假期必刷22 空间中的平行与垂直-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷２２　空间中的平行与垂直　　　　　　　　　　 １．空间中的平行与垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 ① 如果平 面 外 一 条直线 与 此 平 面内的 　 　 　 　平行,那么该 直线与 此 平 面 平行 a⊄α,b⊂α,a∥b ⇒a∥α 性 质 定 理 ② 一条直 线 和 一 个平面平行,如 果过该 直 线 的 平面与 此 平 面 相交,那么该直 线与　　平行 a∥α,a⊂β,α∩β ＝b⇒a∥b 判 定 定 理 ③ 如果一 个 平 面 内的两条 　 　 　　 与另一个 平面平行,那么 这 两 个 平 面 平行 a⊂β,b⊂β,a∩b ＝P,a∥α,b∥α ⇒α∥β 文字语言 图形表示 符号表示 性 质 定 理 ④ 两个平面平行, 如果另 一 个 平 面与这 两 个 平 面　　,那么两 条　　平行 α∥β,α∩γ＝a, β∩γ＝b⇒a∥b 判 定 定 理 ⑤ 如果一 条 直 线 与一个 平 面 内 的　　 　 　 　 　垂直,那么该 直线与 此 平 面 垂直 l⊥a l⊥b a∩b＝O a⊂α b⊂α ü þ ý ï ï ï ï ï ï ïï ⇒l⊥α 性 质 定 理 ⑥ 垂直于 同 一 个 平面的 两 条 直 线　　 a⊥α b⊥α}⇒a∥b 判 定 定 理 ⑦ 如果一 个 平 面 过另一 个 平 面 的　　,那么这 两个平面垂直 l⊥α 　　}⇒α⊥β 性 质 定 理 ⑧ 两个平面垂直, 如果一 个 平 面 内有一 直 线 垂 直于这 两 个 平 面的　　,那么 这条直 线 与 另 一个平面垂直 α⊥β α∩β＝a l⊥a 　　 ü þ ý ï ï ï ï ïï ⇒l⊥α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ ２．异面直线所成的角 (１)定义:已知a,b是两条异面直线,经过空间 任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′ 所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角 (或夹角)． (２)范围:　　　　． ３．直线和平面所成的角 (１)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 　　　　所成的角叫做这条直线和这个 平面所成的角,一条直线垂直于平面,则 它们所成的角是　　　　;一条直线和平 面平 行 或 在 平 面 内,则 它 们 所 成 的 角 是０°． (２)范围:　　　　． ４．二面角 (１)定义:从一条直线出发的　　　　　　所 组成的图形叫做二面角． (２)二面角的平面角 若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l, OB⊥l,则二面角α－l－β 的平面角是 　　　　． (３)二面角的平面角α的范围:０°≤α≤１８０°． １．在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,E 为棱 CC１ 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角 的正切值为 (　　) A．２２　　 B． ３ ２　　 C． ５ ２　　 D． ７ ２ ２．(２０２４􀅰天津卷)若m,n为两条直线,α为一 个平面,则下列结论中正确的是 (　　) A．若m∥α,n∥α,则m⊥n B．若m∥α,n∥α,则m∥n C．若m∥α,n⊥α,则m⊥n D．若m∥α,n⊥α,则m 与n 相交 ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设α,β为两个平面, m,n 为两条直线,且α∩β＝m．下述四个 命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则 n⊥α或n⊥β;③若n∥α且n∥β,则m∥n; ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n．其中 所有真命题的编号是 (　　) A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ ４．在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,E,F 分别 为AB,B１C 的中点,则 EF 与平面ABCD 所成角的正切值为 (　　) A．２ B．２ C．１２ D． ２ ２ ５．如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中,点P 为边A１C１ 上的动点,则下列直线 中,始终与直线BP 异面的是 (　　) A．DD１ B．AC C．AD１ D．B１C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４ ６．我国古代数学名著«九章 算术»中,将底面是直角 三角形的直三棱柱称为 “堑 堵”．在 如 图 所 示 的 “堑堵”中,AC＝CB＝CC１,则二面角 C１Ｇ ABＧC 的正切值为 (　　) A．１ B．２ C．２２ D．２ ７．(２０２３􀅰高考北京卷) 坡屋顶是我国传统建 筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装 灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美． 如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两 个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等 腰三角形．若AB＝２５m,BC＝AD＝１０m, 且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的 平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为 １４ ５ ,则该五面体的所有棱长之和为 (　　) A．１０２m B．１１２m C．１１７m D．１２５m ８．(多选)如图,在正方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中,M,N, P 分别是C１D１,BC,A１D１ 的中点,下列结论正确的是 (　　) A．AP 与CM 是异面直线 B．AP,CM,DD１ 相交于一点 C．MN∥BD１ D．MN∥平面BB１D１D ９．(多选)如图,在长方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,AA１ ＝AB ＝４, BC＝２,M,N 分别为棱C１D１,CC１ 的中点,则 (　　) A．A,M,N,B 四点共面 B．平面ADM⊥平面CDD１C１ C．直线BN 与B１M 所成的角为６０° D．BN∥平面ADM １０．(多选)已知正方体ABCD－A１B１C１D１,则 (　　) A．直线BC１ 与DA１ 所成的角为９０° B．直线BC１ 与CA１ 所成的角为９０° C．直线 BC１ 与平面 BB１D１D 所 成 的 角 为４５° D．直 线 BC１ 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 为４５° １１．如图是长方体被一平面所截得的几何体, 四边形EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为　　　　． １２．在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,E,F 分 别为AB,C１D１ 的中点,以EF 为直径的球 面与该 正 方 体 的 棱 共 有 　 　 　 　 个 公 共点． １３．在三棱锥PＧABC 中,点P 在平面ABC 中 的射影为点O． (１)若PA＝PB＝PC,则点O 是△ABC 的 　　　　心． (２)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O是△ABC的　　　　心． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４ ７．D　[设该正六棱柱的底面边长为a,高为h,其外接球的 半径为R,易知４３πR ３＝２０ ５３ π ,则R＝ ５＝ a２＋h ２ ４① , 且 ３ ４a ２􀅰６􀅰h＝６ ３②,联立①②,因为h∈Z,解得a＝h, h＝４, 所以正六棱柱的表面积S＝ ３４a ２􀅰１２＋６ah＝３ ３＋２４．] ８．BC　[对于 A,如两个同底的三棱锥构成的六面体,不是 三棱锥,故错误;对于 B,球面上任意两点与球心共线时, 可以作球的无数个大圆,与球心不共线时,可以作球的一 个大圆,故正确;对于C,一条侧棱垂直于底面直角三角形 的一个锐角顶点的三棱锥满足题意,故正确;对于D,作直 观图时,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段 长度减半,故错误．] ９．ABD　[将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面 为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形 面,但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面．] １０．AC　 [如 图,由 ∠APB ＝１２０°,AP＝２可知,底 面直径 AB＝２ ３,高PO ＝１,故该圆锥的体积为 π,故A对;该圆锥的侧面 积为２ ３π,故B错;连接CB,取AC 中点为Q,连接QO, PQ,易证二面角P－AC－O 的平面角为∠PQO＝４５°, 所以QO＝PO＝１,PQ＝ ２,所以 BC＝２,所以 AC＝ ２ ２,故C对;S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故 D错．] １１．解析:由题意易求正四棱锥的高为６,V棱台 ＝V大四棱锥 － V小四棱锥＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ １２．解析:由 题 意 知 h甲 h乙 ＝ ２２－１２ ３２－１ ＝ ３ ２ ２ ,V甲 V乙 ＝ h甲 h乙 ＝ ３(r１－r２) ２ ２(r１－r２) ＝ ６４． 答案:６ ４ １３．解析:四面体的体积最大时即平 面SAB⊥平面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB, BC＝ ５,AC＝ ３, 所以∠ACB＝９０°, 取AB 的中点H, 连接CH,SH, SH⊥AB,平面SAB∩平面ABC＝AB,SH 在平面SAB 内,而SH＝１２× ２ 􀅰SA＝ ２, 所以SH⊥平面ABC,所以VS－ABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰SH ＝１３× １ ２× ５× ３× ２＝ ３０ ６ ; 则外接球的球心在SH 上,设球心为O,连接OC, CH＝１２ 􀅰AB＝１２× ２ 􀅰SA＝ ２, 因为SH＝１２× ２SA＝ ２ , 所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期必刷２２ 思维整合室 １．一条直线　交线　相交直线　相交　交线　两条相交直 线　平行　垂线　l⊂β　交线　l⊂β ２．(２)０,π２( ]　３．(１)射影　９０°　(２)０, π ２[ ] ４．(１)两个半平面　(２)∠AOB 技能提升台 １．C　[如图,连接BE,因为 AB∥CD, 所以异面直线AE 与CD 所成的角等 于相交直线AE 与AB 所成的角,即 为∠EAB．不妨设正方体的棱长为２, 则CE＝１,BC＝２,由勾股定理得BE ＝ ５．又由AB⊥平面BCC１B１,可得AB⊥BE, 所以tan∠EAB＝BEAB＝ ５ ２． ] ２．C　[对于 A,B,若m∥α,n∥α,则m 与n 可能平行、相交 或异面,故 A,B错误;对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n, 且m 与n 可能相交,也可能异面,故C正确,D错误．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于 ③,若n∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正确, 对于④,若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂直, 错误．] ４．