高三入学衔接检测卷(二)-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

高三入学衔接检测卷(二) 测试时间:１２０分钟　满分:１５０分 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共 ４０分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) １．已 知 集 合 A＝ {x|x＞１},B＝ {y|y＝ ２０２５－x},则∁R(A∩B)＝ (　　) A．[－１,１] B．(－∞,１] C．[－１,＋∞) D．(１,＋∞) ２．已知双曲线C:y２－x ２ b２ ＝１(b＞０)的离心率 e＜ ２,则b的取值范围是 (　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(１,＋∞) D．(２,＋∞) ３．已知函数f(x)＝ ３sinxcosx＋cos２x,则 (　　) A．f(x)的最小正周期为２π B．f(x)的图象关于点 －π１２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 C．f(x)的最大值为２ D．f(x)的图象关于直线x＝π６ 对称 ４．少年强则国强,少年 智则国智．党和政府 一直重视青少年的 健康成长,出台了一 系列政策和行动计划,提高学生身体素质． 为了加强对学生的营养健康监测,某校在 ３０００名学生中,抽查了１００名学生的体重 数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分 布直方图如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A．样本的众数为６５ B．样本的第８０百分位数为７２．５ C．样本的平均值为６７．５ D．该校学生中低于６５kg的学生大约为 １０００人 ５．宫灯又称宫廷花灯,是中国 彩灯中富有特色的汉民族 传统手工艺品之一,如图为 一件三层六角宫灯,三层均 为正六棱柱,其中上、下层 正棱 柱 的 底 面 周 长 均 为 ６０cm,高为６cm,中间一层的正棱柱高为 １８cm．设计一个装该宫灯的可从中间打开 的球形盒子,则该盒子的表面积至少为 (　　) A．６５０πcm２ B．１３００πcm２ C．１５００πcm２ D．２６００πcm２ ６．在抛物线y２＝８x上有三点A,B,C,F 为其 焦点,且AF → ＝１３ (AB → ＋AC →),则|AF → |＋|BF → | ＋|CF → |＝ (　　) A．６ B．８ C．９ D．１２ ７．著名画家达􀅰芬奇画完他的«抱银貂的女 子»后,看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍 珠项链,开始思考这样一个问题:固定项链 的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那 么项链所形成的曲线是什么? 这就是著名 的悬链线问题,最终的答案是这条曲线的方 程是双曲余弦函数,其函数表达式为coshx ＝e x＋e－x ２ ,相应的双曲正弦函数表达式为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８７ sinhx＝e x－e－x ２ ． 设函数f(x)＝sinhx􀅰 coshx,若实数 m 满足不等式f(m－６)＋ f(m２)＜０,则m 的取值范围为 (　　) A．(－３,２) B．(－２,３) C．(－２,２) D．(－∞,－３)∪(２,＋∞) ８．在 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,AB＝４, O 是侧面A１ADD１ 的 中 心,E,F 分 别 是 B１C１,CC１ 的中点,点 M,N 分别在线段OB,EF 上运动,则 MN 的最小值为 (　　) A．２ ２ B．３ C．２ ３ D．３ ２ 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共 １８分,在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求全部选对的得６分,部分选对的得 部分分,有选错的得０分) ９．