假期必刷21 空间几何体的结构特征、表面积和体积-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　 假期必刷２１　空间几何体的结构特 征、表面积和体积 　　　　　　　　　　　　 １．空间几何体的结构特征 (１)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　　且　　 多边形 互相　　且　　 侧棱 　　　　　 相交于　　, 但不一定相等 延长线交 于　　 侧面 形状 　　　　　 　　　　 梯形 (２)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互 相 平 行 且相等, 　 　 于 底面 相交于　　 延长线 交于　　 轴截面 　　 　　　　　 等腰梯形 圆面 侧面展 开图 　　 　　 扇环 ２．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 　　 S圆锥侧＝ 　　　　 S圆台侧＝ 　　　　 ３．柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　　　　名称 几何体　　　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积 ＝S侧 ＋２S底 V＝　　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积 ＝S侧 ＋S底 V＝　　　　 台体(棱台和圆台) S表面积 ＝ S侧 ＋S上 ＋S下 V＝ １３ (S上 ＋S下 ＋ S上 S下 )h 球 S＝　　　　 V＝　　　　 １．如图,一个水平放置的平 面图形的直观图是一个 底角为４５°的等腰梯形, 已知直观图OA′B′C′的面积为４,则该平面图 形的面积为 (　　) A．２ B．４ ２ C．８ ２ D．２ ２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底 面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 ３,则圆锥的体积为 (　　) A．２ ３π B．３ ３π C．６ ３π D．９ ３π ３．(２０２５􀅰八省联考)底面直径和母线长均为 ２的圆锥的体积为 (　　) A．３３π B．π C．２π D．３π ４．如 图,在 正 四 棱 柱 ABCD － A１B１C１D１ 中,AB＝１,AA１ ＝ ３,点 E 为 AB 上 的 动 点,则 D１E＋CE 的最小值为 (　　) A．２ ２ B．１０ C．５＋１ D．２＋ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ ５．(２０２５􀅰天津北辰模拟)中国载人 航天技术发展日新月异．目前,世 界上只有３个国家能够独立开展 载人航天活动．从神话“嫦娥奔 月”到古代“万户飞天”,从诗词“九天揽月” 到壁画“仕女飞天”􀆺􀆺千百年来,中国人以 不同的方式表达着对未知领域的探索与创 新．如图,可视为类似火箭整流罩的一个容 器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱 组合而成的几何体．圆柱和圆锥的底面半径 均为２,圆柱的高为６,圆锥的高为４．若将其 内部注入液体,已知液面高度为７,则该容 器中液体的体积为 (　　) A．３２５π１２ B． ７６π ３ C．２１５π９ D． ３２５π １６ ６．如图,一个矩形边长为１和４, 绕它的长为４的边旋转一周 后所得如图所示的一开口容 器(下表面密封),P 是BC 中点,现有一只 蚂蚁位于外壁A 处,内壁P 处有一米粒,若 这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取 得米粒,则它所需经过的最短路程为 (　　) A．π２＋３６ B．π２＋１６ C．４π２＋３６ D．４π２＋１ ７．(２０２５􀅰青海海南高一模拟)已知某正六棱 柱的体积为６ ３,其外接球体积为２０ ５π３ , 若该六棱柱的高为整数,则其表面积为 (　　) A．６ ３＋１８ B．３ ３＋１８ C．６ ３＋２４ D．３ ３＋２４ ８．(多选)下列说法中正确的是 (　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．过球面上任意两点可作球的一个大圆或 无数个大圆 C．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 D．梯形的直观图可以是平行四边形 ９．(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定 体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜 放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出 的几何形状可能是 (　　) A．圆面　 B．矩形面 C．梯形面　 D．椭圆面或部分椭圆面 １０．(多选)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为 O,AB为底面直径,∠APB＝１２０°,PA＝２, 点C在底面圆周上,且二面角P－AC－O 为４５°,则 (　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为４３π C．AC＝２２ D．△PAC的面积为 ３ １１．底面边长为４的正四棱锥被平行于其底面的 平面所截,截去一个底面边长为２,高为３的 正四棱锥,所得棱台的体积为　　　　． １２．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知圆台甲、乙的 上底面半径均为r１,下底面半径均为r２,圆 台的母线长分别为２(r２－r１),３(r２－r１), 则圆台甲与乙的体积之比为　　　　． １３．(２０２５􀅰湖南岳阳校考)在四面体S－ABC 中,SA＝SB＝２,且SA⊥SB,BC＝ ５,AC＝ ３,则该四面体体积的最大值为　　　　　, 该四面体外接球的表面积为　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ 由 ４a１＋６d＝３２, a１＋d＝７,{ 解得 a１＝５, d＝２,{ 所以{an}的通项公式an＝２n＋３． (２)证明:由(１)知bn＝ ２n－３,n为奇数, ４n＋６,n为偶数．{ 当n＝２k(k∈N∗)时,Tn＝k(－１)＋ k(k－１) ２ ×４＋１４k＋ k(k－１) ２ ×８＝６k ２＋７k, Sn＝２k×５＋ ２k(２k－１) ２ ×２＝４k ２＋８k, Tn－Sn＝２k２－k＝k(２k－１), 当n＞５即k＞２时,k(２k－１)＞０, 所以Tn＞Sn; 当n＝２k＋１(k∈N∗)时,Tn＝(k＋１)(－１)＋ (k＋１)k ２ × ４＋１４k＋k (k－１) ２ ×８＝６k ２＋１１k－１, Sn＝(２k＋１)×５＋ (２k＋１)２k ２ ×２＝４k ２＋１２k＋５, Tn－Sn＝２k２－k－６＝(２k＋３)(k－２), 当n＞５,即k＞２时,(２k＋３)(k－２)＞０, 所以Tn＞Sn． １２．解:(１)T２n＝an＋１n ,T２n＋１＝an＋２n＋１, 所以 T２n＋１ T２n ＝a２n＋１＝ an＋２n＋１ an＋１n ,即ann＋１＝an＋１n , 两边取常用对数得lgann＋１＝lgan＋１n , 得nlgan＋１＝(n＋１)lgan,所以 lgan＋１ n＋１ ＝ lgan n ＝ 􀆺＝ lga１ １ ＝lg３, 所以数列 lgan n{ } 为常数列,所以lgan＝nlg３＝lg３ n, 所以an＝３n． (２)证明:由(１)知an＝３n,所以bn＝ an－１ an＋１ ＝３ n－１ ３n＋１ ＝ １－ ２ ３n＋１ , 则 Sn ＝ １－ ２ ３１＋１( ) ＋ １－ ２ ３２＋１( ) ＋ 􀆺 ＋ １－ ２ ３n＋１( )＝n－２ １ ３１＋１ ＋ １ ３２＋１ ＋􀆺＋ １ ３n＋１( ) 又因为 １ ３n＋１ ＜１ ３n , 所以 １ ３１＋１ ＋ １ ３２＋１ ＋􀆺＋ １ ３n＋１ ＜１ ３１ ＋１ ３２ ＋􀆺＋１ ３n ＝ １ ３ １－ １ ３n( ) １－１３ ＝１２ １－ １ ３n( )＜ １ ２ 故Sn＝n－２ １ ３１＋１ ＋ １ ３２＋１ ＋􀆺＋ １ ３n＋１( )＞n－１． 假期必刷２１ 思维整合室 １．(１)平行　全等　平行　相似　平行且相等　一点 一点　平行四边形　三角形　(２)垂直　一点　一点 矩形　等腰三角形　矩形　扇形 ２．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l ３．Sh　１３Sh　４πR ２　４３πR ３ 技能提升台 １．C　[由S原图形＝２ ２S直观图 ,得S原图形＝２ ２×４＝８ ２．] ２．B　[由题意,侧面积相等,则圆锥的母线长是圆柱高的 ２倍,即２ ３,故其底面半径为３,所以圆锥的体积为１３× π×３２× ３＝３ ３π．故选择:B．] ３．A　[由题可知圆锥的底面半径R＝１,母线长l＝２,高h＝ l２－R２＝ ２２－１２＝ ３, ∴圆锥的体积为V＝１３πR ２h＝ ３３π． ] ４．B　[如图,连接AD１,BC１ 分别延长至 F,G,使 得 AD＝AF,BC＝BG,连 接 EG,FG,∵四棱柱ABCD－A１B１C１D１ 为正四棱柱,∴AB⊥平面ADD１A１,AB ⊥平面BCC１B１,∴AB⊥AF,AB⊥BG, 又AB＝AD＝AF, ∴四边形ABGF 为正方形, ∴EG＝ BE２＋BG２＝ BE２＋BC２ ＝CE, ∴D１E＋CE 的最小值为D１G, 又D１G＝ D１F２＋FG２＝ ９＋１＝ １０, ∴D１E＋CE 的最小值为 １０．] ５．A　[由题意可知,容器中液体分为:下半 部分为圆柱,上半部分为圆台, 取轴截 面,如 图 所 示,O１,O２,O３ 分 别 为 AB,CD,EF 的中点, 可知:AB∥CD∥EF,且O１B１＝O２C＝２, O１O２＝６,O２P＝４,O２O３＝１,O３P＝３,可 得 O３F O２C ＝ O３P O２P ＝３４ ,即O３F＝ ３ ２ ,所以该 容器中液体的体积为π×２２×６＋ １ ３ π×２ ２＋π× ３２( ) ２ ＋ π×２２×π× ３２( ) ２ [ ]×１＝３２５π１２ ．] ６．A　[依题意可得圆柱的底面半径r＝１,高h＝４,将圆柱 的侧面(一半)展开后得矩形ABCD,其中AB＝π,AD＝ ４,问题转化为在CD 上找一点Q,使AQ＋PQ 最短,作P 关于CD 的对称点E,连接AE,令AE 与CD 交于点Q(图 略),则 得 AQ＋PQ 的 最 小 值 就 是 AE＝ π２＋(４＋２)２ ＝ π２＋３６．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７０１ ７．D　[设该正六棱柱的底面边长为a,高为h,其外接球的 半径为R,易知４３πR ３＝２０ ５３ π ,则R＝ ５＝ a２＋h ２ ４① , 且 ３ ４a ２􀅰６􀅰h＝６ ３②,联立①②,因为h∈Z,解得a＝h, h＝４, 所以正六棱柱的表面积S＝ ３４a ２􀅰１２＋６ah＝３ ３＋２４．] ８．BC　[对于 A,如两个同底的三棱锥构成的六面体,不是 三棱锥,故错误;对于 B,球面上任意两点与球心共线时, 可以作球的无数个大圆,与球心不共线时,可以作球的一 个大圆,故正确;对于C,一条侧棱垂直于底面直角三角形 的一个锐角顶点的三棱锥满足题意,故正确;对于D,作直 观图时,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段 长度减半,故错误．] ９．ABD　[将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面 为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形 面,但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面．] １０．AC　 [如 图,由 ∠APB ＝１２０°,AP＝２可知,底 面直径 AB＝２ ３,高PO ＝１,故该圆锥的体积为 π,故A对;该圆锥的侧面 积为２ ３π,故B错;连接CB,取AC 中点为Q,连接QO, PQ,易证二面角P－AC－O 的平面角为∠PQO＝４５°, 所以QO＝PO＝１,PQ＝ ２,所以 BC＝２,所以 AC＝ ２ ２,故C对;S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故 D错．] １１．解析:由题意易求正四棱锥的高为６,V棱台 ＝V大四棱锥 － V小四棱锥＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ １２．解析:由 题 意 知 h甲 h乙 ＝ ２２－１２ ３２－１ ＝ ３ ２ ２ ,V甲 V乙 ＝ h甲 h乙 ＝ ３(r１－r２) ２ ２(r１－r２) ＝ ６４． 答案:６ ４ １３．解析:四面体的体积最大时即平 面SAB⊥平面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB, BC＝ ５,AC＝ ３, 所以∠ACB＝９０°, 取AB 的中点H, 连接CH,SH, SH⊥AB,平面SAB∩平面ABC＝AB,SH 在平面SAB 内,而SH＝１２× ２ 􀅰SA＝ ２, 所以SH⊥平面ABC,所以VS－ABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰SH ＝１３× １ ２× ５× ３× ２＝ ３０ ６ ; 则外接球的球心在SH 上,设球心为O,连接OC, CH＝１２ 􀅰AB＝１２× ２ 􀅰SA＝ ２, 因为SH＝１２× ２SA＝ ２ , 所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期必刷２２ 思维整合室 １．一条直线　交线　相交直线　相交　交线　两条相交直 线　平行　垂线　l⊂β　交线　l⊂β ２．(２)０,π２( ]　３．(１)射影　９０°　(２)０, π ２[ ] ４．(１)两个半平面　(２)∠AOB 技能提升台 １．C　[如图,连接BE,因为 AB∥CD, 所以异面直线AE 与CD 所成的角等 于相交直线AE 与AB 所成的角,即 为∠EAB．不妨设正方体的棱长为２, 则CE＝１,BC＝２,由勾股定理得BE ＝ ５．又由AB⊥平面BCC１B１,可得AB⊥BE, 所以tan∠EAB＝BEAB＝ ５ ２． ] ２．C　[对于 A,B,若m∥α,n∥α,则m 与n 可能平行、相交 或异面,故 A,B错误;对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n, 且m 与n 可能相交,也可能异面,故C正确,D错误．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于 ③,若n∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正确, 对于④,若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂直, 错误．] ４．D　 [如 图,取 BC 的 中 点O,连 接 OE,OF,∵F 是B１C的中点,∴OF∥ B１B,∴FO⊥平面ABCD, ∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角． 设正方体的棱长为２, 则FO＝１,EO＝ ２, ∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为 ２２． ] ５．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交 直线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面 直线;对于C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直 线;对于 D,当 点 P 与C１ 重 合 时,BP 与B１C 是 相 交 直线．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８０１