如图1，在矩形中，，点E、F为边的三等分点，且，则图中阴影部分的面积为______； （2）如图2，在矩形中，，点E、F为边的三等分点，则图中阴影部分的面积为______； （3）如图3，在矩形中，，点P是折线上的动点（不与点B、D重合），连接，线段沿翻折得到线段，记，将点D绕点C按逆时针方向旋转α得到，作射线交折线于点Q． ① 如图4，当点、点和点C共线时，求的面积； ② 点P在运动过程中，当点恰好落在矩形的边所在直线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $