精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市初中学业水平暨高中招生考试数学试卷模拟试题(一)

哈尔滨市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试卷（一） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（    ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 7. 下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，…，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子（　　 ） A. 42 B. 56 C. 64 D. 72 8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则 ＝（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，按以下步骤作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，且恰好经过点A，与交于点E． 则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 多项式x3y﹣xy的公因式是_____． 13. 不等式组的解集是______． 14. 如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 15. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是__． 16. 如图是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻R增大，则电流I为______． 17. 75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm． 18. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 19. 在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为______． 20. 如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为______． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上. （1）在图中画出面积为4的等腰，且点在小正方形的顶点上； （2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出的面积. 23. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图；请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人？ （2）计算并将条形统计图补充完整； （3）该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？ 24. 为等边三角形，点D、E分别在边上，，交于点F． （1）如图1，以为一边作等边，连接，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，设与边交于点H，若，，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出图2中面积等于的三个三角形． 25. 某商场购进北京冬奥会甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元． （1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？ 26. 内接于，是直径，平分交于点D，连接交于F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点D作于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，的延长线交于N，若，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点是抛物线的顶点，连接和． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，过点P作的垂线，垂足为E，设的长为d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交于Q，过点P作x轴的平行线与的延长线交于点F，连接，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试卷（一） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简及倒数，直接根据求一个数的倒数的方法及二次根式的化简即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，都是正整数）；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（，都是正整数）；积的乘方：积的乘方等于乘方的积，即（为正整数）；合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同指数不变．逐项判断选择即可． 【详解】解：A、，原选项错误，故不符合题意； B、，原选项错误，故不符合题意； C、，原选项错误，故不符合题意； D、，原选项正确，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念去判断即可． 【详解】A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； B、是轴对称图形也是中心对称图形，故满足题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念． 4. 2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：2000万＝20000000＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法；掌握好科学记数法的表示原则是关键． 5. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 【详解】俯视图如图所示： 故选：B． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可． 【详解】∵抛物线中，a＜0， ∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键． 7. 下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，…，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子（　　 ） A. 42 B. 56 C. 64 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】观察并比较分析每个图形的相同点与不同点，得出每个图形的每行的棋子数相等．另外，任意两个相邻的图形中后一个图形的棋子的行数总是比前一个图形的棋子多1行，且每一行棋子数比前一个的图形的每一行棋子数对一个，进而得出图形棋子数的变化规律，从而解决该题． 【详解】解：第①个图形的棋子数为y1=2枚． 第②个图形的棋子数为y2=2×3=6枚． 第③个图形的棋子数为y3=3×4=12枚． 第④个图形的棋子数为y4=4×5=20枚． ..． 以此类推，第n个图形的棋子数为yn=n（n+1）枚． ∴第⑧个图形的棋子数为y8=8×9=72枚． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生观察与比较分析能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题． 8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则 ＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵AD＝3，BD＝4， ∴， ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9. 如图，在菱形中，按以下步骤作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，且恰好经过点A，与交于点E． 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，连接，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再根据菱形的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而得到的度数．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ． 故选：C． 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积． 【详解】解：由图2可知： 当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4， 当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面积为4×5＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．熟记分式的分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 多项式x3y﹣xy的公因式是_____． 【答案】xy 【解析】 【分析】根据公因式的找法：①当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；③取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 【详解】解：多项式x3y﹣xy的公因式是xy． 故答案为：xy． 【点睛】此题考查了找公因式，关键是掌握找公因式的方法． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组无解， 故答案为：无解 14. 如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 15. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是__． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算出扇形Ⅰ的圆心角，再求扇形I的面积与圆的面积比即可． 【详解】解：扇形Ⅰ的圆心角：360°﹣60°﹣120°﹣45°＝135°， 设圆的半径为r， 则指针指向扇形Ⅰ的概率是： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求概率，解题的关键是熟练掌握概率的公式． 16. 如图是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻R增大，则电流I为______． 【答案】2A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，直接利用电流是电阻的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．正确得出函数关系式是解题关键． 【详解】解：设，当时，时， 则， 解得：， 故， 若电阻增大，则电流为． 故答案为：． 17. 75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm． 【答案】6 【解析】 【分析】由弧长公式：计算． 【详解】解：由题意得：圆的半径． 故本题答案为：6． 【点睛】本题考查了弧长公式． 18. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：， ∴方程为：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 19. 在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为______． 【答案】5或3 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．分两种情况讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在线段上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当点D在线段延长线上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 综上分析可知：的长为5或3． 故答案为：5或3． 20. 如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，过作于点，则，根据题意可设，，根据解直角三角形列方程求得，即可求得，进而求解即可，熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， 为中点， ， 在中，， 如图，过作于点，则， 在中，， 设，， ， ， ， 在中，， 即， 经过检验解得， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出，代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式. 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上. （1）在图中画出面积为4的等腰，且点在小正方形的顶点上； （2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出的面积. 【答案】 （1）如图，△ABC即为所求． （2）如图，平行四边形ABDE如图所示． S△ACE=6． 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想画出△ABC即可． （2）利用数形结合的思想画出平行四边形ABDE即可，利用分割法求出△ACE的面积． 【详解】（1）略 （2）S△ACE=3×5-×2×2-×3×3-×1×5=6． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 23. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图；请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有多少人？ （2）计算并将条形统计图补充完整； （3）该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？ 【答案】（1）50人 （2） （3）600人 【解析】 【分析】（1）用选修舞蹈课程的人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数； （2）求出选修绘画课程的人数，再补全统计图即可； （3）用2000乘以样本中选择选修乐器课程的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， 答：本次调查的学生共有50人； 【小问2详解】 解：人， ∴选修绘画课程的学生共有10人， 补全统计图见答案； 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校约有600人选修乐器课程． 24. 为等边三角形，点D、E分别在边上，，交于点F． （1）如图1，以为一边作等边，连接，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，设与边交于点H，若，，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出图2中面积等于的三个三角形． 【答案】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2），， 【解析】 【分析】（1）先证明得到，，导角证明，即可得到，即可证明； （2）由等边三角形得到，，则，求出，证明，则，最后再由等底同高得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵平行四边形， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵， ∴边上的高也为， ∴， ∴图2中面积等于的三个三角形为：，，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 25. 某商场购进北京冬奥会甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元． （1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元 （2）最多购进甲种纪念品30件 【解析】 【分析】（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据等量关系购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元 列方程组，然后解方程组即可； （2）设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品购进费用为(140m-45)元，根据不等关系购进两种纪念品的总资金不超过8355元，列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元， 根据题意，得， 解得， 答甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元， 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品购进费用为(140m-45)元 根据题意，得140m+(140m-45)≤8355， 解得m≤30， 答：最多购进甲种纪念品30件． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列不等式解应用题，掌握二元一次方程组解应用题方法与步骤，列不等式解应用题方法，抓住等量关系与不等关系，列出方程组与不等式是解题关键． 26. 内接于，是直径，平分交于点D，连接交于F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点D作于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，的延长线交于N，若，求的长． 【答案】（1） 证明：为直径， ． ， ． 平分， ． ， ， ； （2） 证明：， ． ， ． ，， ． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由直径得到，然后等量代换得到，推出，即可得到； （2）根据题意证明出，得到，进而得到； （3）连接，过点作于点，过点作于点，求出，，设，根据勾股定理求出，，，进而逐步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点作于点，过点作于点． ， ，． 设 ． 在中，， ． 解得． ， ，． ， 点为中点， ． ， ． 在中，． ． ， ． ，． 在中，， ． 在中， ， ， 在中，， ． ， ． ． ， ． ， ． 在中，． ． ． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点是抛物线的顶点，连接和． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，过点P作的垂线，垂足为E，设的长为d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交于Q，过点P作x轴的平行线与的延长线交于点F，连接，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可得对称轴，根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，则，．根据题意可得．过作于点交于点．则．可求出．证明，则．则． （3）求出直线的解析式为．可证明．则可求出，则．延长交轴于点．可证明，则．过作于点K．可证明．则．解方程可得．过点作于点．则，，据此由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ，即． 把代入，得． ， ， ． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于．当时，即，解得，． ，， ． 当时，， ， ． 在中，， ，． 点在抛物线上， ． 过作于点交于点．则． ，，． ． ． ， ． ， 在中，． ． ． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为． 点，在直线上， 直线的解析式为． 轴， ． 点在直线上， ， ， ． 延长交轴于点． ． ，， ， ． ， ． ． 过作于点K． ． ． ． ，（舍）． ． 过点作于点． 则，． 在中，， 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 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