假期必刷19 等比数列-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

９．解析:设an＝a１＋(n－１)d,则由条件得２a１＋５d＝７,４a１ ＋７d＝５,解得a１＝－４,d＝３, 则S１０＝５(２a１＋９d)＝９５． 答案:９５ １０．解析:令数列:１,７,１５,２７,４５,７１,１０７,􀆺为数列{an},于 是a７＝１０７, 依题意,数列{an＋１－an}为:６,８,１２,１８,２６,３６,􀆺,于是 a７－a６＝３６ 数列{(an＋２－an＋１)－(an＋１－an)}为:２,４,６,８,１０,􀆺是 等差数列,(a８－a７)－(a７－a６)＝１２, 则a８－a７＝(a７－a６)＋１２＝３６＋１２＝４８,因此a８＝a７＋ ４８＝１０７＋４８＝１５５, 所以该数列的第８项为１５５． 答案:１５５ １１．解:(１)选择①:a２－２a１＝１×２,则a２＝４． ２a３－３a２＝２×３,则a３＝９． 选择②:a２＝S２－S１＝２×２２－１－１＝６, a３＝S３－S２＝２×３２－１－２×２２＋１＝１０． (２)选择①:由nan＋１－(n＋１)an＝n(n＋１), 则 an＋１ n＋１－ an n ＝１ , 所以数列 an n{ }是首项为 a１ １＝１ ,公差为１的等差数列, 所以 an n ＝n ,an＝n２． 选择②:当n≥２时,an＝Sn－Sn－１ ＝２n２－１－[２(n－１)２－１]＝４n－２; 当n＝１时,a１＝１,不符合上式, 故{an}的通项公式为an＝ １,n＝１ ４n－２,n≥２,n∈N∗{ ． １２．解:(１)证明:因为bn 是数列{Sn}的前n项积, 所以n≥２时,Sn＝ bn bn－１ , 代入２ Sn ＋１bn ＝２,可得 ２bn－１ bn ＋１bn ＝２, 整理可得２bn－１＋１＝２bn,即bn－bn－１＝ １ ２ (n≥２)． 又２ S１ ＋１b１ ＝３b１ ＝２,所以b１＝ ３ ２ , 故{bn}是以 ３ ２ 为首项,１ ２ 为公差的等差数列． (２)由(１)可知,bn＝ ３ ２＋ １ ２ (n－１)＝n＋２２ , 则２ Sn ＋ ２n＋２＝２ ,所以Sn＝ n＋２ n＋１ , 当n＝１时,a１＝S１＝ ３ ２ , 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝ n＋２ n＋１－ n＋１ n ＝－ １ n(n＋１)． 故an＝ ３ ２ ,n＝１, － １n(n＋１) ,n≥２． ì î í ï ï ïï 假期必刷１９ 思维整合室 １．(１)同一个　(２)ab ２．(１)a１qn－１　(２) a１(１－qn) １－q ３．(１)am􀅰an　(２)qm　(３)qn 技能提升台 １．D　[设等 比 数 列{an}的 首 项 为a１,公 比 为q,由 题 意, a１＋a２＋a３＝１６８ a２－a５＝４２{ ,即 a１(１＋q＋q２)＝１６８ a１q(１－q３)＝４２{ , 即 a１(１＋q＋q２)＝１６８ a１q(１－q)(１＋q＋q２)＝４２{ ,解得q＝ １ ２ ,a１＝９６, 所以a６＝a１q５＝３．] ２．C　[由题意可得:当n＝１时,a２＝２a１＋２,即a１q＝２a１＋２,　① 当n＝２时,a３＝２(a１＋a２)＋２,即a１q２＝２(a１＋a１q)＋２,　② 联立①②可得a１＝２,q＝３,则a４＝a１q３＝２×３３＝５４．] ３．A　[设正项等比数列{an}的公比为q(q＞０), 由a１＝３,且－３a１,a２,a３ 成等差数列, 得２a２＝a３－３a１,即２a１q＝a１q２－３a１,即２q＝q２－３, 解得q＝３或q＝－１(舍去), ∴Sn＝ ３(１－３n) １－３ ＝ ３n＋１－３ ２ ． ] ４．B　[设等比数列{bn}的公比为q,由b１＝１且T３＝３, 当q＝１时,则T３＝３b１＝３,符合题意,则bn＝１,又a２＋b２ ＝４,所以a２＝３, 所以S３＝a１＋a２＋a３＝３a２＝９; 当q≠１时,则T３＝ b１(１－q３) １－q ＝３ ,即１＋q＋q２＝３,解得 q＝１(舍去)或q＝－２, 所以bn＝(－２)n－１,则b２＝－２,又a２＋b２＝４,所以a２ ＝６, 所以S３＝a１＋a２＋a３＝３a２＝１８;综上可得S３＝９或１８．] ５．B　[现有一石窟的某处“浮雕像”共７层,每上层的数量 是下层的２倍,总共１０１６个“浮雕像”,这些“浮雕像”构 成一幅优美的图案,从最下层往上“浮雕像”的数量构成 一个数列{an},则{an}是以２为公比的等比数列,１２７a１＝ １０１６,解得a１＝８,an＝８×２n－１(１≤n≤７,n∈N∗) ∴a３􀅰a５＝２５×２７＝２１２,log２(a３a５)＝log２２１２＝１２．] ６．ABD　[A,B 显然是正确的;C 中,若a１＝１,q＝ １ ２ ,则 a６＜a５,即S６－S５＜S５－S４,故 C 错 误;D 中, bn＋１ bn ＝ an an＋１ ＝１q (q≠０),∴{bn}是等比数列．] ７．AD　[因为当an＝０时,显然数列{an}不可能是等比数 列,但是{an}是公比为２的等比数列一定有an＝２an－１ (n≥２,n∈N∗)成立,因此选项 A 正确;因为{an}为单调 递增数列,所以有an＋１＞an⇒２(n＋１)２＋λ(n＋１)＞２n２ ＋λn⇒λ＞－４n－２,因为函数f(n)＝－４n－１(n∈N∗)是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１ 减函数,所以λ＞f(１)＝－６,因此选项 B不正确;因为在 等比数列{an}中,设公比为q,a２,a１０是方程x２－８x＋４＝ ０的两根,所以有a２􀅰a１０＝４＞０,a２＋a１０＝８＞０,于是有 a２＞０,a１０＞０,而a６＝a２􀅰q４＞０,所以a６＝ a２a１０＝ ４＝ ２,因此选项C不正确;因为等差数列{an},{bn}的前n项 和分别为Sn,Tn,所以由 S５ T７ ＝１５１３⇒ (a１＋a５) ２ ×５ (b１＋b７) ２ ×７ ＝１５１３⇒ ５a３ ７b４ ＝１５１３⇒ a３ b４ ＝２１１３ ,因此选项 D正确．] ８．解析:设{an}的公比为q(q≠０), 则a２a４a５＝a３a６＝a２q􀅰a５q,显然an≠０, 则a４＝q２,即a１q３＝q２,则a１q＝１, 因为a９a１０＝－８,则a１q８􀅰a１q９＝－８, 则q１５＝(q５)３＝－８＝(－２)３,则q５＝－２, 则a７＝a１q􀅰q５＝１×(－２)＝－２． 答案:－２ ９．解析:由题设,S偶＝S奇－８０,S２n＝－２４０． ∴ S奇＋qS奇＝－２４０, qS奇＝S奇－８０,{ ∴ S奇＝－８０, q＝２．{ 答案:２ １０．解析:∵logaxn＋１＝１＋logaxn(a＞０,a≠１), 则１＝logaxn＋１－logaxn＝loga xn＋１ xn , ∴ xn＋１ xn ＝a,∴数列{xn}是公比为a的等比数列, ∵x１＋x２＋􀆺＋x１００＝１００, ∴x１０１＋x１０２＋􀆺＋x２００＝a１００(x１＋x２＋􀆺＋x１００) ＝１００a１００． 答案:１００a１００ １１．解:(１)因为２Sn＝３an＋１－３,所以２Sn＋１＝３an＋２－３,两 式相减可得２an＋１＝３an＋２－３an＋１,即３an＋２＝５an＋１,所 以等比数列{an}的公比q＝ ５ ３ ,又因为２S１＝３a２－３＝ ５a１－３,即２a１＝５a１－３,所以a１＝１,所以{an}的通项公 式为an＝ ５ ３( ) n－１ ; (２)因 为 ２Sn＝３an＋１－３,所 以 Sn＝ ３ ２ (an＋１－１)＝ ３ ２ ５ ３( ) n －１[ ]． 设数列{Sn}的前n项和为Tn 则Tn＝ ３ ２× ５ ３ １－ ５ ３( ) n [ ] １－５３ －３２n ＝１５４× ５ ３( ) n －３２n－ １５ ４． １２．解:(１)a１＝ ３ ４ ,a２＝ １ ２ ,a３＝ １５ ６４ ,∵ a３ a２ ＝１５３２＜ １ ２ , 所以{an}不是“紧密数列”; (２)数列{an}为“紧密”数列;理由如下: 数列{an}的前项和Sn＝ １ ４ (n２＋３n)(n∈N∗), 当n＝１时,a１＝S１＝ １ ４× (１＋３)＝１; 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝ １ ４ (n２＋３n)－１４ [(n－１)２ ＋３(n－１)]＝１２n＋ １ ２ , 又１ ２＋ １ ２＝１＝a１ ,即a１＝１满足an＝ １ ２n＋ １ ２ , 因此an＝ １ ２n＋ １ ２ (n∈N∗), 所以 对 任 意n∈N∗, an＋１ an ＝ １ ２ (n＋１)＋１２ １ ２n＋ １ ２ ＝n＋２n＋１＝ １＋ １n＋１ , 所以１ ２＜ an＋１ an ＝１＋ １n＋１＜２ , 因此数列{an}为“紧密”数列; (３)因为数列{an}是公比为q 的 等 比 数 列,前n 项 和 为Tn, 当q＝１时,有an＝a１,Sn＝na１, 所以１ ２≤ an＋１ an ＝１≤２,１２≤ Sn＋１ Sn ＝n＋１n ＝１＋ １ n ≤２ , 满足题意; 当q≠１时,an＝a１􀅰qn－１,Sn＝ a１(１－qn) １－q , 因为{an}为“紧密”数列,所以 １ ２≤ an＋１ an ＝q≤２, 即１ ２≤q＜１ 或１＜q≤２, 当１ ２≤q＜１ 时,Sn＋１ Sn ＝１－q n＋１ １－qn ＞１－q n １－qn ＝１, Sn＋１ Sn ＝１－q n＋１ １－qn ＜１－q ２n １－qn ＝ (１＋qn)(１－qn) １－qn ＝１＋qn＜２, 所以１ ２≤ Sn＋１ Sn ＝１－q n＋１ １－qn ≤２,满足{Sn}为“紧密”数列; 当１＜q≤２时, S２ S１ ＝１－q ２ １－q＝１＋q＞２ ,不满足{Sn}为“紧 密”数列; 综上,实数q的取值范围是 １２ ,１[ ]． 假期必刷２０ 技能提升台 １．D　[S１００＝(－１＋３)＋(－５＋７)＋􀆺＋(－１９７＋１９９) ＝２×５０＝１００．] ２．C　[an＝ １ n＋１＋ n ＝ n＋１－ n,所以S９９＝(２－１) ＋(３－ ２)＋􀆺＋( １００－ ９９)＝ １００－１＝９．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５０１ 　　　　　　　　假期必刷１９　等比数列　　　　　　　　　　　　 １．等比数列的概念 (１)定义:如果一个数列从第２项起,每一项与 它的前一项的比都等于　　　　常数,那 么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做 等比数列的公比,公比通常用字母q表示 (显然q≠０)． 数学语言表达式:an an－１ ＝q(n≥２,q为非零 常数)． (２)等比中项:如果在a与b 中间插入一个数 G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a 与 b的等比中项．此时G２＝　　　　． ２．等比数列的通项公式及前n项和公式 (１)若等比数列{an}的首项为a１,公比是q,则 其通项公式为an＝　　　　; 通项公式的推广:an＝amqn－m． (２)等比数列的前n项和公式:当q＝１时,Sn ＝na１;当 q≠１ 时,Sn ＝ 　 　 　 　 　 ＝ a１－anq １－q ． ３．等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn 是数列{an}的前n 项和． (１)若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N∗ ),则有 ak􀅰al＝　　　　． (２)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数 列,即ak,ak＋m,ak＋２m,􀆺仍是等比数列,公 比为　　　　． (３)当q≠－１,或q＝－１且n为奇数时,Sn, S２n－Sn,S３n－S２n,􀆺仍成等比数列,其公 比为　　　　． １．已知等比数列{an}的前３项和为１６８,a２－ a５＝４２,则a６＝ (　　) A．１４ 　　B．１２　　 C．６　　 D．３ ２．