精品解析：江苏省扬州市宝应县宝楠学校2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷A

宝楠学校高一年级第二次月考数学试卷 总分：150分 时长：120分钟 命题人：徐文辉 祝考试顺利！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的倍， 所以平面图形的面积. 故选：A 3. 下列选项正确的是（ ） A. 空间三点确定一个平面 B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本事实1判断A，根据面面平行的判定判断B，根据线面垂直的性质判断C，根据空间角的定理判断D. 【详解】空间中不共线的三点确定一个平面，故A错； 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，无数并不代表所有，故B错； 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故C对； 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D错. 故选：C 4. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数. 【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为， 所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人. 故选：C 5. 已知，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 6. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 7. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 8. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，即可判断A，再由同角三角函数的基本关系求出，即可判断B，利用二倍角公式判断C，D. 【详解】对于A ：因为，所以，解得，故A正确； 对于B：因为，解得或，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D： 或，故D正确. 故选：ACD 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，可求直线与所成的角判断A；连接交于点，连接，可得直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角，求解可判断B；易求得二面角的大小判断C；接，平面截正方体所得的截面为梯形，求解可判断D. 【详解】对于A，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故A正确； 对于B，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面，则， 又，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且， 所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，，且，，________ 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可求出，进而求出，再由两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的数量积的定义，即可求解； （2）由，利用向量模的计算公式，得出关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，所以， 因为，与的夹角为，可得. 【小问2详解】 解：由， 因为，所以，即， 所以或. 16. 在中，. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，又， 则，， ， 所以. 【小问2详解】 在中，因为，则是锐角， 又，则， 因为，，则是锐角， 所以， 在中，， 所以 . 17. 在中，． （1）若的面积为，求； （2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于，先利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式展开，即可求出角，再由三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理即可； （2）先利用正弦定理表示出，即可得到周长的表达式，再由是锐角三角形得到角范围，即可借助三角函数求出周长的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， ， 又因为在中，， 所以， 整理可得，又因为，， 所以，因为，所以. 因为，所以. 因为，所以由余弦定理可知，， 所以. 【小问2详解】 因为，又由（1）可知，所以， 由正弦定理可知， 所以， 所以的周长 . 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求证：平面. 【答案】（1）∵，且为的中点，∴. ∵底面为矩形，∴，∴； （2）∵底面为矩形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 又，，、平面，平面， ∵平面，∴平面平面； （3）如图，取中点，连接. ∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为矩形，且为的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面. 【解析】 【分析】（1）欲证，只需证明即可； （2）先证平面，再证平面平面； （3）取中点，连接，证明，则平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直. 19. 如图，在三棱锥中，底面，平面平面. （1）求证：； （2）若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求； ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在中，， 在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，、平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 设，，且，则，所以，， 所以，，， 因为平面，平面，所以，， 因为为的中点，则，所以，， 所以，， 所以，， 在直角中，，其中， 因为二次函数在上单调递增， 当时，，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，即为的中点，所以，， ，故二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝楠学校高一年级第二次月考数学试卷 总分：150分 时长：120分钟 命题人：徐文辉 祝考试顺利！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 3. 下列选项正确的是（ ） A. 空间三点确定一个平面 B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 4. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则（     ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（     ） A. B. C. D. 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 13. 已知，，且，，________ 14. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为_________. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 16. 在中，. （1）求的值； （2）若，求. 17. 在中，． （1）若的面积为，求； （2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求证：平面. 19. 如图，在三棱锥中，底面，平面平面. （1）求证：； （2）若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $