假期必刷20 数列的综合问题-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　假期必刷２０　数列的综合问题　　　　　　　　　　　　 １．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋１＝an＋f(n) 累加法 a１＝１, an＋１＝an＋２n an＋１＝anf(n) 累乘法 a１＝１, an＋１＝２nan an＋１＝pan＋q (p≠０,１,q≠０) 化为等 比数列 a１＝１, an＋１＝２an＋１ an＋１＝pan ＋q􀅰pn＋１ (p≠０,１,q≠０) 化为等 差数列 a１＝１,an＋１ ＝３an＋３n＋１ 如an＋１＝ Aan Ban＋C (A,B,C为常数) 两边同时 取倒数构 造新数列 an＋１＝ ２an an＋２ (１)an＋１＝pan＋q(p≠０,１,q≠０)的求解方法 是:设an＋１＋λ＝p(an＋λ),即an＋１＝pan＋ pλ－λ,与an＋１＝pan＋q比较即可知只要λ ＝ qp－１． (２)an＋１＝pan＋q􀅰pn＋１(p≠０,１,q≠０)的求解方 法是两端同时除以pn＋１,即得 an＋１ pn＋１ － an pn ＝q, 数列 an pn{ }为等差数列． ２．求数列的前n项和的方法 (１)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝na１＋ n(n－１) ２ d． ②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝１时,Sn＝na１; (ⅱ)当q≠１时,Sn＝ a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ． (２)分组转化法 把数列适当拆分,分为几个等差、等比数 列,先分别求和,然后再合并,形如: ①{an±bn},其中{an}是等差数列,{bn}是 等比数列; ②an＝ f(n),n＝２k－１, g(n),n＝２k(k∈N∗){ (３)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相 消,剩下首尾若干项． (４)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等 差数列求和公式的推导过程的推广． (５)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对 应项相乘所得的数列的求和,即等比数列 求和公式的推导过程的推广．形如:{an􀅰 bn}, an bn{ },其中{an}是等差数列,{bn}是等 比数列． (６)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解, 则称之为并项求和．形如an＝(－１)nf(n) 类型,可采用两项合并求解．例如,Sn＝ １００２－９９２＋９８２－９７２＋􀆺＋２２－１２＝(１００ ＋９９)＋(９８＋９７)＋􀆺＋(２＋１)＝５０５０． １．数列{an}的通项公式是an＝(－１)n(２n－１),则 该数列的前１００项之和为 (　　) A．－２００　B．－１００　C．２００　D．１００ ２．设 数 列 {an}的 前 n 项 和 为Sn,若 an ＝ １ n＋１＋ n ,则S９９＝ (　　) A．７ B．８ C．９ D．１０ ３．(２０２５􀅰广东高二统考)数列{an}满足an＋１ ＝ ２an－１ ４an＋２ ,且a１＝１,则数列{an}的前２０２５ 项的和S２０２５＝ (　　) A．－２５３６ B．－ ２５１ ８ C．－１７６５６ D．－ １７７１ ８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ ４．在数列{an}中,a１＝２,an＋１＝an＋ln１＋ １ n æ è ç ö ø ÷,则 an 等于 (　　) A．２＋lnn　　　　B．２＋(n－１)lnn C．２＋nlnn D．１＋n＋lnn ５．(２０２５􀅰高二全国专题练习)若数列{an}满 足an＋１＝amn(m＞１且m∈Z),则称数列{an} 为“幂m 数列”．已知正项数列{an}是“幂２ 数列”且a２－a１＝２,设{an}的前n 项积为 Tn,则T１０＝ (　　) A．１０２４ B．１０２３ C．２１０２４ D．２１０２３ ６．(多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn ＝－n２＋７n,则 (　　) A．{an}是递增数列 B．a１０＝－１２ C．