假期必刷18 等差数列-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷１８　等差数列　　　　　　　　　　　　　　 １．等差数列的概念 (１)定义:如果一个数列从第２项起,每一项与 它的前一项的差都等于　　　　　　,那 么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式:an＋１－an＝d(n∈N∗ , d为常数)． (２)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数 列可以看成是最简单的等差数列,这时A 叫做a 与b 的等差中项,根据等差数列的 定义可以知道,２A＝　　　　． ２．等差数列的通项公式与前n项和公式 (１)若等差数列{an}的首项是a１,公差是d,则 其通项公式为an＝　　　　　　． (２)前n项和公式:Sn＝　　　　　　　　 ＝　　　　　　　　． ３．等差数列的性质 (１)通项公式的推广:an＝am ＋　　　　　 (n,m∈N∗)． (２)若{an}为等差数列,且k＋l＝m＋n(k,l, m,n∈N∗),则　　　　　　　　． (３)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak＋m, ak＋２m,􀆺(k,m∈N∗)是公差为　　　　的 等差数列． (４)若Sn 为等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,S２m－Sm,S３m－S２m,􀆺也是等差数列． (５)若Sn 为等差数列{an}的前n项和,则数列 Sn n{ }也为等差数列． １．记Sn 为等差数列{an}的前n项和,若a１＝１, S３＝ ９ ２ ,则数列{an}的通项公式an＝ (　　) A．n　　　　　　　　B．n＋１２ C．２n－１ D．３n－１２ ２．已知{an}是等差数列,满足３(a１＋a５)＋ ２(a３＋a６＋a９)＝１８,则该数列的前 ８ 项 和为 (　　) A．３６ B．２４ C．１６ D．１２ ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理))记Sn 为等差数列 {an}的前n项和,已知S５＝S１０,a５＝１,则a１ ＝ (　　) A．７２ B． ７ ３ C．－ １ ３ D．－ ７ １１ ４．(２０２５􀅰郴州高二模拟)设数列{an}满足２an ＝an＋１＋an－１(n≥２且n∈N∗),Sn 是前n 项 和,且S３＝６,a３＝３,则 S２０２５ ２０２５＝ (　　) A．１０１３ B．２０２５２ C．１０１２ D．１０１１ ５．(２０２５􀅰高二下江西期中)若数列{an}相邻 两项的和依次构成等差数列,则称{an}是 “邻和等差数列”．例如,数列１,２,４,５,７,８, １０为“邻和等差数列”．已知数列{an}是“邻 和等差数列”,Sn 是其前n 项和,且a１＝０, a２＝１,a３＝４,则S２００＝ (　　) A．３９７００ B．３９８００ C．３９９００ D．４００００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ ６．(多选)已知等差数列{an}的公差为d,前n 项和为Sn,当首项a１ 和d变化时,a２＋a８＋ a１１是一个定值,则下列各数也为定值的是 (　　) A．a７ B．a８ C．S１３ D．S１５ ７．(多选)已知在数列{an}中,a１＝１,an＋１＝ an an＋１ (n∈N＋),则下列结论正确的是 (　　) A．{an}是等差数列 B．{an}是递增数列 C．１an{ }是等差数列 D．１an{ }是递增数列 ８．(多选)下面是关于公差d＞０的等差数列 {an}的四个命题,其中的真命题为 (　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列 ann{ }是递增数列 D．数列{an＋３nd}是递增数列 ９．