精品解析：海南省定安中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

定安中学2023级高二第二学期期中考数学学科试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集概念进行求解. 【详解】. 故选：A 2. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用递推关系，直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 故选：C. 4. 两数的等比中项是（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的定义即可求解. 【详解】设与两数的等比中项是，则，解得：. 故选：A. 5. 的展开式中的第五项为（ ） A. B. C. 35 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理直接列式求得答案. 【详解】的展开式中的第五项为. 故选：D 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求，计算，利用点斜式求切线方程. 【详解】，则，则， 又，则切线方程为，即. 故选：A 7. 设，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 8. 有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法 B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C. 分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有90种分法 D. 分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均分配和部分平均分配原则，按选项要求一一计算可判定选项. 【详解】先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法； 最后的2本书给丙，有种方法. 所以不同的分配方法有种，故A正确； 先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人， 所以不同的分配方法有种，故B错误； 6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种分法；其余2本分给丙、丁，有种分法． 所以不同的分配方法有种，故C错误； 先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有种分法； 再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有种，故D错误． 故选：A 二、多选题 9. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解. 【详解】由图可知：当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误； 又由图可知，且在左边导数， 所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确. 故选：AC 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照相，下列说法正确的是（ ） A. 甲不能排在两侧的排法总数为72种 B. 甲、乙相邻的排法总数为12种 C. 甲、乙不相邻的排法总数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为36种 【答案】AC 【解析】 【分析】根据特殊元素法，先排特殊元素甲，即可判断A；利用捆绑法判断B；利用插空法判断C；根据定序法判断D. 【详解】对于A，甲不能排在两侧，则甲排在中间3个位置上，然后其余4人全排列， 共有种排法，A正确； 对于B，甲、乙相邻，利用捆绑法，共有种排法，B错误 对于C，甲、乙不相邻，先排其余3人，再将，甲、乙插入其余3人排完后形成的空中， 共有种排法，C正确； 对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有种排法 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为种，D错误， 故选：AC 三、填空题 12. 若数列为首项为3，公差为2的等差数列，则_______． 【答案】48 【解析】 【分析】直接根据等差数列的求和公式计算即可. 【详解】. 故答案为：48. 13. 已知函数则_____ 【答案】1 【解析】 【分析】先求的导函数，再令即可得到的方程. 【详解】因为函数则 当时，则，解得则 故答案为：1 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，转化为有两个不等的正根，从而由根的判别式和韦达定理得到不等式，求解即可. 【详解】函数的定义域为， 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的正根， 设两根分别为且，所以可得，解得， 所以的取值范围为； 故答案为： 四、解答题 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据，，先求解等比数列的公比，然后利用公式可得数列的通项公式； （2）根据等比数列的求和公式进行求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍）， 所以，. （2）由（1）得，所以. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 17. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. （2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解. （3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解. 【小问1详解】 由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 【小问3详解】 因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 18. 从含有3件次品的10件产品中，任意抽取4件进行检验 （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）35 （2）63 （3）203 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据排列组合即可求解. 【小问1详解】 都是合格品的抽法有种， 【小问2详解】 抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有 【小问3详解】 抽到3件次品的抽法有， 任抽4件产品的抽法一共有， 故抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有 19. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明：时，要证，即. 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解，设为，且，. 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即. 所以在上恒成立. 从而原命题成立. 【解析】 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （3）问题转化为，设，，只需证的最小值大于0即可. 【小问1详解】 因为，所以. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，. 当时，上式恒成立，即； 当时，. 设，， 则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 所以由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 综上可知：的取值范围为：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安中学2023级高二第二学期期中考数学学科试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 两数的等比中项是（ ）. A. B. 1 C. D. 5. 的展开式中的第五项为（ ） A. B. C. 35 D. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 8. 有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法 B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C. 分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有90种分法 D. 分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 二、多选题 9. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照相，下列说法正确的是（ ） A. 甲不能排在两侧的排法总数为72种 B. 甲、乙相邻的排法总数为12种 C. 甲、乙不相邻的排法总数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为36种 三、填空题 12. 若数列为首项为3，公差为2的等差数列，则_______． 13. 已知函数则_____ 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________． 四、解答题 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 17. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 18. 从含有3件次品的10件产品中，任意抽取4件进行检验 （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 19. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $