精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

河溪中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，则是（ ） A. B. C D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　　) A. ＝(0，0)，＝(1，2) B ＝(－1，2)，＝(5，－2) C. ＝(3，5)，＝(6，10) D. ＝(2，－3)，＝(－2，3) 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数z的共轭复数为，若，则（ ） A. z的实部是1 B. z的虚部是 C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递减 11. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若，则等腰三角形 B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则钝角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若间的夹角为，则______. 13. 函数，则______. 14. 中，角 的对边分别是，已知，则 _______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且面积为，求的周长. 17. 近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 19. 已知是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义即可求解. 【详解】由， 则 故选：A. 2. 复数则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法求得z再根据复数的几何意义判断即可 【详解】，故z对应的点的坐标是 故选：A 3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 4. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定的书写规则来确定答案. 【详解】命题，则是： 故选：C. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知展开化简可得平方后，再结合即可解决. 【详解】由已知，化简， 即， 即，平方可得：，解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查已知三角函数值求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到已知式与待求式之间的联系与差异，本题是一道基础题. 6. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，即，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积. 【详解】在中，由余弦定理得，既有，又由面积公式，得，又，故，所以．因为，所以，又由正弦定理，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积 故选：D 7. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　　) A. ＝(0，0)，＝(1，2) B. ＝(－1，2)，＝(5，－2) C. ＝(3，5)，＝(6，10) D. ＝(2，－3)，＝(－2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可． 【详解】根据， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】 ，选C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数z的共轭复数为，若，则（ ） A. z的实部是1 B. z的虚部是 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可得到其共轭复数与模，即可判断； 【详解】解：因为，所以，所以，，的实部为，虚部为； 故选：AC 10. 已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可 【详解】由图像可知函数 的最大值为2，最小值为，所以， ， 又 又 所以 又，所以 所以，故A正确， 将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得 ，故B选项正确， 由 所以的图像关于点对称，故C错误. 由 即 所以选项D正确 故选：ABD. 11. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若锐角三角形，则不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到或，即可判断A错误；对选项B， 根据题意得到，从而得到，即可判断B正确；对选项C，根据题意得到，从而得到，即可判断C错误；对选项D，根据得到为钝角，即可判断D正确. 【详解】对选项A，， 所以或，故A错误； 对选项B，是锐角三角形， 所以， 所以，故B正确. 对选项C，， 所以，. 又因为，所以为钝角，为钝角三角形，故C错误； 对选项D，， 所以， 即，又因为，所以为钝角，为钝角三角形，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若间的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用，结合数量积的运算，即可求解. 【详解】向量，，若间夹角为， 则. 故答案：. 13. 函数，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据自变量的值确定代入哪一段函数解析式来计算内层函数值，再将内层函数值作为新的自变量，代入相应解析式计算外层函数值. 【详解】已知函数， 因为，所以将代入中， 可得.  因为，此时求即求. 又因为，所以将代入中，可得， 所以  故答案为：3. 14. 中，角 的对边分别是，已知，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】化简已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin（C）＝0，结合范围C∈（，），可求C的值． 【详解】∵c2＝2b2（1﹣sinC）， ∴可得：sinC＝1， 又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC， ∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0， ∵C∈（0，π），可得：C∈（，）， ∴C0，可得：C． 故答案为 【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解； （2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果. 【小问1详解】 由，可得，即． 又，，所以，， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以，解得，所以. 又， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①，     由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 17. 近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 【解析】 【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式； （2）根据（1）所得分段函数，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案． 【小问1详解】 当0＜x≤20时，＝x﹣（180+450x）＝610x﹣2x2﹣180﹣450x＝﹣2x2+160x﹣180， 当20＜x≤50时， 所以，. 【小问2详解】 当0＜x≤20时，＝﹣2x2+160x﹣180＝﹣2（x﹣40）2+3020， 则函数在（0,20]上单调递增，故当x＝20时，取得最大值，且最大值为2220； 当20＜x≤50时， ， 当且仅当，即x＝30（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270， 因为2270＞2220， 所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为；单调增区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解； （2）由已知可得，根据的范围和同角三角函数的基本关系可得，由两角差的正弦函数求解即可； （3）由可得，根据三角恒等变换结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 最小正周期为， 令，， 所以，， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以 所以 ； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 19. 已知是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）在R上单调递增，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值； （2）根据函数单调性的定义判断即可； （3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可． 【小问1详解】 是R上的奇函数， ，对任意，即， 即，对任意恒成立， ，即. 【小问2详解】 为R上的增函数，证明如下： 任取，，且， ， ，， ，即， 所以函数为R上的增函数. 【小问3详解】 不等式在R上恒成立， ， 又为R上的增函数， 在R上恒成立， 即，令，， 上式等价于对恒成立， 即，令，只需即可， 又，开口向下，对称轴为，， ， . 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$