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,０＜ φ＜π)的最小正周期为π,且函数f(x)的 图象关于 直 线x＝－ π１２ 对 称,则 下 列 说 法正确的是 (　　) A．函数f(x)的图象关于点 ２π３ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 B．函数f(x)在区间 ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷内单调递增 C．函数f(x)在区间 －π４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷内恰有两个 零点 D．函数f(x)的图象向右平移π１２ 个单位长 度可以得到函数g(x)＝cos２x的图象 １０．设z为复数,则下列命题中正确的是 (　　) A．|z|２＝z􀭵z B．若z＝(１－２i)２,则复平面内􀭵z对应的点 位于第二象限 C．z２＝|z|２ D．若|z|＝１,则|z＋i|的最大值为２ １１．已知函数f(x)＝x(lnx)２＋x,则 (　　) A．f(x)在区间(０,＋∞)上单调递增 B．当x＝１e 时,f(x)取最小值 C．对 ∀x∈ １e ,＋∞ æ è ç ö ø ÷,m ＞０,g(x)＝ f(x＋m)－f(x)为增函数 D．对∀x１,x２∈ １ e ,＋∞ æ è ç ö ø ÷,１ ２ f (x１)＋f(x２)[ ] ＞ f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷ 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共 １５分) １２．设M,P是两个非空集合,定义集合M,P的 差集运算为M－P＝{x|x∈M,且x∉P},设 集合B＝{２,４,６,８},请你写出一个集合A,使 得A－B＝{５},则集合A＝　　　　． １３．球体在工业领域有广泛的应用,某零件由 两个球体构成,球O１ 的半径为１０,P,Q 为 球O１ 表面上两动点,PQ＝１６,M 为线段 PQ 的中点．半径为２的球O２ 在球O１ 的 内壁滚动,点 A,B,C 在球O２ 表面上,点 O２ 在截面ABC上的投影H 恰为AC 的中 点,若O２H＝１,则三棱锥M－ABC体积的 最大值是　　　　　． １４．对任意x＞０,若不等式ax２≤ex＋axlnx 恒成立,则实数a的最大值为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９７ 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１３分)(２０２５􀅰四川雅安模拟)已知函数 f(x)＝(a－１)x－２sinx． (１)若函数f(x)有极值,求实数a的取值 范围; (２)若关于x的不等式f(x)＋x(１＋cosx)≤０ 在x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú 上恒成立,求实数a 的取值 范围． １６．(１５分)(２０２５􀅰云南阶段模拟)甲、乙两名 围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜 者得１分,负者得０分,平局双方均得０ 分,比赛一直进行到一方比另一方多两分 为止,多得两分的一方赢得比赛．已知每局 比赛中,甲获胜的概率为α,乙获胜的概率 为β,两人平局的概率为γ(α＋β＋γ＝１, α＞０,β＞０,γ≥０),且每局比赛结果相互 独立． (１)若α＝２５ ,β＝ ２ ５ ,γ＝１５ ,求进行４局比 赛后甲学员赢得比赛的概率; (２)当γ＝０时, (ⅰ)若比赛最多进行５局,求比赛结束时 比赛局数 X 的分布列及期望E(X)的最 大值; (ⅱ)若比赛不限制局数,求“甲学员赢得比 赛”的概率(用α,β表示)． １７．(１５分)如图１所示,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD,AD⊥CD,BC＝２,AD＝３, CD＝ ３,边AD 上一点E 满足DE＝１,现 将△ABE 沿BE 折起到△PBE 的位置,使 平面PBE⊥平面BCDE,如图２所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０８ (１)求证:PC⊥BE; (２)求平面PBE 与平面PCE 所成锐二面 角的余弦值． １８．(１７分)已知椭圆C１: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 的左,右焦点分别是 F１,F２,抛物线C２:y２ ＝４x 的准线过点F１, 且C２ 的准线与C１ 交于M,N,|MN|＝３． (１)求C１ 的方程; (２)如图,过F２ 作直线l交C１ 于A,B 两 点,交C２ 于C,D 两点,O 为坐标原点,记 △OAB,△F１CD 的面积分别是S１,S２,且 S２＝４S１,求直线l的方程． １９．(１７分)已知数列A:a１,a２,􀆺,an 为有穷 正整数数列．若数列 A 满足如下两个性 质,则称数列A 为m 的k减数列: ①a１＋a２＋􀆺＋an＝m; ②对于１≤i＜j≤n,使得ai＞aj 的正整数 对(i,j)有k个． (１)写出所有４的１减数列; (２)若存在m 的６减数列,证明:m＞６; (３)若存在２０２４的k减数列,求k的最 大值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １８ １７．解:(１)取EQ 中点J,连接FJ, 则PQ⊥FJ,FJ⊥EQ． 再取GQ 中点R,连接HR,RJ,易 得 HF∥RJ,HF＝RJ, 于是,四边形RJFH 为平行四边 形,得RH∥JF, 从而 HR⊥PQ,HR⊥EQ, ∵PQ ∩EQ ＝Q,PQ,EQ ⊂ 平 面PGQ． 那么 HR⊥平面PGQ, 又 HR⊂平面 HGQ, 故平面PGQ⊥平面 HGQ． (２)以与EF 垂直的直线为x 轴, EF 为y 轴,EM 为z轴建立直角 坐标系,则 Q(３,１,０),G(０,０,４), H(０,２,２),P(３,１,６), N(０,２,６), 设平面GQH 的法向量 m＝(x,y,z),GQ →＝(３,１,－４), GH→＝(０,２,－２), 由m⊥GQ→,m⊥GH→,得 ３x＋y－４z＝０ ２y－２z＝０{ ,取y＝z＝１,得x＝ ３, 所以平面GQH 的法向量m＝(３,１,１)． 同理可得:平面GPN 的法向量n＝ ３ ３ ,１,－１ æ è ç ö ø ÷, 则cos‹m,n›＝ ３× ３３＋１×１＋１× (－１) (３)２＋１２＋１２× ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１２＋(－１)２ ＝ １０５３５ , 所以平面 GPN 与平面GQH 所成二面角的正弦值为 １－１０５ ３５２ ＝４ ７０３５ ． １８．解:(１)联立方程 y＝x＋２ y２＝２px{ , 消去x得y２－２py＋４p＝０, ∵抛物线C与直线y＝x＋２相切, 则Δ＝(－２p)２－４×４p＝０, 解得p＝４或p＝０(舍去) 故抛物线C的方程为y２＝８x． (２)设l的方程为x＝my＋２, A(x１,y１),B(x２,y２), 则线段AB 的中点 M x１＋x２２ ,y１＋y２ ２ æ è ç ö ø ÷, 过M 作抛物线的准线x＝－２的 垂线,垂足为N, 则|AB|＝x１＋x２＋４,|MN|＝ x１＋x２ ２ ＋２ , 即|AB|＝２|MN|＝２|MA|, ∵|PA|＝ ３２|AB| ,则|PM|＝ ２|MA|, 即|PM|＝ ２|MN|, ∴|PN|＝|MN|, 联立方程 x＝my＋２ y２＝８x{ , 消去x得y２－８my－１６＝０, Δ＝６４m２＋６４＞０,y１＋y２＝８m, 则 M(４m２＋２,４m),N(－２,４m),AB 的中垂线的方程为 mx＋y－４m３－６m＝０, ∴P(－２,４m３＋８m),则|PN|＝|４m３＋４m|, |MN|＝４m２＋４, 即|４m３＋４m|＝４m２＋４,解得m＝±１, 故l的方程为x＋y－２＝０或x－y－２＝０． １９．解:(１)由性质 M３ 定义知: a－１≥a３ a－２≥２a３ ì î í ï ï ïï ⇒ a≥３２ a≥６{ ⇒a≥６, 且a⊆N∗, 所以a的最小值为６． (２)由题设|ai－ai＋１|≥ aiai＋１ １５ ,(i＝１,２,３,􀆺,n－１),且 a１＜􀆺＜an, 所以ai＋１－ai≥ aiai＋１ １５ ⇒ １ ai － １ai＋１ ≥１１５ ,(i＝１,２,３,􀆺, n－１), 所以１ a１ － １a２ ＋ １a２ － １a３ ＋􀆺＋ １an－１ － １an ＝ １a１ － １an ≥ n－１ １５ ,得证． (３)由(２)知: １ a１ ＞n－１１５ a１≥１ { ⇒n－１１５ ＜１⇒n＜１６, 同(２)证明得１ai －１an ≥n－i１５ 且i＝１,２,３,􀆺,n－１, 故１ ai ＞n－i１５ ,又ai≥i, 所以１ i＞ n－i １５ ⇒i (n－i)＜１５在i＝１,２,３,􀆺,n－１上恒 成立, 当n≥８时,取i＝３,则３(n－３)≥１５,故n＜８, 当n≤７时,则i(n－i)≤ (i＋n－i)２ ４ ＝ n２ ４＜１５⇒n＜ ６０ , 即n≤７． 综上,集合A 中元素个数的最大值为７． 高三入学衔接检测卷(二) １．B　[由题意B＝{y|y＝２０２５－x}＝{y|y＞０}, ∴A∩B＝(１,＋∞),故∁R(A∩B)＝(－∞,１]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３１ ２．A　[由已知可得双曲线的焦点在y 轴上时,a＝１,c２＝ １＋b２,所以e＝ca ＝ １＋b２ １ ＜ ２ ,１＋b２＜２,由b＞０,解得 ０＜b＜１．] ３．D　[f(x)＝ ３sinxcosx＋cos２x＝ ３２sin２x＋ １＋cos２x ２ ＝sin ２x＋π６( )＋ １ ２ , 根据周期公式可知T＝π,A 错误;函数的最大值为３２ ,C 错误;因为f －π１２( ) ＝ １ ２ ,所 以 函 数f(x)的 图 象 关 于 －π１２ ,１ ２( ) 中心对称,B错误;当x＝ π ６ 时,函数取得最大 值,故x＝π６ 为对称轴,D正确．] ４．B　[由频率分布直方图可得众数为６７．５,A错误;平均数 为５７．５×０．１５＋６２．５×０．２５＋６７．５×０．３＋７２．５×０．２＋ ７７．５×０．１＝６６．７５,C错误; 因为体重位于[５５,６０),[６０,６５),[６５,７０),[７０,７５)的频率 分布为０．１５,０．２５,０．３,０．２, 因为０．１５＋０．２５＋０．３＋０．２＞０．８, 所以第８０百分位数位于区间[７０,７５)内,设第８０百分位 数为x, 则０．１５＋０．２５＋０．３＋(x－７０)×０．０４＝０．８, 所以x＝７２．５,即样本的第８０百分位数为７２．５,B正确; 样本中低于６５kg的学生的频率为０．１５＋０．２５＝０．４,所 以该校学生中低于６５kg的学生大约为３０００×０．４＝１ ２００,D错误．] ５．B　[由题意,将该宫灯看成一个高为２×６＋１８＝３０cm、 底面边长为６０ ６＝１０cm 的正六棱柱．而正六棱柱的外接球 (球 形 盒 子)的 直 径 ２R 是 其 对 角 线 的 长,则 ２R＝ (２×１０)２＋３０２＝１０ １３,得R＝５ １３,故外接球(球形 盒 子 )的 表 面 积 至 少 为 ４πR２ ＝ ４π× (５ １３)２ ＝１３００πcm２．] ６．D　[依题意２p＝８,p２＝２． 设A(x１,y１),B(x２,y２),C(x３,y３),F(２,０), AF→＝(２－x１,－y１),AB →＝(x２－x１,y２－y１), AC→＝(x３－x１,y３－y１),又AF →＝１３ (AB→＋AC→), 故２－x１＝ １ ３ (x２－x１＋x３－x１), ∴x１＋x２＋x３＝６,∴|AF →|＋|BF→|＋|CF→| ＝x１＋x２＋x３＋６＝１２．] ７．A　 [由 题 意,f(x)＝sinhx􀅰coshx＝e x－e－x ２ 􀅰 ex＋e－x ２ ＝ e２x－e－２x ４ ,∵y＝e２x在R上单调递增, y＝e－２x在R上单调递减,∴函数f(x)为增函数, 由f(－x)＝e －２x－e２x ４ ＝－ e２x－e－２x ４ ＝－f (x), 则函数f(x)是定义在R上的奇函数, 由f(m－６)＋f(m２)＜０,即f(m２)＜－f(m－６) ＝f(６－m), 所以m２＜６－m,解得－３＜m＜２, 所以m 的取值范围为(－３,２)．] ８．C　[以 D 为 坐 标 原 点, DA、DC、DD１ 方 向 分 别 为x轴,y轴,z轴的正方 向,建立空间直角坐标系 D－xyz, 由题意,O(２,０,２), B(４,４,０),E(２,４,４), F(０,４,２), 因为点 M,N 分别在线段OB,EF 上运动, 所以设OM→＝λOB→(０≤λ≤１),FN→＝μFE →(０≤μ≤１), 所以 M(２λ＋２,４λ,２－２λ),N(２μ,４,２＋２μ), 所以|MN|＝ (２μ－２λ－２)２＋(４－４λ)２＋(２μ＋２λ)２ ＝ ８μ－ １ ２( ) ２ ＋２４λ－１２( ) ２ ＋１２, 所以当μ＝λ＝ １ ２ 时,|MN|min＝ １２＝２ ３, 所以|MN|的最小值为２ ３．] ９．AD　[函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,０＜φ＜π)的最小正 周期为π, 则２π ω＝π ,得ω＝２,则f(x)＝sin(２x＋φ), 又函数f(x)的图象关于直线x＝－π１２ 对称, 则f －π１２( )＝sin － π ６＋φ( )＝±１, 则－π６＋φ＝ π ２＋kπ ,k∈Z, 即φ＝ ２π ３＋kπ ,k∈Z,又０＜φ＜π,则φ＝ ２π ３ , 故f(x)＝sin ２x＋２π３( ), 当x＝２π３ 时,f ２π３( )＝sin ２􀅰 ２π ３＋ ２π ３( )＝sin２π＝０, 则函数f(x)的图象关于点 ２π３ ,０( ) 对称,A正确; 当x∈ ０,５π１２( ) 时,则２x＋ ２π ３∈ ２π ３ ,３π ２( ), 函数y＝sinx在 π２ ,３π ２( ) 上单调递减,则函数f(x)在区 间 ０,５π１２( ) 上单调递减,B错误; 由f(x)＝sin ２x＋２π３( )＝０,则２x＋ ２π ３＝kπ ,k∈Z, 即x＝－π３＋ kπ ２ ,k∈Z,又x∈ －π４ ,π ２( ), x＝π６ ,则有１个零点,C错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３１ 函数f(x)的图象向右平移π１２ 个单位长度, 则f x－π１２( )＝sin ２x－ π １２( )＋ ２π ３[ ]＝sin ２x＋ π ２( ) ＝cos２x＝g(x),D正确．] １０．ABD　[设z＝a＋bi(a,b∈R),故􀭵z＝a－bi,则|z|２＝a２ ＋b２,z􀭵z＝(a＋bi)(a－bi)＝a２＋b２,故|z|２＝z􀭵z成立,故A 正确;z＝(１－２i)２＝－４i－３,􀭵z＝４i－３,显然复平面内􀭵z对应 的点位于第二象限,故B正确;易知|z|２＝a２＋b２,z２＝a２－ b２＋２abi,当ab≠０时,z２≠|z|２,故C错误;若|z|＝１,则a２ ＋b２＝１,而|z＋i|＝ a２＋(b＋１)２＝ ２b＋２,易得当b＝１ 时,|z＋i|最大,此时|z＋i|＝２,故D正确．] １１．ACD　[由题易知 定 义 域 为 (０,＋∞),f′(x)＝(lnx)２＋ x􀅰２lnx􀅰 １x ＋１＝ (lnx)２ ＋２lnx＋１＝(lnx＋１)２≥０, 故f(x)在区间(０,＋∞)上单 调递增,A正确;f(x)无最小 值,B错误; 当x∈ １e ,＋∞( ),m＞０时, g′(x)＝f′(x＋m)－f′(x)＝ [ln(x＋m)＋１]２－ (lnx＋１)２＝[ln(x＋m)＋lnx＋２][ln(x＋m)－lnx], 易得ln(x＋m)＞lnx＞ln １e＝－１ ,则ln(x＋m)＋lnx ＋２＞０,ln(x＋m)－lnx＞０,即g′(x)＞０,故g(x)为增 函 数,C 正 确;当 x ∈ １e ,＋∞( ) 时,lnx ＞ －１, 令t＝lnx, h(t)＝(t＋１)２,t＞－１,易得h(t)为增函数, 即f′(x)＝(lnx＋１)２ 在 １e ,＋∞( ) 上单调递增, 又f(x)在 １e ,＋∞( ) 上单调递增, 故函数f(x)为“上凹”函数, 结合 图 象 可 知 １ ２ [f(x１)＋f(x２)]＞f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷, D正确．] １２．解析:由题意,知５∈A,且A 中不再含∁RB 中的其他任 何元素,而是否再含B 中的元素则不影响等式A－B＝ {５},因此A＝{５}符合题意． 答案:{５}(答案不唯一) 图１ １３．解析:如图１所示: 在圆O２ 中,因为点O２ 在截面ABC 上的 投 影 H 恰 为AC 的 中 点,且 O２H＝１, 所 以 △ABC 为 直 角 三 角 形,且 ∠ABC＝９０°, 又因为O２A＝２, 所以可得AH＝ ３,AC＝２ ３, 设AB＝m,BC＝n, 则有m２＋n２＝AC２＝１２, 所以１２＝m２＋n２≥２mn, 所以mn≤６,当m＝n＝ ６时,等号成立, 所以S△ABC＝ １ ２mn≤３． 如图２所示: 图２ 因为球O１ 的半径为１０,PQ＝１６, M 为线段PQ 的中点, 所以O１M＝ １０２－８２＝６, 当 M,O１,O２ 三点共线且为如图所 示的位置时,点 M 到平面ABC 的 距离最大,即此时三棱锥 M－ABC 的高h 最大,此时h＝MO１＋O１O２ ＋O２H ＝６＋８＋１＝１５, 所以此时VM－ABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰１５≤ １ ３×３×１５＝１５ , 即三棱锥 M－ABC体积的最大值是１５． 答案:１５ １４．解析:原不等式ax２≤ex＋axlnx,x＞０, 可化为e x x ＋alnx－ax≥０ , 即e x x －a (x－lnx)＝e x x －aln ex x ≥０ , 设t＝e x x ,其中x＞０,则t′＝e x(x－１) x , 所以t＝e x x 在(０,１)上单调递减,在(１,＋∞)上单调递 增,所以t＝e x x ≥e , 所以设f(t)＝t－alnt(t≥e),f′(t)＝１－at ＝ t－a t (t≥e), ①当a≤e时,f′(t)≥０,f(t)在[e,＋∞)上单调递增, 所以f(t)的最小值为f(t)min＝f(e)＝e－alne＝e－a≥ ０,符合题意; ②当a＞e时,f(t)在[e,a)上单调递减,在(a,＋∞)上单 调递增,所以f(t)的最小值为f(t)min＝f(a)＝a－alna ＝a(１－lna)≥０,而a＞e,所以１－lna＜０,与条件矛 盾,故不成立; 所以实数a的最大值为e． 答案:e １５．解:(１)依题意,f′(x)＝a－１－２cosx,令f′(x)＝０, 得a＝１＋２cosx, 因为１＋２cosx∈[－１,３],所以当a≤－１时,f′(x)≤０, f(x)在R上单调递减; 当a≥３时,f′(x)≥０,故f(x)在R上单调递增; 当－１＜a＜３时,f′(x)＝０有变号零点,此时函数f(x) 存在极值; 综上a∈(－１,３)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３１ (２)依题意,由f(x)＋x(１＋cosx)≤０, 得(a－１)x－２sinx＋x(１＋cosx)≤０, 即２sinx－xcosx－ax≥０, 设h(x)＝２sinx－xcosx－ax,x∈ ０,π２[ ], 则h′(x)＝２cosx－cosx＋xsinx－a＝cosx＋xsinx－a, 设m(x)＝cosx＋xsinx－a,则m′(x)＝xcosx, 当x∈ ０,π２[ ] 时,m′(x)＞０,m(x)单调递增; 所以在x∈ ０,π２[ ] 上,h′(x)≤h′ π ２( )＝ π ２－a ,且h′(０) ＝１－a, 当π ２－a≤０ ,即a≥π２ 时,h′(x)≤０,h(x)在 ０,π２[ ] 上单 调递减, 则h(x)≤h(０)＝０,不符合题意,舍去, 当π ２－a＞０ ,即a＜π２ 时, (ⅰ)若１－a＜０,即１＜a＜π２ , ∃x０∈ ０, π ２( ),使 得 h′(x０)＝０,当 ０＜x＜x０ 时, h′(x０)＜０,h(x)在(０,x０)上单调递减,h(x)≤h(０)＝０, 不符合题意,舍去, (ⅱ)若１－a≥０,即a≤１,h′(x)＞０恒成立, h(x)在x∈ ０,π２[ ] 上单调递增,则h(x)≥h(０)＝０,符 合题意． 综上,实数a的取值范围为(－∞,１]． １６．