精品解析：2025年山东省菏泽市单县中考三模数学试题

二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题（三） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的乘方法则、绝对值意义、算术平方根意义、零指数幂运算法则分别计算出各选项的数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 又 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂，实数大小比较，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2. 中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，的指数与小数点移动的方向与位数有关． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列各个立体图形的主视图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图、中心对称图形的识别．几何体的主视图是从正面看到的图形得到每个选项中几何体的主视图，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中图形的主视图都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中图形的主视图是圆，能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 4. 若点在第四象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式①得，， 解不等式②鹅，， 所以，的取值范围是． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，单项式乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法则． 分别对每个选项根据相应运算法则进行计算判断． 【详解】A、同底数幂相加，只有当指数和底数都相同才能合并，与底数相同但指数不同，不能直接相加，所以，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：C． 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选：A． 7. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求出不等式的解集即可，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 由图象可知：的解集为：； 故选B． 8. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数比． 利用等腰直角三角形求出，再利用求出长度即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长． 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，与正方形一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 若，，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的运用，代数式求值，利用提公因式法可得，再代入已知条件计算即可求解，掌握因式分解的运用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为10的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：5 13. 如图，中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 点落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 14. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 【答案】n值是10或9． 【解析】 【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】由①=1+2得x=1或x=2； 由②=2+3得x=2或x=3； 由③=3+4得x=3或x=4， 可得第n个方程为：x+=2n+1， 解得：x=n或x=n+1， 将变形，(x+3)+=2n+1， ∴x+3=n或x+3=n+1， ∴方程的解是x=n-3，或x=n-2， 当n-3=7时，n=10， 当n-2=7时，n=9， ∴n的值是10或9． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再选择恰当的数代入求值． 【答案】（1）（2）；当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，特殊角三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握负整指数幂与零指数幂的运算法则和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和把特殊角三角函数值代入，再计算合并同类二次根式即可； （2）先根据分式混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， 当或时，原分式无意义， ∴x可以取除这四个值之外的任意一个值， 例如时，原式． 17. 为了加强体育锻炼，增强学生的体质．某校在课后活动中组织九年级学生掷铅球测试，每人掷4次，每一次达到中学生国家体育标准计1分．随机抽取了a名学生的4次测试成绩，将收集到的数据整理统计．以下是抽取的测试成绩频数分布表和扇形统计图的部分信息． 测试成绩频数分布表 成绩（分） 频数 4 12 3 b 2 15 1 0 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）抽取学生成绩是1分的百分比是多少？ （3）若该校九年级有800名学生参加测试，统计得分超过2分（不包括2分）的学生约有多少人？ 【答案】（1） （2） （3）人. 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，频数分布表与扇形统计图； （1）根据成绩为分的人数除以占比，求得的值，根据成绩为分的人数的占比，求得； （2）用总人数减去已知人数即可得到抽取学生成绩是1分的学生数，再除以总人数即可得出百分比； （2）根据得分超过分的学生的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，（人），（人）， 故答案为： 【小问2详解】 （人）， ∴， 即抽取学生成绩是1分的百分比是； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人. 18. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）． （1）求路段BQ的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）． 【答案】（1）米；（2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt△PQB中利用60°的三角函数求解即可； （2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a的代数式表示出PH和AH，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：（1）作PD∥QB，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°， 则在Rt△PQB中，， 即米； （2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设， ∴HQ=AM=a，AH=MQ， ∴PH=9－a， ∵， ∴， ∴AH=QM=， 由题意得：∠DPA=∠PAH=30°， 在Rt△PAH中，∵， ∴，解得：， ∴AM=2，BM=， ∴米． ∴电子眼区间测速路段AB的长为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键． 19. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠可得，从而得到然后设点M到的距离为，点O到的距离为，证明，利用，即可求解； （2）作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点O， 于点M，则直线即为所求折痕． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∵ ∴ ∴ 设点M到的距离为，点O到的距离为， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 解得： 【小问2详解】 能，理由如下： 由（1）可得： 而 可得： 是的垂直平分线， ∴ ∴作的角平分线交于点P，作线段的垂直平分线交于点O，交于点M，则直线即为所求折痕， 如图所示： 【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 小问2详解】 解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； 【小问3详解】 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 21. 如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． （1）求证：是的切线； （2）求y关于x的函数解析式； （3）梯形面积为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； 【小问3详解】 解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 22. （1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2），证明见解析（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）． 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； （2）点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 【答案】（1），直线，， （2）①点M是线段的中点，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用． （1）将点代入中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可； （2）①设直线的表达式为，从而求出M的坐标为，根据二次函数解析式，求出点P的坐标为，进而判断即可； ②将的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：将点代入得，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， 点C关于对称轴的对称点的坐标为； 【小问2详解】 解：①点M是线段的中点，理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 此时点M的坐标为， 当时，，即点P的坐标为，， 点M为线段的中点； ②设，，则， ， ， 当时，最长， 将代入，得，即， 当线段最长时，点M的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题（三） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各个立体图形的主视图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在第四象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，，，则长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 10. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 若，，则代数式的值是______． 12. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 13. 如图，中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率________． 14. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为___________． 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再选择恰当的数代入求值． 17. 为了加强体育锻炼，增强学生的体质．某校在课后活动中组织九年级学生掷铅球测试，每人掷4次，每一次达到中学生国家体育标准计1分．随机抽取了a名学生的4次测试成绩，将收集到的数据整理统计．以下是抽取的测试成绩频数分布表和扇形统计图的部分信息． 测试成绩频数分布表 成绩（分） 频数 4 12 3 b 2 15 1 0 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）抽取学生成绩是1分的百分比是多少？ （3）若该校九年级有800名学生参加测试，统计得分超过2分（不包括2分）的学生约有多少人？ 18. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）． （1）求路段BQ的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB长（结果保留根号）． 19. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 21. 如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． （1）求证：是的切线； （2）求y关于x的函数解析式； （3）梯形的面积为，求的长． 22. （1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； （2）点M是线段上一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$