当n＞４时,an＜０ D．当n＝３或４时,Sn 取得最大值 ７．(多选)如图所示,将平 面直角坐标系中的格 点(横、纵坐标均为整 数的点)的横、纵坐标 之和作为标签,例如: 原点处标签为０,记为 a０;点(１,０)处标签为 １,记为a１;点(１,１)处标签为２,记为a２;点(０, １)处标签为１,记为a３;点(－１,１)处标签为０, 记为a４;􀆺以此类推,格点(i,j)(i,j∈Z)处标 签为i＋j,记Sn＝a１＋a２＋􀆺＋an 则 (　　) A．a２０２３＝－１ B．S２０２２＝－１ C．a８n＝０ D．S４n２＋３n＝ n(n－１) ２ ８．(２０２５􀅰湖北重点中学模拟)已知数列{an} 的前n 项和为Sn,且２an－Sn＝２,记数列 an (an＋１)(an＋１＋１){ }的前n项和为Tn,若对 于任意n∈N∗ ,不等式k＞Tn 恒成立,则实 数k的取值范围为　　　　． ９．已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an＝２n, 且使得Sn－nan＋１＋５０＜０的最小正整数n 的值为　　　　． １０．我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国 时期就出现了类似于砝码的用来测量物体 质量的“环权”．已知９枚环权的质量(单 位:铢)从 小 到 大 构 成 项 数 为 ９ 的 数 列 {an},该数列的前３项成等差数列,后７项 成等比数列,且a１＝１,a５＝１２,a９＝１９２,则 a７＝　　　　,数列{an}的所有项的和为 　　　　． １１．已知{an}为等差数列, bn＝ an－６,n为奇数, ２an,n为偶数．{ 记Sn ,Tn 分别为数 列{an},{bn}的前n项和,S４＝３２,T３＝１６． (１)求{an}的通项公式; (２)证明:当n＞５时,Tn＞Sn． １２．(２０２５􀅰怀化高二模拟)已知Tn 为正项数 列{an}的 前n 项 的 乘 积,且a１ ＝３,T２n ＝an＋１n ． (１)求数列{an}的通项公式; (２)设bn＝ an－１ an＋１ ,数列{bn}的前n项和为 Sn,证明:Sn＞n－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ 三0022 二数学) 减函数，所以入>f(1)=一6，因此选项B不正确：因为在 (2)数列{an}为“紧密”数列；理由如下： 等比数列{a,)中，设公比为q,a2,a10是方程x2一8.x十4= 0的两根，所以有a2·a10=4>0,a2十a10=8>0,于是有 数列{a,}的前项和Sn=子(n2+3m(n∈N), a2>0,a1o>0,而a6=a2·q>0,所以a5=√a2a1o=VA= 当m=1时a1=S1=×1+3)=1: 2,因此选项C不正确：因为等差数列{an},{bn}的前n项 (an+as)x5 本分别为5不所以尚产-西X 52 当≥2时a.=8-51=m+3m)-[u-12 2 13 +3a-1DJ-名+ 2 器-语岩-器调光选项D三瑞] 又十号=1=1，即1=1满足，=+ 1 8.解析：设{an的公比为g(q≠0) 因光，=名+名a∈N 则a2a1a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0. 1 则a1=g2.即a1g=g,则a1q=1, 所以对任意∈、“旦三+1）千+2了 因为a9a1o=一8，则u1g·a1q=-8, 1 nT 2"+2 则g5=(g)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 则47=a1g·g2=1×(-2)=-2. 1+1 n+' 答案：一2 所以号<“1=1+1 9.解析：由题设，S%=S令-80，S2m=一240. 2 dn +下2， 7··{心奇十95奇一一240·、5夺二二80， 因此数列{an}为“紧密”数列： gS奇=S年-80， (q=2. (3)因为数列{au}是公比为q的等比数列，前n项和 答案：2 为Tn, 10.解析：loga+1=1十log(a>0,a≠1)， 当q=1时，有aw=a1,Sm=a1, 则1-log1-lo,-loe 所以<-1<<--1+≤， .=a教列{xn是公比为a的等比教列， 满足题意： x1+xg+…+r1o0=100. 当g≠1时a,=a1‘q-1,S.=a11-92 1-9 ∴x101十x12+…十x200=a100(x1十x2+…十x10m） =100a1a0. 因为a为紧蜜”载到，所以号<“出-9≤2 答案：100a10 即2<91或1<q<2 11.解：(1)因为2Sn=3am+1一3，所以2Sm+1=3am+2-3,两 式相减可得2a+1=3a+2一3aw+1,即3am+2=5dm+1,所 当2<q<1时，5。-1=1-1 Sm1-g”1-g 以等比数列a,}的公比1=号，又周为2S,=3a-3= 54=1-g+11-92=1+4)1-g2=1+g<2 5a1-3,即2a1=5a1-3,所以41=1，所以{am}的通项公 S1-g1-g 1-g” 式为a,-(停： 所以号<S+1=1-g 2 S1-” -≤2，满足{Sn}为“紧密”数列： (②)因为25，=3a1-3,所以S.=受(a1-D 当1q≤2时等-苦-1十>2，不满足8，为紧 引()- 密”数列： 设数列{Sn}的前n项和为T 籍上.实数g的取值范国是[位小 则T。=× -(] 3 假期必刷20 1- 技能提升台 1.D[S1o0=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) =2×50=100.] 2.C [a= =√n十1-n,所以Sm=(√2-1) m+1+m 所以{an}不是“紧密效列”： +(3-√2)+…+（√100-√99）=√/100-1=9.] 105 快乐假期 90= 2×合-1 =4≠0，故C错误；对D,因为S4m+3m=Sm+4m 3.C[由题意知：a1=1,a2=什2-万a三 4x+2 (a4m2+4n十am+4m-1十…十a4m+3m+1),又a4m+n对应点 为(n,一n),所以a1m2+m=0,a4+4n-1对应点为(n-1,一n) 所以44m2+-1=一1，a4m+3m十1对应点为(1，一)，所以 a4w+3m+1=-(n-1),所以S4m2+3m=0-[-1-2-… 4×()+2 (m-1D门=mm21,故D正确.] 2 1,,易知数列{am》是周期为4的数列，S202s=506× 8.解析：依题意2a一S,=2, +日)1-1西] 当n=1时，1=2， 4.A[因为a+1-a,=n中=ln(+1）-lnn 由2am-1-Sa-1=2n≥2， 两式相减并化简得an=2am-1· 所以a2-a1=ln2-ln1,a3-a2=ln3-ln2, 所以数列{am}是首项为2，公比为2的等比数列， as-43=In 4-In 3, 即an=2 2" an-an-1=In n-In(n-1)(n22). (am+1)(a+1+1)(2”+1)(2m+1+1D 把以上各式分别相加得am一a1=lnI一ln1, 1 1 则an=2十n(n≥2)，且a1=2也适合， 2"+12+1+11 因此4m=2+lnn(n∈N·).] 5.D[:正项数列{am}是“幂2数列”， 所以工=(+（2）+… ∴a2=a7,又a2-a1=2, ∴.a-a1-2=0,解得a1=2或a1=-1(舍去)， dt1=a 所以实数k的取值范周是[3，十©)】 ∴log2an+1=210g2a,即10e2421=2. logzan 答案：[分+)】 又log2a1=log22=1, 9.解析：S.=1×21+2×22+…+n×2m, 所以数列{log2am}是首项为1，公比为2的等比数列， 则2Sm=1×22+2×23+…十n×2"+1,两式相减得 log2an=2"-1, -5,=2+22++2”-1·2+1=21-2）-n·20+1. .log2Tio=loge(a1·a2…a1o)=log2a+log2a2+…+ 12 64=2+2+中2-二驾=10.所以T=2m 故Sn=2十(n-1）·2+H.又4n=2", …S,-am+1+50=2+(n-1)·2m+1-n·2m+1+50 6,BCD[A选项，当n>2时，4n=Sm-S,-1=-2n+8,又 =52-2"+1,依题意52-2+1<0， a1=S1=6=一2X1+8,所以am=-2m十8，图为am+1 故最小正整数n的值为5. am=-2(n十1)十8十2n一8=一2<0，则{am}是递减数列， 答案：5 故A错误：B选项，由an=一2n十8，可得a10=一12，故B 10.解析：：数列{an}的后7项成等比数列，am>0, 正确：C选项，令4n=一21十8<0，解得n>4,故C正确： .a7=√asag=√12X192=48, D选项，周为y=一2十7江的对斯轴为x=子，开口向 aa=12 下，又n∈N",所以当n=3或4时，S取得最大值，故D 948=3, 正确.] 7,AD[对A,由题意得.第一图从a1(1,0)到ag(1,一1)共 a4=3×2=6, 8个点，由对称性可得a1十a2十…十ag=0,第二圈从 又该数列的前3项成等差数列， au(2,一1)到a24(2,一2)共16个点，由对称性可得ag十 a1o十…十2：=0，根据归纳推理可得第n图共有8n个 六数列1an}的所有项的和为3a十a)+6X(2s-1) 2 2-1 点，这8n项的和也是0.