解:(１)用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”、“乙 获胜”,“平局”, 则P(A)＝α＝２５ ,P(B)＝β＝ ２ ５ ,P(C)＝γ＝１５ , 记“进行４局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N, 则事 件 N 包 括 事 件:ABAA,BAAA,ACCA,CACA, CCAA 共５种, 所以P(N)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ACCA)＋ P(CACA)＋P(CCAA) ＝２P(B)P(A)P(A)P(A)＋３P(C)P(C)P(A)P(A) ＝２× ２５( ) ４ ＋３× １５( ) ２ × ２５( ) ２ ＝４４６２５． (２)(ⅰ)因为γ＝０,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和 “乙获胜”,即α＋β＝１, 由题意得X 的所有可能取值为:２,４,５, P(X＝２)＝α２＋β２, P(X＝４)＝(αβ＋βα)α２＋(αβ＋βα)β２＝２αβ(α２＋β２), P(X＝５)＝(αβ＋βα)􀅰(αβ＋βα)􀅰１＝４α２β２, 所以X 的分布列为: X ２ ４ ５ P α２＋β２ ２αβ(α２＋β２) ４α２β２ 所以X 的期望为: E(X)＝２(α２＋β２)＋８αβ(α２＋β２)＋２０α２β２ ＝２(１－２αβ)＋８αβ(１－２αβ)＋２０α２β２ ＝４α２β２＋４αβ＋２ 因为α＋β＝１≥２ αβ,所以αβ≤ １ ４ , 等号成立时,α＝β＝ １ ２ ,所以０＜αβ≤ １ ４ , 所以 E(x)＝４α２β２ ＋４αβ＋２＝ (２αβ＋１)２ ＋１≤ ２×１４＋１( ) ２ ＋１＝１３４ , 故E(X)的最大值为:１３４． (ⅱ)记“甲学员赢得比赛”为事件 M, 由(１)得前两局比赛结果可能有:AA,BB,AB,BA, 其中事件AA 表示“甲学员赢得比赛”,事件BB 表示“乙 学员赢得比赛”, 事件AB,BA 表示“甲、乙两名学员各得１分”, 当甲、乙两名学员得分总数相同时,甲学员赢得比赛的 概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同, 所以P(M)＝P(AA)􀅰１＋P(BB)􀅰０＋P(AB)􀅰P(M) ＋P(BA)􀅰P(M) ＝P(A)P(A)＋P(A)P(B)P(M)＋P(B)P(A)P(M) ＝α２＋αβP(M)＋βαP(M) ＝α２＋２αβP(M), 所以(１－２αβ)P(M)＝α２,得P(M)＝ α２ １－２αβ , 因为α＋β＝１,所以P(M)＝ α２ (α＋β)２－２αβ ＝ α ２ α２＋２αβ＋β２－２αβ ＝ α ２ α２＋β２ ． １７．解:(１)取 BE 中点O,连接 AO, CO,CE,因为BC＝２,AD＝３,DE＝ １,所以AE＝BC＝２,又AD∥BC, 所以AE∥BC, 所 以 四 边 形 ABCE 是 平 行 四 边形, 因为CD＝ ３,DE＝１,AD⊥CD, 所以CE＝ １２＋(３)２＝２＝BC,∠DEC＝６０°, 所以 ABCE 为 边 长 为 ２ 的 菱 形,且 ∠BAE＝ ∠DEC ＝６０°, 所以△ABE 和△BEC都是正三角形, 所以PO⊥BE,CO⊥BE, 又因为PO∩CO＝O,PO,CO⊂平面POC,所以BE⊥平 面POC, 又因为PC⊂平面POC,所以PC⊥BE． (２)由 于 平 面 PBE⊥ 平 面 BCDE,且 交 线 为 BE,OP ⊥BE, 所以OP⊥平面BCDE, 所以OP⊥OB,OP⊥OC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３１ 由(１)知OB、OC、OP 两两垂直, 建立如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系, P(０,０,３),E(－１,０,０), C(０,３,０), ∴EP→＝(１,０,３), EC→＝(１,３,０), 设平面PCE 的法向量为n＝(x,y,z), 则 n􀅰EP→＝(x,y,z)􀅰(１,０,３)＝x＋ ３z＝０ n􀅰EC→＝(x,y,z)􀅰(１,３,０)＝x＋ ３y＝０{ , 令y＝z＝－１,得n＝(３,－１,－１), 由(１)知平面PBE 的法向量为m＝(０,１,０), 设平面PBE 与平面PCE 所成锐二面角为θ, 则cosθ＝ |m 􀅰n| |m|􀅰|n|＝ １ ５ ＝ ５５． 