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)设Sn 为等差数列{an} 的前n项和,若a３＋a４＝７,３a２＋a５＝５,则 S１０＝　　　　． １０．(２０２５􀅰 高二下湖南期中)南宋数学家杨 辉«详解九张算法»和«算法通变本末»中, 提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与 一般等差数列不同,前后两项之差不相等, 但是逐项差数之差或者高次差成等差数 列．对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之 后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列, 其前７项分别１,７,１５,２７,４５,７１,１０７,则 该数列的第８项为　　　　． １１．在①nan＋１－(n＋１)an＝n(n＋１);②Sn＝ ２n２－１这两个条件中任选一个补充在下 面的横线上,并解答． 若数列{an}的前n项和为Sn,a１＝１,且数 列{an}满足　　　　． (１)求a２,a３; (２)求数列{an}的通项公式． 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一 个解答计分． １２．设Sn 为数列{an}的前n项和,bn 为数列 {Sn}的前n项积,已知 ２ Sn ＋１bn ＝２． (１)证明:数列{bn}是等差数列; (２)求{an}的通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ 因为|a＋b|＝ (a＋b)２＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２＋２|b|２＋|b|２＝ ７|b|, |a－b|＝ (a－b)２＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２－２|b|２＋|b|２＝ ３|b|,所以|a＋b||a－b|＝ ２１ ３ ． 答案:２　 ２１３ １３．解析:依题意,以C 为坐标原 点,分别以 AC,BC 所在 的 直 线为x 轴,y轴,建立如图所示 的平面直角坐标系, 则B(０,２),D(２,０),所以直线BD 的方程为y＝－x＋２, 因为P 点在边AC 的中线BD 上,所以可设P(t,２－t) (０≤t≤２),所以CP→＝(t,２－t),BP→＝(t,－t), 所以CP→􀅰BP→＝t２－t􀅰(２－t)＝２t２－２t＝２t－１２( ) ２ －１２ , 当t＝１２ 时,CP→􀅰BP→取得最小值－１２． 答案:－１２ １４．解:(１)AD → ＝１２ (AB → ＋AC →)＝１２a＋ １ ２b , 所以AD → ＝１２a＋ １ ２b． (２)AB →􀅰AD → ＝a􀅰 １２a＋ １ ２b( )＝ １ ２a ２＋１２a 􀅰b ＝１２×３ ２＋１２×３×２×cos６０°＝６ ,所以AB →􀅰AD → ＝６． １５．解:(１)f(x)＝m􀅰n＝３sinx􀅰cosx＋cos２x－１ ＝ ３２sin２x＋ １ ２cos２x－ １ ２＝sin ２x＋ π ６( )－ １ ２． 令２x＋π６∈ ２kπ－ π ２ ,２kπ＋π２[ ](k∈Z), 则x∈ kπ－π３ ,kπ＋π６[ ](k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ－π３ ,kπ＋π６[ ](k∈Z)． (２)f(C)＝sin ２C＋π６( )－ １ ２＝０ , sin ２C＋π６( )＝ １ ２ ,又C∈ ０,π２( ),所以C＝ π ３． 在△ACD 中,CD＝２ ３３ ,在△BCE 中, BE＝ ２２＋ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ －２×２× ３３× ３ ２＝ ２１ ３ ． 假期必刷１８ 思维整合室 １．(１)同一个常数　(２)a＋b ２．(１)a１＋(n－１)d　(２)na１＋ n(n－１)d ２ 　 n(a１＋an) ２ ３．(１)(n－m)d　(２)ak＋al＝am＋an　(３)md 技能提升台 １．