设a2023在第n图，则8十16十… +8n=4n(n+1),且4×22×(22+1)=2024，由此可知前 3×(1+32+378=384. 2 22图共有2024个点，即S2024=0,且a2024对应点为(20， 答案：48384 一22)，所以a2023对应点为(21，一22)，所以a2023=21一 11.解：(1)设{an}的首项为a1,公差为d,由S1=32, 22=一1，故A正确：对B,因为S224=0,所以S2022 得4a1+6d=32, S224-42024-a2023=0-(22-22)-(21-22)=1.故B 又b1=a1-6,b=2a2=21+2d,b=ag-6=a1+2d-6, 错误：对C,由图可得a32对应点为(1,3)，所以a2=1十3 所以T3=4a1十4d-12=16,即a1十d=7, 106 三0022 二教学) 的 4a+6d=32, 解得45 假期必刷21 a1+d=7, d=2. 思维整合室 所以{an}的通项公式an=2n十3. 1.(1)平行全等平行相似平行且相等一点 12n-3,n为奇数， (2)证明：由(1)知bn 一点平行四边形三角形(2)垂直一点一点 4n+6,n为偶数. 矩形等腰三角形矩形扇形 当=2（∈N”)时，T,=k(-1D+21DX4+14k+ 2.2πrlπrlx(rn1十r2)l 2 k(k12×8=6k2+7k. 3Sh号sh4Re音R 2 技能提升台 Ss.=2×5+2k(2-1D×2=4h2+8. 2 1.C[由S原国形=22S直观图，得S原g彩=22×4=8W2.] Tm-5n=2k2-k=k(2k-1), 2.B[由题意，侧面积相等，则國锥的母线长是國柱高的 当n>5即k>2时，k(2k-1)>0, 2倍，即2，故其底西半径为3，所以国锥的体积为号× 所以T>Sm: 开×32×3=33π.故选择：B.] 当n=2k+1(k∈N)时，T。=(k+1D(-1D+士1k× 2 3.A[由题可知圆维的底面半径R=1,母线长=2，高h= 4+14h+6,D×8=62+11k-1, √P-=√22-1下=5. 2 S,=(2k+1)X5+2+1)2必×2=4h2+12+5. 六国维的体款为V-写RA=-] 2 4.B[如图，连接AD1,BC1分别延长至 Tm-Sm=2k2-k-6=(2k+3)(k-2). F,G,使得AD=AF,BC=BG,连接 当n>5,即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, EG.FG,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 所以Tm>Sn 为正四棱柱，∴.AB⊥平面ADDA1,AB 12.解：(1)T=a+1,T+1=af, ⊥平面BCCB,.AB⊥AF,AB⊥EG 又AB=AD=AF, 所以工脚41a .四边形ABGF为正方形， 两边取常用对数得lga+1=lga十1， .EG=√BE2+BG=WBE+BC 得g0+1=(n十1D1gu,所以lu=lga==lg =CE. n十1 .D1E+CE的最小值为D1G =lg3, 又D1G=D1F2+FG=√9+I=10, 所以数列 小g)为常数列，所以lg4n=lg3=lg3”, n .D1E+CE的最小值为I0.] 所以an=3” 5.A[由题意可知，容器中液体分为：下半 部分为圆柱，上半部分为圆台， (2)证明：由1)知a,=3,所以6，-%=3二1= 4n+13"+1 取轴戴面，如图所示，O,O2,O3分别为 2 AB,CD,EF的中点， 13+1 可知：AB∥CD∥EF,且OB1=O2C=2, 则5= ()+(-)+… 0102=6,O2P=4,0203=1,O3P=3,可 (-异)-2(+十+十+) 8器-8部-是即0P-是将以按 容器中液体的体积为π×22×6十 又为中动 x+×(侵)xx×(]×1-容] 1 +…十 6.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h=4,将圆柱 的侧面（一半）晨开后得矩形ABCD,其中AB=元，AD= 字 4,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十PQ最短，作P 关于CD的对称点E,连接AE,令AE与CD交于点Q(图 略)，则得AQ十PQ的最小值就是AE-√云+(4+2) 故s,=-2(g中十3十3中）>n- -√+36.] 107