已知{an}为等比数列,Sn 为数列{an}的前n 项和,an＋１＝２Sn＋２,则a４ 的值为 (　　) A．３ B．１８ C．５４ D．１５２ ３．(２０２５􀅰湖南模拟)已知正项等比数列{an} 满足a１＝３,且－３a１,a２,a３ 成等差数列,则 数列{an}的前n项和为 (　　) A．３ n＋１－３ ２ B． ３n－３ ２ C．３ n＋１＋３ ４ D． ３n＋１－１ ４ ４．(２０２５􀅰山东菏泽高二模拟预测)已知{an}, {bn}分别是等差数列和等比数列,其前n项 和分别是Sn 和Tn,且a１＝b１＝１,a２＋b２＝４, T３＝３,则S３＝ (　　) A．９ B．９或１８ C．１３ D．１３或３７ ５．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库 之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高 窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石 窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共７层,每 上层的数量是下层的２倍,总共有１０１６个 “浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图 案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一 个数列{an},则log２(a３a５)的值为 (　　) A．１６ B．１２ C．１０ D．８ ６．(多选)若{an}是公比为q(q≠０)的等比数 列,记Sn 为{an}的前n项和,则下列说法正 确的是 (　　) A．若a１＞０,０＜q＜１,则{an}为递减数列 B．若a１＜０,０＜q＜１,则{an}为递增数列 C．若q＞０,则S４＋S６＞２S５ D．若bn＝ １ an ,则{bn}是等比数列 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ ７．(多选)下列命题中,正确的有 (　　) A．数列{an}中,“an＝２an－１(n≥２,n∈N∗ )” 是“{an}是公比为２的等比数列”的必要 不充分条件 B．数列{an}的通项为an＝２n２＋λn,若{an} 为单调递增数列,则λ＞－４ C．等比数列{an}中,a２,a１０是方程x２－８x＋ ４＝０的两根,则a６＝±２ D．等差数列{an},{bn}的前n 项和分别为 Sn,Tn,若 S５ T７ ＝１５１３ ,则a３ b４ ＝２１１３ ８．已知{an}为等比数列,a２a４a５＝a３a６,a９a１０＝ －８,则a７＝　　　　． ９．已 知 等 比 数 列 {an}共 有 ２n 项,其 和 为 －２４０,且奇数项的和比偶数项的和大８０, 则公比q＝　　　　． １０．设数列{xn}满足logaxn＋１＝１＋logaxn(a＞０, a≠１),若x１＋x２＋􀆺＋x１００＝１００,则x１０１＋ x１０２＋􀆺＋x２００＝　　　　． １１．(２０２４􀅰全国甲卷(文))已知等比数列{an} 的前n项和为Sn,且２Sn＝３an＋１－３． (１)求{an}的通项公式; (２)求数列{Sn}的前n项和． １２．(２０２５􀅰广东汕头高二期末)设数列{an}的 前n项和为Sn,若 １ ２≤ an＋１ an ≤２(n∈N∗ ), 则称{an}是“紧密数列”． (１)若an＝ n２＋２n ４n ,判断{an}是否是“紧密 数列”,并说明理由; (２)若数列{an}前n 项和为Sn＝ １ ４ (n２＋ ３n),判断{an}是否是“紧密数列”,并说明 理由; (３)设数列{an}是公比为q的等比数列．若 数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的 取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３