B　[设等差数列{an}的公差为d,则S３＝３a１＋ ３×２ ２ d＝ ３＋３d＝９２ ,解得d＝１２ ,∴an＝１＋(n－１)× １ ２＝ n＋１ ２ ． ] ２．D　[由等差数列性质可得a１＋a５＝２a３,a３＋a６＋a９＝ ３a６,所以３×２a３＋２×３a６＝１８,即a３＋a６＝３,所以S８＝ ８(a１＋a８) ２ ＝ ８(a３＋a６) ２ ＝１２． ] ３．B　[因为S５＝S１０,所以a６＋a７＋a８＋a９＋a１０＝０,即 ５a８＝０,∴a８＝０,又因为a５＝１,所以公差d＝－ １ ３ ,a１＝ a８－７d＝ ７ ３． ] ４．A　[由题意,２an＋１＝an＋an＋２,n∈N∗,∴an＋１－an＝ an＋２－an＋１,a∈N∗ 则数列{an}为等差数列,设公差为d,S３＝３a２＝６,a３＝３, 即a３＝３,a２＝２,则d＝１,则an＝a３＋d(n－３)＝n, 则Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d ,所以Sn n ＝a１＋ n－１ ２ d ,Sn＋１ n＋１－ Sn n ＝d２ (常数),则 Sn n{ }也为等差数列． 则数列 Sn n{ }的公差为 １ ２ ,所以Sn n ＝ S１ １＋ (n－１)×１２＝ １＋n－１２ ＝ n＋１ ２ ,所以S２０２５ ２０２５＝ ２０２５＋１ ２ ＝１０１３． ] ５．A　[设bn＝an＋an＋１,由a１＝０,a２＝１,a３＝４,得b１＝１, b２＝５,则bn＝４n－３＝an＋an＋１,故S２００＝(a１＋a２)＋ (a３＋a４)＋􀆺＋(a１９９＋a２００)＝b１＋b３＋􀆺＋b１９９＝１＋９ ＋􀆺＋７９３＝１００× (１＋７９３) ２ ＝３９７００． ] ６．AC　[由题知a２＋a８＋a１１＝a１＋d＋a１＋７d＋a１＋１０d ＝３a１＋１８d＝３(a１＋６d)＝３a７,∴a７ 是定值, ∴S１３＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝１３a７ 是定值．] ７．CD　 [由an＋１＝ an an＋１ (n∈N＋ ),可 得 １ an＋１ ＝ １an ＋１ (n∈N＋),所以 １ an{ } 是公差为１的等差数列,故 CD 正 确;１ an ＝１＋(n－１)×１＝n⇒an＝ １ n ,故{an}不是等差数 列,而且{an}为单调递减数列,故 AB错误．] ８．AD　[d＞０,an＋１－an＝d＞０,所以{an}是递增数列,故 A正确;nan＝n[a１＋(n－１)d]＝dn２＋(a１－d)n,当n＜ d－a１ ２d 时,数列{nan}不是递增数列,故 B 不 正 确; an n ＝ d＋ a１－d n ,当a１－d＜０时, an n{ }不是递增数列,故 C不 正确;an＋３nd＝４nd＋a１－d,因为d＞０,所以{an＋３nd} 是递增数列,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１ ９．解析:设an＝a１＋(n－１)d,则由条件得２a１＋５d＝７,４a１ ＋７d＝５,解得a１＝－４,d＝３, 则S１０＝５(２a１＋９d)＝９５． 答案:９５ １０．解析:令数列:１,７,１５,２７,４５,７１,１０７,􀆺为数列{an},于 是a７＝１０７, 依题意,数列{an＋１－an}为:６,８,１２,１８,２６,３６,􀆺,于是 a７－a６＝３６ 数列{(an＋２－an＋１)－(an＋１－an)}为:２,４,６,８,１０,􀆺是 等差数列,(a８－a７)－(a７－a６)＝１２, 则a８－a７＝(a７－a６)＋１２＝３６＋１２＝４８,因此a８＝a７＋ ４８＝１０７＋４８＝１５５, 所以该数列的第８项为１５５． 答案:１５５ １１．解:(１)选择①:a２－２a１＝１×２,则a２＝４． ２a３－３a２＝２×３,则a３＝９． 选择②:a２＝S２－S１＝２×２２－１－１＝６, a３＝S３－S２＝２×３２－１－２×２２＋１＝１０． (２)选择①:由nan＋１－(n＋１)an＝n(n＋１), 则 an＋１ n＋１－ an n ＝１ , 所以数列 an n{ }是首项为 a１ １＝１ ,公差为１的等差数列, 所以 an n ＝n ,an＝n２． 