D　 [如 图,取 BC 的 中 点O,连 接 OE,OF,∵F 是B１C的中点,∴OF∥ B１B,∴FO⊥平面ABCD, ∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角． 设正方体的棱长为２, 则FO＝１,EO＝ ２, ∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为 ２２． ] ５．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交 直线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面 直线;对于C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直 线;对于 D,当 点 P 与C１ 重 合 时,BP 与B１C 是 相 交 直线．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８０１ ６．D　[由AC＝CB 知,AC⊥CB,取 AB的中点M,连接C１M,CM, 可 知 ∠C１MC 即 为 二 面 角C１Ｇ ABＧC 的平面角,设 AC＝CB＝ CC１＝a,则CM＝ ２ ２a , ∴tan∠C１MC＝ CC１ CM＝ ２． ] ７．C　[如图,过E 作EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E 分别 作EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO 和∠EGO, 所以tan∠EMO＝tan∠EGO＝ １４５ ． 因为EO⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以EO⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EG⊂平面EOG,EO∩EG＝E, 所以BC⊥平面EOG,因为OG⊂平面EOG, 所以BC⊥OG． 同理OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG 是矩形, 所以由BC＝１０,得OM＝５,所以EO＝ １４,所以OG＝５, 所以在直角三角形EOG 中,EG＝ EO２＋OG２ ＝ (１４)２＋５２＝ ３９, 在直角三角形EBG 中,BG＝OM＝５,EB＝ EG２＋BG２ ＝ ( ３９)２＋５２＝８, 又因为EF＝AB－５－５＝２５－５－５＝１５, 所有棱长之和为２×２５＋２×１０＋１５＋４×８＝１１７m．] ８．BD　[连接 MP,AC(图略),因为 MP∥AC,MP≠AC, 所以AP 与CM 是相交直线, 又平面A１ADD１∩平面C１CDD１＝DD１, 所以AP,CM,DD１ 相交于一点,则 A不正确,B正确． 令AC∩BD＝O,连接OD１,ON． 因为 M,N 分别是C１D１,BC的中点, 所以ON∥D１M∥CD,ON＝D１M＝ １ ２CD , 则四边形 MNOD１ 为平行四边形,所以 MN∥OD１, 因为 MN⊄平面BD１D,OD１⊂平面BD１D, 所以 MN∥平面BD１D,C不正确,D正确．] ９．BC　[如图所示,对于 A中,直线AM,BN 是异面直线,故 A,M,N,B 四点不共面, 故 A错误;对于 B中,在长方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,可得AD⊥平面CDD１C１, 所以平面 ADM⊥平面CDD１C１,故 B 正 确;对于C中,取CD 的中点O,连接BO, ON,则B１M∥BO,所 以 直 线 BN 与B１M 所 成 的 角 为 ∠NBO．易知三角形BON 为等边三角形,所以∠NBO＝ ６０°,故C正确;对于D中,因为BN∥平面AA１D１D,显然 BN 与平面ADM 不平行,故 D错误．] １０．ABD　[如图,在正方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,因 为 BC１⊥B１C, BC１⊥A１B１,B１C∩A１B１＝B１, B１C,A１B１⊂平面A１B１CD,所以 BC１⊥平面A１B１CD,所以BC１⊥ DA１,BC１⊥CA１,故选项 A,B均 正确;设 A１C１∩B１D１＝O,因为 A１C１⊥平面BB１D１D,所以直线BC１ 与平面BB１D１D所 成的角为∠C１BO,在直角△C１BO 中,sin∠C１BO＝ C１O BC１ ＝ １ ２ ,故∠C１BO＝３０°,故 选 项 C 错 误;直 线 BC１ 与 平 面 ABCD 所成的角为∠C１BC＝４５°,故选项 D正确．] １１．解析:∵平面ABFE∥平面DCGH, 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF, 平面EFGH∩平面DCGH＝HG, ∴EF∥HG．同理EH∥FG, ∴四边形EFGH 是平行四边形． 答案:平行四边形 １２．解析:设正方体的棱长为１,则EF＝ ２,球的半径为 ２２ ,而球心到每条棱 的距离均为 ２ ２ ,因此球与每条棱都 有且 只 有 １ 个 交 点,一 共 有 １２ 条 棱,故共有１２个交点． 答案:１２ 图１ １３．解析:(１)如 图 １,连 接 OA,OB, OC,OP, 因为 在 Rt△POA,Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA＝PB＝PC,所 以OA＝OB＝OC, 即O 为△ABC的外心． (２)如图２,延长AO,BO,CO 分别 交BC,AC,AB 于 H,D,G．因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB＝P,PA,PB⊂平面PAB, 所以PC⊥平面PAB． 图２ 又AB⊂ 平 面 PAB,所 以 PC⊥ AB．因 为 PO⊥AB,PO∩PC＝ P,PO,PC⊂平面PGC,所以AB ⊥平面PGC,又CB⊂平面PGC, 所以 AB⊥CG,即 CG 为 △ABC 边AB 上的高．同理可证BD,AH 分 别 为 △ABC 边 AC,BC 上 的高, 即O 为△ABC的垂心． 答案:(１)外　(２)垂 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９０１