所以平 面 PBE 与 平 面PCE 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 ５ ５． １８．解:(１)由题意知抛物线C２:y２＝４x的准线方程是x＝－１, 所以F１(－１,０), 由题意可知点 M －１,３２( ) 在椭圆上, 代入椭圆方程可得 (－１)２ a２ ＋ ３ ２( ) ２ b２ ＝１, a２－b２＝１, ì î í ï ï ïï 解得 a＝２, b＝ ３,{ 所以C１ 的方程为 x２ ４＋ y２ ３＝１． (２)因为O 为F１,F２ 的中点,所以O 到直线l的距离为 F１ 到l距离的一半,又S２＝４S１,所以|CD|＝２|AB|． 当直线l的斜率不存在时,易得|AB|＝３,|CD|＝４不符 合题意． 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝k(x－１), 设A(x１,y１),B(x２,y２),C(x３,y３),D(x４,y４), 联立方程组 y＝k(x－１) ３x２＋４y２＝１２{ , 可得(３＋４k２)x２－８k２x＋４k２－１２＝０, 则x１＋x２＝ ８k２ ３＋４k２ ,x１x２＝ ４k２－１２ ３＋４k２ , 由两点间距离公式可得, 所以|AB|＝ １＋k２ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝４－ ４k ２ ３＋４k２ , 联立方程组 y＝k(x－１) y２＝４x{ ,可得k ２x２－(２k２＋４)x＋k２ ＝０, 则x３＋x４＝２＋ ４ k２ ,x３x４＝１, 所以|CD|＝x３＋x４＋２＝４＋ ４ k２ , 因为|CD| |AB|＝ ４＋４ k２ ４－ ４k ２ ３＋４k２ ＝２,解得k＝± ６２ , 所以直线l的方程是 ６x－２y－ ６＝０或 ６x＋２y－ ６ ＝０． １９．解:(１)由题意得a１＋a２＋􀆺＋an＝４, 则１＋１＋２＝４或１＋３＝４, 故所有４的１减数列有数列１,２,１和数列３,１． (２)因为对于１≤i＜j≤n,使得ai＞aj 的正整数对(i,j)有 k个, 且存在m 的６减数列,所以C２n≥６,得n≥４． ①当n＝４时,因为存在m 的６减数列, 所以数列中各项均不相同,所以 m≥１＋２＋３＋４＝１０ ＞６． ②当n＝５时,因为存在m 的６减数列, 所以数列各项中必有不同的项,所以m≥６． 若m＝６,满足要求的数列中有四项为１,一项为２, 所以k≤４,不符合题意,所以m＞６． ③当n≥６时,因为存在m 的６减数列, 所以数列各项中必有不同的项,所以m＞６． 综上所述,若存在m 的６减数列,则m＞６． (３)若数列中的每一项都相等,则k＝０, 若k≠０,所以数列A 存在大于１的项, 若末项an≠１,将an 拆分成an 个１后k变大, 所以此时k不是最大值,所以an＝１． 当i＝１,２,􀆺,n－１时,若ai＜ai＋１,交换ai,ai＋１的顺序 后k变为k＋１, 所以此时k不是最大值,所以ai≥ai＋１． 若ai－ai＋１∉{０,１},所以ai≥ai＋１＋２, 所以将ai 改为ai－１,并在数列末尾添加一项１,所以k 变大, 所以此时k不是最大值,所以ai－ai＋１∈{０,１}． 若数列A 中存在相邻的两项ai≥３,ai＋１＝２,设此时A 中有x 项为２, 将ai 改为２,并在数列末尾添加ai－２项１后,k的值至 少变为k＋x＋１－x＝k＋１, 所以此时k不是最大值, 所以数列A 的各项只能为２或１,所以数列 A 为２,２, 􀆺,２,１,１,􀆺,１的形式． 设其中有x项为２,有y项为１, 因为存在２０２４的k减数列,所以２x＋y＝２０２４, 所以k＝xy＝(２０２４－２x)x＝－２x２＋２０２４x ＝－２(x－５０６)２＋５１２０７２, 所以,当 且 仅 当x＝５０６,y＝１０１２ 时,k 取 最 大 值 为 ５１２０７２． 所以,若存在２０２４的k减数列,k的最大值为５１２０７２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３１