假期必刷17 平面向量的数量积及其应用-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷１７　平面向量的数量积及其应用　　　　　　　　　　　　　 １．平面向量数量积的有关概念 (１)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O 是平面上的任意一点,作OA → ＝a,OB → ＝b, 则∠AOB＝θ(０≤θ≤π)叫做向量a与b 的 夹角． (２)数量积的定义:已知两个非零向量a与b, 它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　 叫做向量a与b 的数量积(或内积),记作 a􀅰b,即a􀅰b＝　　　　　　．规定:零向 量与任一向量的数量积为０,即０􀅰a＝０． (３)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作 OM → ＝a,ON → ＝b,过点 M 作直 线ON 的垂线,垂足为 M１, 则OM１ → 就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e,a与b 的 夹角为θ,则OM１ → 与e,a,θ之间的关系为 OM１ → ＝|a|cosθe． ２．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),θ为向量 a,b的夹角． (１)数量积:a􀅰b＝|a||b|cosθ＝x１x２＋y１y２． (２)模:|a|＝ a􀅰a＝ x２１＋y２１． (３)夹角:cosθ＝a 􀅰b |a||b|＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ ． (４)两非零向量a⊥b的充要条件:a􀅰b＝０⇔ x１x２＋y１y２＝０． ３．平面向量数量积的运算律 (１)a􀅰b＝b􀅰a(交换律)． (２)λa􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰(λb)(结合律)． (３)(a＋b)􀅰c＝a􀅰c＋b􀅰c(分配律)． １．在边长为３的等边三角形 ABC 中,BM → ＝ １ ２MC →,则BA →􀅰BM → ＝ (　　) A．３２　　 B． ３ ２　　 C． ３ ４　　 D． １ ２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(０,１), b＝(２,x),若b⊥(b－４a),则x＝ (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ ３．(２０２５􀅰八省联考)已知向量a＝(０,１),b＝ (１,０),则a􀅰(a－b)＝ (　　) A．２ B．１ C．０ D．－１ ４．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a| ＝１,|a＋２b|＝２,且(b－２a)⊥b,则|b|＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．１ ５．(２０２５􀅰广西柳州模拟预测)已知向量a与 b的夹角为６０°,且a＝(１,３),|b|＝１,则 |a－２b|＝ (　　) A．７ B．５ C．４ D．２ ６．在北京冬奥会开幕式中,当«雪花»这个节目 开始后,一片巨大的“雪花”呈现在舞台中 央,十分壮观．理论上,一片雪花的周长可以 无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”, 又称 “科 赫 曲 线”,是 瑞 典 数 学 家 科 赫 在 １９０４年研究的一种分形曲线．如图是“雪花 曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开 始,把每条边分成三等份,然后以各边的中 间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉 底边,重复进行这一过程．已知图①中正三 角形的边长为３,则图③中OM →􀅰ON → 的值为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ A．３ ３ B．６ ３ C．６ D．６ ２ ７．(２０２５􀅰 广东省广州市天河区模拟)在 △ABC中,BA →􀅰BC → ＝１２BC →２,若a＝１３AB → ＋２３AC →,b＝３４AB → ＋１４AC →,c＝２７AB → ＋ ５ ７AC →,则 (　　) A．|b|＞|c|＞|a| B．|b|＞|a|＞|c| C．|a|＞|c|＞|b| D．|c|＞|a|＞|b| ８．(多选)下列关于向量a,b,c的运算,一定成 立的是 (　　) A．(a＋b)􀅰c＝a􀅰c＋b􀅰c B．(a􀅰b)􀅰c＝a􀅰(b􀅰c) C．a􀅰b≤|a|􀅰|b| D．|a－b|≤|a|＋|b| ９．(多选)已知向量a＋b＝(１,１),a－b＝ (－３,１),c＝(１,１),设a,b的夹角为θ,则 (　　) A．|a|＝|b|　　　　　B．a⊥c C．b∥c D．θ＝１３５° １０．(多选)已知平面向量a＝(１,２),b＝(－２,１), c＝(２,t),下列说法正确的是 (　　) A．若(a＋b)∥c,则t＝６ B．若(a＋b)⊥c,则t＝２３ C．若t＝１,则cos‹a,c›＝４５ D．|a＋c|＜３ １１．已知向量a,b满足|a－b|＝ ３,|a＋b|＝ |２a－b|,则|b|＝　　　　． １２．已知向量a,b的夹角为π３ ,(a－b)⊥b,则 |a| |b|＝　　　　 ,|a＋b| |a－b|＝　　　　． １３．在Rt△ABC中,∠C＝９０°,CB＝２,CA＝４,P 在边AC的中线BD上,则CP →􀅰BP → 的最小值 为　　　　． １４．在△ABC 中,BC 的中点为D,设向量AB → ＝a,AC → ＝b． (１)用a,b表示向量AD → ; (２)若向量a,b满足|a|＝３,|b|＝２,‹a,b› ＝６０°,求AB → 􀅰AD → 的值． １５．已知向量 m＝(３sinx,cosx－１),n＝ (cosx,cosx＋１),若f(x)＝m􀅰n． (１)求函数f(x)的单调递增区间; (２)在 Rt△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若∠A＝９０°,f(C)＝０,c＝ ３, CD 为∠BCA 的角平分线,E 为CD 的中 点,求BE 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ １０．ABD　[各选项代入验证,若A,B,C 三点不共线即可构 成三角形．因为AB→＝OB→－OA→＝(２,－１)－(１,－３)＝ (１,２),AC→＝OC→－OA→＝(m＋１,m－２)－(１,－３)＝ (m,m＋１)．假设A,B,C三点共线,则１×(m＋１)－２m ＝０,即m＝１．所以只要m≠１,A,B,C 三点就可构成三 角形．A、B、D符合题意．] １１．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ １２．解析:在△ABC中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点D 为AB 的 中点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b, 则AE→＝１２ (AD→＋AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b １３．解析:∵B,D,C三点共线, ∴１４＋λ＝１ ,解得λ＝３４． 如图,过D 分别作AC,AB 的平 行线交AB,AC,于点 M,N, 则AN → ＝１４AC →,AM → ＝３４AB →, ∵在△ABC中,∠A＝６０°,∠A 的平分线交BC 于D, ∴四边形AMDN 是菱形, ∵AB＝４, ∴AN＝AM＝３, ∴AD＝３ ３． 答案:３ ４　３ ３ 假期必刷１７ 思维整合室 １．(２)|a||b|cosθ　|a||b|cosθ 技能提升台 １．B　[∵BM→＝１２MC →,∴BM→＝１３BC →,∴BA→􀅰BM→＝１３BA → 􀅰BC→＝１３|BA →||BC→|cosπ３＝ １ ３×３×３× １ ２＝ ３ ２． ] ２．D　因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０,则４＋x２－４x ＝０,解得x＝２．故选择:D． ３．B　[a＝(０,１),b＝(１,０), ∴a－b＝(－１,１), ∴a(a－b)＝０×(－１)＋１×１＝１．] ４．B　[将条件|a＋２b|＝２平方得１＋４a􀅰b＋４b２＝４, 由(b－２a)⊥b得b２－２a􀅰b＝０,所以b２＝１２ ,|b|＝ ２２． ] ５．D　[由a＝(１,３),得|a|＝２, 又|b|＝１,则|a－２b|＝ a２－４a􀅰b＋４b２ ＝ ４－４×２×１×cos６０°＋４＝２．] ６．C　[在图③中,以O 为坐标原点建立 如图所示的平面直角坐标系,|OM→|＝２, OM→＝ ２cosπ３ ,２sinπ３( )＝(１,３), |MP→|＝４３ ,即MP→＝ ４３ ,０( ), |PN→|＝１３ ,由图形知PN∥OM,所以PN→＝ １ ６ ,３ ６ æ è ç ö ø ÷, 所以ON→＝OM→＋MP→＋PN→＝ ５ ２ ,７ ３ ６ æ è ç ö ø ÷, 所以OM→􀅰ON→＝１×５２＋ ３× ７ ３ ６ ＝６． ] ７．A　[如图,设BC 的中点为D, 则BA→􀅰BC→＝ １２BC →２＝BC→􀅰 BD→,所 以BA→􀅰BC→－BC→􀅰BD→ ＝BC→􀅰(BA→－BD→)＝BC→􀅰DA→＝０,∴AD⊥BC, 则AB＝AC． 设d＝１４AB →＋３４AC →,由于AB＝AC,则d２＝b２,则|b|＝|d|． 假如a,d,c的起点均为A,运用加法的平行四边形法作图 求和,对角线对应的终点E,F,G,如图所示．所以|b|＞ |c|＞|a|．] ８．ACD　[根据数量积的分配律可知 A正确;B中,左边为c 的共线向量,右边为a的共线向量,故 B错误;根据数量 积的定义可知a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b›≤|a|􀅰|b|,故C正 确;|a－b|２－(|a|＋|b|)２＝－２a􀅰b－２|a||b|≤０,故 |a－b|２≤(|a|＋|b|)２,即|a－b|≤|a|＋|b|,故 D 正确．] ９．BD　[由a＋b＝(１,１),a－b＝(－３,１),得a＝(－１,１), b＝(２,０),则|a|＝ ２,|b|＝２,故 A 不正确;a􀅰c＝－１× １＋１×１＝０,故B正确;不存在λ∈R,使b＝λc成立,故 C 不正确;cosθ＝ a 􀅰b |a|􀅰|b|＝ －２ ２×２ ＝－ ２２ ,所以θ＝１３５°, 故 D正确．] １０．BC　[a＋b＝(－１,３),若(a＋b)∥c,则－t－６＝０,所以 t＝－６,故 A 错误;若(a＋b)⊥c,则－２＋３t＝０,所以 t＝２３ ,故B正 确;若t＝１,则 cos‹a,c›＝ a 􀅰c |a|􀅰|c|＝ ４ ５× ５ ＝４５ ,故 C 正确;a＋c＝(３,t＋２),则|a＋c|＝ ９＋(t＋２)２≥３,故 D错误．] １１．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３, 所以|b|＝ ３． 答案:３ １２．解析:由向量a,b的夹角为π３ ,且(a－b)⊥b, 得(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝１２|a||b|－|b| ２＝０, 所以|a|＝２|b|,|a||b|＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１ 因为|a＋b|＝ (a＋b)２＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２＋２|b|２＋|b|２＝ ７|b|, |a－b|＝ (a－b)２＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２－２|b|２＋|b|２＝ ３|b|,所以|a＋b||a－b|＝ ２１ ３ ． 答案:２　 ２１３ １３．解析:依题意,以C 为坐标原 点,分别以 AC,BC 所在 的 直 线为x 轴,y轴,建立如图所示 的平面直角坐标系, 则B(０,２),D(２,０),所以直线BD 的方程为y＝－x＋２, 因为P 点在边AC 的中线BD 上,所以可设P(t,２－t) (０≤t≤２),所以CP→＝(t,２－t),BP→＝(t,－t), 所以CP→􀅰BP→＝t２－t􀅰(２－t)＝２t２－２t＝２t－１２( ) ２ －１２ , 当t＝１２ 时,CP→􀅰BP→取得最小值－１２． 答案:－１２ １４．