选择②:当n≥２时,an＝Sn－Sn－１ ＝２n２－１－[２(n－１)２－１]＝４n－２; 当n＝１时,a１＝１,不符合上式, 故{an}的通项公式为an＝ １,n＝１ ４n－２,n≥２,n∈N∗{ ． １２．解:(１)证明:因为bn 是数列{Sn}的前n项积, 所以n≥２时,Sn＝ bn bn－１ , 代入２ Sn ＋１bn ＝２,可得 ２bn－１ bn ＋１bn ＝２, 整理可得２bn－１＋１＝２bn,即bn－bn－１＝ １ ２ (n≥２)． 又２ S１ ＋１b１ ＝３b１ ＝２,所以b１＝ ３ ２ , 故{bn}是以 ３ ２ 为首项,１ ２ 为公差的等差数列． (２)由(１)可知,bn＝ ３ ２＋ １ ２ (n－１)＝n＋２２ , 则２ Sn ＋ ２n＋２＝２ ,所以Sn＝ n＋２ n＋１ , 当n＝１时,a１＝S１＝ ３ ２ , 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝ n＋２ n＋１－ n＋１ n ＝－ １ n(n＋１)． 故an＝ ３ ２ ,n＝１, － １n(n＋１) ,n≥２． ì î í ï ï ïï 假期必刷１９ 思维整合室 １．(１)同一个　(２)ab ２．(１)a１qn－１　(２) a１(１－qn) １－q ３．(１)am􀅰an　(２)qm　(３)qn 技能提升台 １．D　[设等 比 数 列{an}的 首 项 为a１,公 比 为q,由 题 意, a１＋a２＋a３＝１６８ a２－a５＝４２{ ,即 a１(１＋q＋q２)＝１６８ a１q(１－q３)＝４２{ , 即 a１(１＋q＋q２)＝１６８ a１q(１－q)(１＋q＋q２)＝４２{ ,解得q＝ １ ２ ,a１＝９６, 所以a６＝a１q５＝３．] ２．C　[由题意可得:当n＝１时,a２＝２a１＋２,即a１q＝２a１＋２,　① 当n＝２时,a３＝２(a１＋a２)＋２,即a１q２＝２(a１＋a１q)＋２,　② 联立①②可得a１＝２,q＝３,则a４＝a１q３＝２×３３＝５４．] ３．A　[设正项等比数列{an}的公比为q(q＞０), 由a１＝３,且－３a１,a２,a３ 成等差数列, 得２a２＝a３－３a１,即２a１q＝a１q２－３a１,即２q＝q２－３, 解得q＝３或q＝－１(舍去), ∴Sn＝ ３(１－３n) １－３ ＝ ３n＋１－３ ２ ． ] ４．B　[设等比数列{bn}的公比为q,由b１＝１且T３＝３, 当q＝１时,则T３＝３b１＝３,符合题意,则bn＝１,又a２＋b２ ＝４,所以a２＝３, 所以S３＝a１＋a２＋a３＝３a２＝９; 当q≠１时,则T３＝ b１(１－q３) １－q ＝３ ,即１＋q＋q２＝３,解得 q＝１(舍去)或q＝－２, 所以bn＝(－２)n－１,则b２＝－２,又a２＋b２＝４,所以a２ ＝６, 所以S３＝a１＋a２＋a３＝３a２＝１８;综上可得S３＝９或１８．] ５．B　[现有一石窟的某处“浮雕像”共７层,每上层的数量 是下层的２倍,总共１０１６个“浮雕像”,这些“浮雕像”构 成一幅优美的图案,从最下层往上“浮雕像”的数量构成 一个数列{an},则{an}是以２为公比的等比数列,１２７a１＝ １０１６,解得a１＝８,an＝８×２n－１(１≤n≤７,n∈N∗) ∴a３􀅰a５＝２５×２７＝２１２,log２(a３a５)＝log２２１２＝１２．] ６．ABD　[A,B 显然是正确的;C 中,若a１＝１,q＝ １ ２ ,则 a６＜a５,即S６－S５＜S５－S４,故 C 错 误;D 中, bn＋１ bn ＝ an an＋１ ＝１q (q≠０),∴{bn}是等比数列．] ７．AD　[因为当an＝０时,显然数列{an}不可能是等比数 列,但是{an}是公比为２的等比数列一定有an＝２an－１ (n≥２,n∈N∗)成立,因此选项 A 正确;因为{an}为单调 递增数列,所以有an＋１＞an⇒２(n＋１)２＋λ(n＋１)＞２n２ ＋λn⇒λ＞－４n－２,因为函数f(n)＝－４n－１(n∈N∗)是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１