假期必刷16 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

(２)选择①b＝７,又a＝７,则sinB＝ ３１４b＝ ３ １４×７＝ ３ ２ , 因为A＝２π３ ,则B 为锐角,则B＝π３ , 此时A＋B＝π,不合题意,舍弃; 选择②cosB＝１３１４ ,因为B 为三角形内角, 则sinB＝ １－ １３１４( ) ２ ＝３ ３１４ , 则代入２sinB＝ ３７b 得２×３ ３１４ ＝ ３ ７b ,解得b＝３, sinC＝sin(A＋B)＝sin ２π３＋B( ) ＝sin ２π ３cosB＋cos ２π ３ sinB ＝ ３２× １３ １４＋ － １ ２( )× ３ ３ １４ ＝ ５ ３ １４ , 则S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×７×３× ５ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． 选择③csinA＝５２ ３ ,则有c× ３２＝ ５ ２ ３ ,解得c＝５, 则由正弦定理得 a sinA＝ c sinC ,即 ７ ３ ２ ＝ ５sinC ,解得sinC ＝５ ３１４ , 因为C为三角形内角,则cosC＝ １－ ５ ３ １４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１１１４ , 则sinB＝sin(A＋C)＝sin ２π３＋C( ) ＝sin ２π ３cosC＋ cos２π３sinC ＝ ３２× １１ １４＋ － １ ２( )× ５ ３ １４ ＝ ３ ３ １４ , 则S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×７×５× ３ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． 假期必刷１６ 思维整合室 １．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　０　λμa　λa＋ μa　λa＋λb ２．不共线向量　λ１e１＋λ２e２　不共线 ３．(１)(x１＋x２,y１＋y２)　(x１－x２,y１－y２)　(λx１,λy１)　 x２１＋y２１　(２)(x２－x１,y２－y１) (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ４．b＝λa　x１y２－x２y１＝０ 技能提升台 １．AD　[方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相 反的两个非零向量一定共线,故 A正确;单位向量的大小 相等,但方向不一定相同,故B错误;两个向量起点相同, 终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有 相同的起点和终点,故C错误;A,B,C,D 是不共线的点, AB→＝DC→,即模相等且方向相同,即平行四边形ABCD 对 边平行且相等,反之也成立,故 D正确．] ２．B　[对于 A,C,D都有e１∥e２,所以只有B成立．] ３．B　[对于 A,因为|a|＝ (－１)２＋１２＝ ２,|b|＝ ０２＋２２ ＝２,所以|a|≠|b|,故 A 不正确;对于B,a－b＝(－１,１) －(０,２)＝(－１,－１),因为(a－b)􀅰a＝(－１,－１)􀅰(－１,１) ＝(－１)×(－１)＋(－１)×１＝０,所以(a－b)⊥a,故 B正 确,C不正确;对于 D,因为a􀅰b＝(－１,１)􀅰(０,２)＝２≠ －２,故 D不正确．] ４．D　[BE→＝AE→－AB→＝４５AD →－a＝４５ (AB→＋BD→)－a ＝４５BD →－１５a＝ ４ ５× ２ ３BC →－１５a＝ ８ １５ (b－a)－１５a ＝－１１１５a＋ ８ １５b． ] ５．C　[若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０, 即x２－２x－２＝０, 解得x＝１± ３,故B、D错．] ６．C　[因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB→＝DC→,AD→＝BC→, 因为CE→＝－２DE→,所以EC→＝２３AB →, EF→＝EC→＋CF→＝２３AB →－１２BC →＝２３AB →－１２AD →, 又因为EF→＝xAB→＋yAD→, 所以x＝２３ ,y＝－１２ ,故x＋y＝１６． ] ７．D　[对于 A,BD→＝BC→＋CD→＝－a＋３b＋(a＋３b)＝６b,与 AB→不共线,A 不正确;对于 B,AB→＝４a＋６b,BC→＝－a＋ ３b,则AB→与BC→不共线,B不正确;对于 C,BC→＝－a＋３b, CD→＝a＋３b,则BC→与CD→不共线,C不正确;对于 D,AC→＝ AB→＋BC→＝４a＋６b＋(－a＋３b)＝３a＋９b＝３CD→,即AC→∥ CD→,又线段AC与CD 有公共点C,所以A,C,D 三点共 线,D正确．] ８．BC　[对于 A、D,不妨取a,b分别为x、y 轴上的单位向 量,满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是 a∥b不成立．故 A、D错误;对于 B,由零向量与任何向量 平行,可知|a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故 B正确;对于 C, 因为a＝－２b,所以a∥b．故C正确．] ９．ACD　[若AM→＝１２AB →＋１２AC →,则点 M 是边BC 的中点,故 A 正确;若AM→＝２ AB→－AC→,即有AM→－AB→＝AB→－AC→,即 BM→＝CB→,则点 M 在边CB 的延长线上,故B错误;若AM→ ＝－BM→－CM→,即AM→＋BM→＋CM→＝０,则点 M 是△ABC 的重心,故C正确;如图,AM→＝xAB→＋yAC→,且x＋y＝ １ ２ ,可得２AM→＝２xAB→＋２yAC→,设AN→＝２AM→,则 M 为 AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的 １２ ,故 D 正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １０１ １０．ABD　[各选项代入验证,若A,B,C 三点不共线即可构 成三角形．因为AB→＝OB→－OA→＝(２,－１)－(１,－３)＝ (１,２),AC→＝OC→－OA→＝(m＋１,m－２)－(１,－３)＝ (m,m＋１)．假设A,B,C三点共线,则１×(m＋１)－２m ＝０,即m＝１．所以只要m≠１,A,B,C 三点就可构成三 角形．A、B、D符合题意．] １１．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ １２．解析:在△ABC中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点D 为AB 的 中点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b, 则AE→＝１２ (AD→＋AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b １３．解析:∵B,D,C三点共线, ∴１４＋λ＝１ ,解得λ＝３４． 如图,过D 分别作AC,AB 的平 行线交AB,AC,于点 M,N, 则AN → ＝１４AC →,AM → ＝３４AB →, ∵在△ABC中,∠A＝６０°,∠A 的平分线交BC 于D, ∴四边形AMDN 是菱形, ∵AB＝４, ∴AN＝AM＝３, ∴AD＝３ ３． 答案:３ ４　３ ３ 假期必刷１７ 思维整合室 １．(２)|a||b|cosθ　|a||b|cosθ 技能提升台 １．B　[∵BM→＝１２MC →,∴BM→＝１３BC →,∴BA→􀅰BM→＝１３BA → 􀅰BC→＝１３|BA →||BC→|cosπ３＝ １ ３×３×３× １ ２＝ ３ ２． ] ２．D　因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０,则４＋x２－４x ＝０,解得x＝２．故选择:D． ３．B　[a＝(０,１),b＝(１,０), ∴a－b＝(－１,１), ∴a(a－b)＝０×(－１)＋１×１＝１．] ４．B　[将条件|a＋２b|＝２平方得１＋４a􀅰b＋４b２＝４, 由(b－２a)⊥b得b２－２a􀅰b＝０,所以b２＝１２ ,|b|＝ ２２． ] ５．D　[由a＝(１,３),得|a|＝２, 又|b|＝１,则|a－２b|＝ a２－４a􀅰b＋４b２ ＝ ４－４×２×１×cos６０°＋４＝２．] ６．C　[在图③中,以O 为坐标原点建立 如图所示的平面直角坐标系,|OM→|＝２, OM→＝ ２cosπ３ ,２sinπ３( )＝(１,３), |MP→|＝４３ ,即MP→＝ ４３ ,０( ), |PN→|＝１３ ,由图形知PN∥OM,所以PN→＝ １ ６ ,３ ６ æ è ç ö ø ÷, 所以ON→＝OM→＋MP→＋PN→＝ ５ ２ ,７ ３ ６ æ è ç ö ø ÷, 所以OM→􀅰ON→＝１×５２＋ ３× ７ ３ ６ ＝６． ] ７．A　[如图,设BC 的中点为D, 则BA→􀅰BC→＝ １２BC →２＝BC→􀅰 BD→,所 以BA→􀅰BC→－BC→􀅰BD→ ＝BC→􀅰(BA→－BD→)＝BC→􀅰DA→＝０,∴AD⊥BC, 则AB＝AC． 设d＝１４AB →＋３４AC →,由于AB＝AC,则d２＝b２,则|b|＝|d|． 假如a,d,c的起点均为A,运用加法的平行四边形法作图 求和,对角线对应的终点E,F,G,如图所示．所以|b|＞ |c|＞|a|．] ８．ACD　[根据数量积的分配律可知 A正确;B中,左边为c 的共线向量,右边为a的共线向量,故 B错误;根据数量 积的定义可知a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b›≤|a|􀅰|b|,故C正 确;|a－b|２－(|a|＋|b|)２＝－２a􀅰b－２|a||b|≤０,故 |a－b|２≤(|a|＋|b|)２,即|a－b|≤|a|＋|b|,故 D 正确．] ９．BD　[由a＋b＝(１,１),a－b＝(－３,１),得a＝(－１,１), b＝(２,０),则|a|＝ ２,|b|＝２,故 A 不正确;a􀅰c＝－１× １＋１×１＝０,故B正确;不存在λ∈R,使b＝λc成立,故 C 不正确;cosθ＝ a 􀅰b |a|􀅰|b|＝ －２ ２×２ ＝－ ２２ ,所以θ＝１３５°, 故 D正确．] １０．BC　[a＋b＝(－１,３),若(a＋b)∥c,则－t－６＝０,所以 t＝－６,故 A 错误;若(a＋b)⊥c,则－２＋３t＝０,所以 t＝２３ ,故B正 确;若t＝１,则 cos‹a,c›＝ a 􀅰c |a|􀅰|c|＝ ４ ５× ５ ＝４５ ,故 C 正确;a＋c＝(３,t＋２),则|a＋c|＝ ９＋(t＋２)２≥３,故 D错误．] １１．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３, 所以|b|＝ ３． 答案:３ １２．解析:由向量a,b的夹角为π３ ,且(a－b)⊥b, 得(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝１２|a||b|－|b| ２＝０, 所以|a|＝２|b|,|a||b|＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１ 　　 　　　　　　　　假期必刷１６　平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　 １．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (１)交换律: a＋b＝ 　　　　． (２)结合律: (a＋b)＋c＝ 　　　　 减法 求两个向量 差的运算 三角形法则 a－b ＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ 与 向 量 a 的 积 是 一 个向量,这 种 运 算 叫 做 向 量 的 数 乘, 记 作λa (１)|λa|＝　　　　; (２)当λ＞０时,λa 的 方 向 与 a 的 方 向 　　 　 　;当 λ＜０ 时,λa 的方向与a 的 方向　　　　;当λ ＝０时,λa＝　　 λ(μa) ＝　　　　; (λ＋μ)a ＝　　　　; λ(a＋b) ＝　　　　 ２．平面向量的基本定理 条件 e１,e２ 是同一平面内的两个　　　 　　 结论 对于这一平面内的任一向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　 　　　 基底 若e１,e２ 　　　　,我们把{e１,e２} 叫做表示这一平面内所有向量的 一个基底 ３．平面向量的坐标运算 (１)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ 　　　　　　,a－b＝　　　　　　　　, λa＝　　　　　　,|a|＝　　　　　　． (２)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标 即为向量的坐标． ②设A(x１,y１),B(x２,y２),则AB → ＝　　　 　　　　　,|AB → |＝　　　　　　　　． ４．共线向量定理及坐标表示 ①定理:向量a(a≠０)与b共线的充要条件 是:存在唯一一个实数λ,使　　　　　． ②坐标表示:设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),向 量a,b(b≠０)共线的充要条件是　　　　 　　　　． １．(多选)下列命题正确的有 (　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等,则它们的起点相同,终 点相同 D．“若A,B,C,D 是不共线的四点,且AB → ＝ DC →”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” ２．在下列向量组中,可以把向量a＝(３,２)表 示出来的是 (　　) A．e１＝(０,０),e２＝(１,２) B．e１＝(－１,２),e２＝(５,－２) C．e１＝(３,５),e２＝(６,１０) D．e１＝(２,－３),e２＝(－２,３) ３．设向量a＝(－１,１),b＝(０,２),则 (　　) A．|a|＝|b| B．(a－b)⊥a C．(a－b)∥a D．a􀅰b＝－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３ ４．如图,在△ABC 中,设 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　AB → ＝a,AC → ＝b,BD → ＝２DC →,AE → ＝４ED →,则BE → ＝ (　　) A．１１５a－ ８ １５ → b B．２３a－ ８ １５b C．－２３a＋ ８ １５b D．－ １１ １５a＋ ８ １５b ５．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设向量a＝(x＋１, x),b＝(x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 ６．如图,在平行四边形ABCD 中,F 是BC 的 中点,CE → ＝－２DE →,若EF → ＝xAB → ＋yAD →, 则x＋y＝ (　　) A．１ B．６ C．１６ D． １ ３ ７．(２０２５􀅰绵阳高二质检)已知平面向量a,b 不共线,AB → ＝４a＋６b,BC → ＝－a＋３b,CD → ＝ a＋３b,则 (　　) A．A,B,D三点共线 B．A,B,C三点共线 C．B,C,D三点共线 D．A,C,D三点共线 ８．(多选)以下选项中,能使a∥b成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ９．(多选)设点 M 是△ABC 所在平面内一点, 则下列说法正确的是 (　　) A．若AM → ＝１２AB → ＋１２AC →,则点 M 是边BC 的中点 B．若AM → ＝２AB → －AC →,则点 M 在边BC 的 延长线上 C．若AM → ＝－BM → －CM →,则点 M 是△ABC 的重心 D．若AM → ＝xAB → ＋yAC →,且x＋y＝１２ ,则 △MBC的面积是△ABC面积的１２ １０．(多选)已知向量OA → ＝(１,－３),OB → ＝(２,－１), OC → ＝(m＋１,m－２),若点A,B,C 能构成三 角形,则实数m 可以是 (　　) A．－２　　B．１２　　C．１　　D．－１ １１．(２０２４􀅰上海卷)已知a＝(２,５),b＝(６, k),a∥b,则k的值为　　　　． １２．在△ABC中,∠A＝６０°,|BC → |＝１,点D 为 线段AB 的中点,点E 为线段CD 的中点, 若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示 为　　　　． １３．在△ABC中,∠A＝６０°,∠A 的平分线交BC 于点D,若AB＝４,且AD → ＝１４AC → ＋λAB →(λ∈ R),则λ＝　　　　,AD的长为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３