解:(１)AD → ＝１２ (AB → ＋AC →)＝１２a＋ １ ２b , 所以AD → ＝１２a＋ １ ２b． (２)AB →􀅰AD → ＝a􀅰 １２a＋ １ ２b( )＝ １ ２a ２＋１２a 􀅰b ＝１２×３ ２＋１２×３×２×cos６０°＝６ ,所以AB →􀅰AD → ＝６． １５．解:(１)f(x)＝m􀅰n＝３sinx􀅰cosx＋cos２x－１ ＝ ３２sin２x＋ １ ２cos２x－ １ ２＝sin ２x＋ π ６( )－ １ ２． 令２x＋π６∈ ２kπ－ π ２ ,２kπ＋π２[ ](k∈Z), 则x∈ kπ－π３ ,kπ＋π６[ ](k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ－π３ ,kπ＋π６[ ](k∈Z)． (２)f(C)＝sin ２C＋π６( )－ １ ２＝０ , sin ２C＋π６( )＝ １ ２ ,又C∈ ０,π２( ),所以C＝ π ３． 在△ACD 中,CD＝２ ３３ ,在△BCE 中, BE＝ ２２＋ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ －２×２× ３３× ３ ２＝ ２１ ３ ． 假期必刷１８ 思维整合室 １．(１)同一个常数　(２)a＋b ２．(１)a１＋(n－１)d　(２)na１＋ n(n－１)d ２ 　 n(a１＋an) ２ ３．(１)(n－m)d　(２)ak＋al＝am＋an　(３)md 技能提升台 １．B　[设等差数列{an}的公差为d,则S３＝３a１＋ ３×２ ２ d＝ ３＋３d＝９２ ,解得d＝１２ ,∴an＝１＋(n－１)× １ ２＝ n＋１ ２ ． ] ２．D　[由等差数列性质可得a１＋a５＝２a３,a３＋a６＋a９＝ ３a６,所以３×２a３＋２×３a６＝１８,即a３＋a６＝３,所以S８＝ ８(a１＋a８) ２ ＝ ８(a３＋a６) ２ ＝１２． ] ３．B　[因为S５＝S１０,所以a６＋a７＋a８＋a９＋a１０＝０,即 ５a８＝０,∴a８＝０,又因为a５＝１,所以公差d＝－ １ ３ ,a１＝ a８－７d＝ ７ ３． ] ４．A　[由题意,２an＋１＝an＋an＋２,n∈N∗,∴an＋１－an＝ an＋２－an＋１,a∈N∗ 则数列{an}为等差数列,设公差为d,S３＝３a２＝６,a３＝３, 即a３＝３,a２＝２,则d＝１,则an＝a３＋d(n－３)＝n, 则Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d ,所以Sn n ＝a１＋ n－１ ２ d ,Sn＋１ n＋１－ Sn n ＝d２ (常数),则 Sn n{ }也为等差数列． 则数列 Sn n{ }的公差为 １ ２ ,所以Sn n ＝ S１ １＋ (n－１)×１２＝ １＋n－１２ ＝ n＋１ ２ ,所以S２０２５ ２０２５＝ ２０２５＋１ ２ ＝１０１３． ] ５．A　[设bn＝an＋an＋１,由a１＝０,a２＝１,a３＝４,得b１＝１, b２＝５,则bn＝４n－３＝an＋an＋１,故S２００＝(a１＋a２)＋ (a３＋a４)＋􀆺＋(a１９９＋a２００)＝b１＋b３＋􀆺＋b１９９＝１＋９ ＋􀆺＋７９３＝１００× (１＋７９３) ２ ＝３９７００． ] ６．AC　[由题知a２＋a８＋a１１＝a１＋d＋a１＋７d＋a１＋１０d ＝３a１＋１８d＝３(a１＋６d)＝３a７,∴a７ 是定值, ∴S１３＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝１３a７ 是定值．] ７．CD　 [由an＋１＝ an an＋１ (n∈N＋ ),可 得 １ an＋１ ＝ １an ＋１ (n∈N＋),所以 １ an{ } 是公差为１的等差数列,故 CD 正 确;１ an ＝１＋(n－１)×１＝n⇒an＝ １ n ,故{an}不是等差数 列,而且{an}为单调递减数列,故 AB错误．] ８．AD　[d＞０,an＋１－an＝d＞０,所以{an}是递增数列,故 A正确;nan＝n[a１＋(n－１)d]＝dn２＋(a１－d)n,当n＜ d－a１ ２d 时,数列{nan}不是递增数列,故 B 不 正 确; an n ＝ d＋ a１－d n ,当a１－d＜０时, an n{ }不是递增数列,故 C不 正确;an＋３nd＝４nd＋a１－d,因为d＞０,所以{an＋３nd} 是递增数列,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１