精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高三下学期适应性考试数学试题

2025届高三年级适应性考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以或. 故选：C. 2. 复数 满足，其中i为虚数单位，则 对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果. 【详解】因为，所以 则其对应点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知向量，若反向共线，则实数 的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或7 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以. 因为共线，所以，解得 或. 又反向共线，代入验证可知 时为同向，舍去. 而满足条件，所以. 故选：. 4. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 5. 已知正项等比数列的前 项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 因为，所以， 所以或舍， 所以. 故选：C. 6. 已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由几何法求弦长时的取值范围，再求其真子集即可. 【详解】的充要条件是：圆心，到直线 的距离， 即，故的充分不必要条件是的真子集. 故选：A. 7. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为 ，底面圆半径 ，外接球球心为 ，半径， 则球心 到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 8. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为 ，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 【答案】AB 【解析】 【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数的计算公式，即可判断D. 【详解】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10. 已知等差数列的首项为，公差为 ，前 项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当 时， B. 函数 有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数 是定义在R上的奇函数，当 时，， 则当 时，，故，A错误； 对于B，函数 是定义在R上的奇函数，故； 当 时，令，解得； 当 时，令，解得 ； 故函数 有3个零点，B正确； 对于C，当 时，令，解得 ； 当 时，令，解得，则 ， 故的解集为，C正确； 对于D，当 时，，所以时， ， 单调递减， 时，， 单调递增，所以时， 取最小值为， 且 时，，所以，即， 当 时，，当 时，， 单调递增， 当时， ， 单调递减， 所以 时， 取极大值为，且 时，，时，， 所以，所以， 综合以上， 的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则 ___________. 1 2 3 4 5 6 6 3 1 【答案】4 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点计算求参. 【详解】因为 两变量x，y的经验回归方程为过，则 则. 故答案为：4. 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则 的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求出的单调递增区间，然后列不等式，按照、、分类讨论求解. 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且 ， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则 的最大值为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线 与交于点P，若，则________．（S表示面积） 【答案】3 【解析】 【分析】通过直线方程联立求解交点坐标，再利用线段长度关系得出参数之间的关系，最后根据三角形面积的比例关系求解． 【详解】设，由已知得直线 的方程为，直线的方程为， 两直线方程联立，可解得点P的坐标为． 由，得， 可得，整理得，即，解得，所以P点的纵坐标为，得．所以． 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为 三个内角的对边，且. （1）求 ； （2）若，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得， 即， 所以，因为， 所以，又，解得； 【小问2详解】 若，则，这里 是三角形外接圆的半径， 解得， 由余弦定理可得. 16. 已知椭圆的一个焦点，短轴长为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线与 轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.证明：点在以为直径的圆外. 【答案】（1） （2）由题意得，直线，则， 当直线斜率为0时，不妨令， 此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设， 由可得，， 则， ， 故在以为直径的圆外. 综上所述，点在以为直径的圆外. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求得，即可求解； （2）分直线斜率为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意得，即， 所以， 则椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图①，在矩形 中，，，M为 的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接， （如图②）． （1）证明：平面； （2）已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求 ． 【答案】（1）证明：在矩形 中，，， 易得，则，即， 在四棱锥中，平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在矩形 中，分析图形关系易得，在四棱锥中，由平面平面可得平面，可得，进而求证即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为 ，连接， 由，则， 又平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 以 为原点，以的方向为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，由，得，即， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取 ，得， 设直线与平面所成角为 ， 则， 整理得，又，则. 18. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量 和年销售额 ，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据. 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设变量和变量 的样本相关系数为，变量 和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个 与 相关性较强的模型. （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【答案】（1）模型中 与 的相关性较强. （2）（i）；（ii）27.1亿元. 【解析】 【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出 ，比较大小即可判断； （2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量. 【小问1详解】 由题意知 . 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中 与 的相关性较强. 【小问2详解】 （i）由，得，即. 因为， 所以， 故关于 的经验回归方程为，即 ,所以. （ii）将代入得. ，故得，解得， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） 证明：①； ②. （2） （3） 由（2）知：当 时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造函数 ①当时，因为，当且仅当即 时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意； ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级适应性考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足，其中i为虚数单位，则 对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若反向共线，则实数 的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或7 4. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 5. 已知正项等比数列的前 项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 6. 已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为 ，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 已知等差数列的首项为，公差为 ，前 项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 11. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当 时， B. 函数 有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则___________. 1 2 3 4 5 6 6 3 1 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则 的最大值为______. 14. 已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线 与 交于点P，若，则________．（S表示面积） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为 三个内角的对边，且. （1）求 ； （2）若，求 . 16. 已知椭圆的一个焦点，短轴长为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线与 轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.证明：点在以为直径的圆外. 17. 如图①，在矩形 中，，，M为 的中点，将沿 折起，使A到处，平面平面，连接， （如图②）． （1）证明：平面； （2）已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求 ． 18. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量 和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据. 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设变量和变量的样本相关系数为，变量 和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与 相关性较强的模型. （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于 的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $