假期必刷13-14 三角恒等变换、三角函数的图象与性质-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

所以sinα＝mr ＝ ２m ４ ＝ m ２ ２ , 所以r＝ ３＋m２＝２ ２, 即３＋m２＝８,解得m＝± ５． 当m＝ ５时,cosα＝－ ３ ２ ２ ＝－ ６４ ,tanα＝－ １５３ ; 当m＝－ ５时,cosα＝－ ３ ２ ２ ＝－ ６４ ,tanα＝ １５３ ． 答案:－ ６４　－ １５ ３ 或 １５ ３ １２．解析:由题意可得sinα＝ －１ ２２＋(－１)２ ＝－ ５５ , 所以cos２α＝１－２sin２α＝１－２５＝ ３ ５． 答案:３ ５ １３．解析:根据条件可知圆周长为２π, ∵AB＝３π２＝ ３ ４×２π ,故可得圆旋转了 ３ ４ 圆周,A′位置 如图: 则∠A′M′B＝９０°,则△A′M′B 是等腰直角三角形, 则 M′到BA′的距离d＝ ２２r＝ ２ ２． 答案:２ ２ １４．解:(１)由 １|sinα|＝－ １ sinα ,得sinα＜０,由lg(cosα)有意 义,可知cosα＞０,所以α是第四象限角． (２)因为OM＝１,所以 ３５( ) ２ ＋m２＝１,解得 m＝±４５． 又α为第四象限角,故m＜０,从而m＝－４５ ,sinα＝yr ＝ mOM＝ －４５ １ ＝－ ４ ５． １５．解:存在．由sin(３π－α)＝ ２cos π２－β( ),得sinα＝ ２sin β,① 由 ３cos(－α)＝－ ２cos(π＋β),得 ３cosα＝ ２cosβ,② ∴sin２α＋３cos２α＝２(sin２β＋cos２β)＝２,∴１＋２cos２α＝２, ∴cos２α＝１２ ,又α∈ －π２ ,π ２( ),∴cosα＝ ２ ２ ,从而α＝π４ 或－π４ ,当α＝π４ 时,由①知sinβ＝ １ ２ ,由②知cosβ＝ ３ ２ , 又β∈(０,π),∴β＝ π ６ ;当α＝－ π４ 时,由①知sinβ＝ －１２ ,与β∈(０,π)矛盾,舍去．∴存在α＝ π ４ ,β＝ π ６ ,符 合题意． 假期必刷１３ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ∓sinαsinβ 　tanα±tanβ１∓tanαtanβ ２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α ２tanα １－tan２α 技能提升台 １．B　[sin４５°cos１５°＋cos２２５°sin１６５°＝sin４５°􀅰cos１５°＋ (－cos４５°)sin１５°＝sin(４５°－１５°)＝sin３０°＝１２． ] ２．C　[依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＞ ０,所以－cosC＞０,所以cosC＜０,所以C为钝角．] ３．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ４．A　[由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ,cos(α＋β) ＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m,故cosαcosβ ＝－m,所 以 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ ３cosαcosβ＝－３m．故选择:A．] ５．A　[因为tan２α＝sin２αcos２α＝ ２sinαcosα １－２sin２α , 且tan２α＝ cosα２－sinα , 所以２sinαcosα １－２sin２α ＝ cosα２－sinα ,解得sinα＝１４． 因为α∈ ０,π２( ),所以cosα＝ １５ ４ , tanα＝sinαcosα＝ １５ １５ ． ] ６．A　[由５cos２α－sin２α＝ １ cos２２α －tan２２α,可得５(cos２α－ sin２α)－２sinαcosα＝ １ cos２２α －sin ２２α cos２２α ＝１＝sin２α＋cos２α (cos２α≠０),整理得３sin２α＋sinαcosα－２cos２α＝０, 两边同时除以２cos２α并整理可得:３tan２α＋tanα－２＝０, 解得:tanα＝２３ 或tanα＝－１, 当tanα＝－１时,sinα＝－cosα,cos２α＝０,不符合题意, 所以tanα＝２３． ] ７．C　[sin(α－β)＝２cos(α＋β),所以sinαcosβ－cosαsinβ ＝２(cosαcosβ－sinαsinβ), 两边同除cosαcosβ,得到tanα－tanβ＝２－２tanα􀅰tanβ, 即tanα􀅰tanβ＝１－ tanα－tanβ ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９ tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanα􀅰tanβ ＝ tanα－tanβ １＋１－tanα－tanβ２ ＝１２ , ∴tanα－tanβ＝ ４ ５． ] ８．ACD　[对于 A,tan２２．５° １－tan２２２．５° ＝１２tan４５°＝ １ ２ ; 对于B,tan１５°cos２１５°＝sin１５°cos１５° ＝１２sin３０°＝ １ ４ ; 对于C,３３cos ２ π １２－ ３ ３sin ２ π １２＝ ３ ３cos π ６＝ １ ２ ; 对于 D, １－cos６０°２ ＝sin３０°＝ １ ２ ,A、C、D符合题意．] ９．CD　[由cosα＝ ３５ ,得sinα＝± ４５． １＋ ２cos２α－π４( ) sinα＋π２( ) ＝ １＋ ２ cos２αcosπ４＋sin２αsin π ４( ) cosα ＝１＋cos２α＋sin２αcosα ＝ ２cos２α＋２sinαcosα cosα ＝２ (sinα＋cosα), 所以当sinα＝４５ 时,原式＝１４５ ;当sinα＝－４５ 时, 原式＝－２５． ] １０．ABD　 [∵cos２α＝２cos２α－１,∴cos２α＝１＋cos２α２ , 故 A正确;１－sinα＝sin２α２＋cos ２α ２－２sin α ２cos α ２ ＝ sinα２－cos α ２( ) ２ ,故B正确;１２sinα＋ ３ ２cosα ＝sinα＋π３( ),故C错误; １－tan１５° １＋tan１５° ＝ tan４５°－tan１５°１＋tan４５°􀅰tan１５°＝tan (４５°－１５°)＝tan３０°＝ ３３ , 故 D正确．] １１．解析:sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ) ＝４cosαcosβ＝ －４ １＋tan２α １＋tan２β ＝ －４ (tanα＋tanβ)２＋(tanαtanβ－１)２ ＝ －４ ４２＋２ ＝－２ ２３ ． 答案:－２ ２３ １２．解析:cos２０°􀅰cos４０°􀅰cos１００° ＝－cos２０°􀅰cos４０°􀅰cos８０° ＝－sin２０° 􀅰cos２０°􀅰cos４０°􀅰cos８０° sin２０° ＝－ １ ２sin４０° 􀅰cos４０°􀅰cos８０° sin２０° ＝－ １ ４sin８０° 􀅰cos８０° sin２０° ＝－ １ ８sin１６０° sin２０° ＝－ １ ８sin２０° sin２０° ＝－ １ ８． 答案:－１８ １３．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２× ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２× ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ ． 答案:－７ ２２６ 假期必刷１４ 思维整合室 １．(１)３π２ ,－１( )　(２)(π,－１) ２．{x|x∈R,且x≠kπ＋π２ }　[－１,１]　[－１,１]　２π　２π π　奇函数　偶函数　 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ] [２kπ－π,２kπ] kπ－π２ ,kπ＋π２( )　 ２kπ＋ π ２ ,２kπ＋３π２[ ] [２kπ,２kπ＋π]　(kπ,０)　 kπ＋π２ ,０( )　x＝kπ＋π２ x＝kπ 技能提升台 １．D　[依题意,f(x)的最小正周期T＝２π１＝２π． ] ２．B　[由题意可知:x１ 为f(x)的最小值,x２ 为f(x)的最大 值点, 则|x１－x２|min＝ T ２＝ π ２ ,即T＝π, 且ω＞０,所以ω＝２πT＝２． ] ３．C　[要使函数有意义,则２x＋π４≠kπ＋ π ２ ,k∈Z,即x≠k２π ＋π８ ,k∈Z,所以函数的定义域为 x x≠k２π＋ π ８ ,k∈Z}{ ．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ ４．C　[由题意可得:y＝２sin ３x－π６( ) 可知最小正周期T＝ ２π ３ ,所以y＝２sin３x－π６＋ ２π ３( )＝２cos３x,画出y＝sinx和 y＝２cos３x在[０,２π]上的函数图象,观察即可得到６个 交点． 故选择:C．] ５．D　[因 为f(x)＝sin(ωx＋φ)在 区 间 π ６ ,２π ３( ) 上 单 调 递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０,则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值, 则２×π６＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈Z, 则φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ), 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． ] ６．B　[依题意,将y＝sin x－π４( ) 的图象向左平移 π ３ 个单 位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的２ 倍,得到f(x)的图象, 所以y＝sinx－π４( ) 的图象 向左平移 π ３ 个单位长度 　 → y＝sinx＋π１２( ) 的图象 所有点的横坐标扩大到原来的２倍 　 → f(x)＝sin x２＋ π １２( ) 的图象．] ７．B　[A选项中T＝２ππ ２ ＝４,B选项中T＝２ππ ２ ＝４, C选项中T＝２ππ ４ ＝８,D选项中T＝２ππ ４ ＝８,排除选项CD; 对于 A选项,当x＝２时,函数值sin π２×２( )＝０, 故(２,０)是函数的一个对称中心,排除选项 A; 对于B选项,当x＝２时,函数值cos π２×２( ) ＝－１,故x ＝２是函数的一条对称轴．] ８．C　[因为y＝cos２x＋π６( ) 向左平移 π ６ 个单位所得函数 为y＝cos２x＋π６( )＋ π ６[ ]＝cos２x＋ π ２( )＝－sin２x, 所以f(x)＝－sin２x, 而y＝１２x－ １ ２ 显然过 ０,－１２( ) 与(１,０)两点, 作出y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的部分大致图象如下, 考虑２x＝－３π２ ,２x＝３π２ ,２x＝７π２ ,即x＝－３π４ ,x＝３π４ , x＝７π４ 处f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大小关系, 当x＝－３π４ 时,f －３π４( )＝－sin － ３π ２( )＝－１, y＝１２× － ３π ４( )－ １ ２＝－ ３π＋４ ８ ＜－１ ; 当x＝３π４ 时,f ３π４( )＝－sin ３π ２＝１ ,y＝１２× ３π ４－ １ ２ ＝３π－４８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( )＝－sin ７π ２＝１ ,y＝１２× ７π ４－ １ ２ ＝７π－４８ ＞１ ; 所以由图 可 知,y＝f(x)与y＝ １２x－ １ ２ 的 交 点 个 数 为３．] ９．BC　[A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为π;D错,前者对称轴为x＝π４ ＋kπ２ ,后者是x＝３π８＋ kπ ２ (k∈Z)．] １０．ACD　[f(x)＝cos２x＋ －１２cos２x－ ３ ２sin２x æ è ç ö ø ÷＝１２cos ２x－ ３２sin２x＝cos２x＋ π ３( ) 对于 A,当x＝７π１２ 时,２x＋π３＝ ３π ２ ,而cos３π２＝０ ,故 A 正 确;对于B,将f(x)向左平移７π１２ 个单位后可得,g(x)＝ cos２x＋７π１２( )＋ π ３[ ] ＝cos ２x＋ ３π ２( ) ＝sin２x 为 奇 函 数,关于原点对称,故B错;对于C,当０≤x≤π时,π３≤t ＝２x＋π３≤ ７π ３ ,因y＝cost在 π３ ,７π ３[ ] 上仅有２个零 点,故f(x)在[０,π]上也仅有２个零点,故 C正确;对于 D,当π３≤x≤ ５π ６ 时,因y＝cost在[π,２π]上单调递增, 故f(x)在 π３ ,５π ６[ ] 上单调递增,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９ １１．ACD　[A选项,由图象可得１２T＝ ５π １２－ － π １２( )＝ π ２ ,故 函数的最小正周期T＝π,因为ω＞０,所以２πω＝π ,解得ω＝ ２,A 正 确;B 选 项,将 ５π１２ ,２( ) 代 入 解 析 式 得 ２sin２×５π１２＋φ( )＝２,因为|φ|＜ π ２ ,解得φ＝－ π ３ ,B错 误;C 选 项,f (x)＝２sin ２x－π３( ),故 f π ６( ) ＝ ２sin π３－ π ３( )＝０,故点 π ６ ,０( ) 是f(x)图象的一个对 称中心,C正确;D选项,f(x)的图象向左平移５π１２ 个单位 后得到g(x)＝２sin ２x＋５π６－ π ３( ) ＝２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x．因为g(x)＝２cos２x的定义域为 R,且g(－x) ＝２cos(－２x)＝２cos２x＝g(x),故g(x)＝２cos２x为偶 函数,D正确．] １２．解析:由于f(x)在区间 π１２ ,π ４[ ] 上具有单调性,则 π ４－ π １２≤ １ ２T ,所 以 T≥ π３ ,由f π４( ) ＝f ５π １２( ) 可 知 函 数 f(x)的一条对称轴为x＝ π ４＋ ５π １２ ２ ＝ π ３ , 又f π４( )＝－f π １２( ), 则f(x)有对称中心 π６ ,０( ),从而T＝４ π３－ π ６( )＝ ２π ３． 答案:２π ３ １３．解析:设A x１, １ ２( ),B x２, １ ２( ),则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋φ ＝５π６ ,又x２－x１＝ π ６ ,所以ω＝４,由曲线y＝f(x)过 ２π ３ ,０( ),所以４×２π３＋φ＝２π,即φ＝－ ２π ３ , 所以f(x)＝sin ４x－２π３( ),f(π)＝sin ４π－ ２π ３( ) ＝－sin２π３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ １４．解:(１)f(x)＝sin ２x－π６( )＋２cos ２x ＝ ３２sin２x＋ １ ２cos２x＋１ ＝sin ２x＋π６( )＋１, ∵x∈ ０,π２[ ],∴２x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ], ∴１２≤sin ２x＋ π ６( )＋１≤２, ∴函数f(x)的值域为 １２ ,２[ ]． (２)∵f(A)＝sin ２A＋π６( )＋１＝ ３ ２ , ∴sin ２A＋π６( )＝ １ ２． ∵０＜A＜π,∴π６＜２A＋ π ６＜ １３π ６ ,∵２A＋π６＝ ５π ６ , 即A＝π３ , ∵ ２a＝ ３b, ∴ ２sinA＝ ３sinB＝ ２× ３２ ,∴sinB＝ ２２ , ∵０＜B＜２π３ ,∴B＝π４ , ∴sinC＝sin(A＋B)＝ ６＋ ２４ ． ∵ csinC＝ ４ ２ ＝ bsinB ,∴b＝２, ∴S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３＋ ３ ２ ． 假期必刷１５ 技能提升台 １．D　[由余弦定理得AC２＝AB２＋BC２－２AB􀅰BCcosB, 得BC２＋２BC－１５＝０,解得BC＝３或BC＝－５(舍去)．] ２．D　[根据题意,得ab＝２,则１２×２×sinC＝ ２ ２ ,解得C＝ ４５°或C＝１３５°．] ３．C　[设AB＝x,根据余弦定理BC２ ＝ AC２ ＋ AB２ － ２AC 􀅰 AB 􀅰 cos∠BAC, 已知BC＝８,AC＝１０,cos∠BAC＝ ３ ５ ,代入可得: ８２＝１０２＋x２－２×１０×x×３５ , 即x２－１２x＋３６＝０,解得x＝６, 由于BC２＋AB２＝６４＋３６＝１００＝AC２,则△ABC 为直角 三角形, 则S＝１２×６×８＝２４． ] ４．D　[设△DEM 的外接圆半径为R１,△DMF 的外接圆半 径为R２, 则由题意,πR ２ １ πR２２ ＝λ,点 M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E,F 重合), 对于 M 的 每 一 个 位 置,由 正 弦 定 理 可 得:R１＝ １ ２ × DE sin∠DME ,R２＝ １ ２× DF sin∠DMF , 又DE＝DF,sin∠DME＝sin∠DMF, 可得R１＝R２,可得λ＝１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９９ 　　　　　　　　　　假期必刷１３　三角恒等变换　　　　　　　　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　　　． cos(α±β)＝　　　　　　　　． tan(α±β)＝　　　　　　　　． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin２α＝　　　　　　　． cos２α＝　　　　　　　　＝　　　　　　 ＝　　　　　　． tan２α＝　　　　　　　． ３．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a,b为常数),可以化 为f(α)＝ a２＋b２sin(α＋φ)其中tanφ＝ b a æ è ç ö ø ÷或 f(α)＝a２＋b２􀅰cos(α－φ)其中tanφ＝ a b æ è ç ö ø ÷． １．sin４５°cos１５°＋cos２２５°sin１６５°＝ (　　) A．１ B．１２ C． ３ ２ D．－ １ ２ ２．在△ABC 中,cosAcosB＞sinAsinB,则 △ABC的形状是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ３．(２０２３􀅰新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－ １ ９ D．－ ７ ９ ４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m, tanαtanβ＝２,则cos(α－β)＝ (　　) A．－３m B．－m３ C． m ３ D．３m ５．若α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,tan２α＝ cosα２－sinα ,则tanα＝ (　　) A．１５１５ B． ５ ５ C． ５ ３ D． １５ ３ ６．(２０２５􀅰肇庆高二模拟)若５cos２α－sin２α ＝ １ cos２２α －tan２２α,则tanα＝ (　　) A．２３ B．－１ C．１ D．－１或２３ ７．(２０２５􀅰石家庄高一模拟)已知sin(α－β)＝ ２cos(α＋β),tan(α－β)＝ １ ２ ,则tanα－tanβ ＝ (　　) A．３５ B． ５ ３ C． ４ ５ D． ６ ５ ８．(多选)下列各式中,值为１２ 的是 (　　) A．tan２２．５° １－tan２２２．５° B．tan１５°cos２１５° C．３３cos ２π １２－ ３ ３sin ２π １２ D．１－cos６０°２ ９．(多选)已知cosα＝３５ ,则 １＋ ２cos２α－π４ æ è ç ö ø ÷ sinα＋π２ æ è ç ö ø ÷ ＝ (　　) A．２５ B． ７ ５ C． １４ ５ D．－ ２ ５ １０．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．cos２α＝１＋cos２α２ B．１－sinα＝ sinα２－cos α ２ æ è ç ö ø ÷ ２ C．１２sinα＋ ３ ２cosα＝sinα＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ D．１－tan１５°１＋tan１５°＝ ３ ３ １１．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限 角,β 为 第 三 象 限 角,tanα＋tanβ＝４, tanαtanβ＝２＋１,则sin(α＋β)＝　　　　． １２．cos２０°􀅰cos４０°􀅰cos１００°＝　　　　． １３．若tanα＝－２３ ,则sin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２ 　　　　　　　　　　假期必刷１４　三角函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　 １．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (１)正弦函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象中,五 个关键点是:(０,０),π２ ,１ æ è ç ö ø ÷,(π,０),　　　　, (２π,０)． (２)余弦函数y＝cosx,x∈[０,２π]的图象中, 五个关键点是:(０,１),π２ ,０ æ è ç ö ø ÷,　　　　, ３π ２ ,０ æ è ç ö ø ÷,(２π,１)． ２．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 　　　　　　 值域 　　　　 　　　　 R 最小正 周期 　　　　 　　　　 　　　　 奇偶性 　　　　 　　　　 奇函数 递增 区间 　　　　　 　　　　　 　　　　　 递减 区间 　　　　　 　　　　　 无 对称 中心 　　　　 　　　　　 kπ２ ,０( ) 对称轴 方程 　　　　　 　　　　　 无 ３．函数y＝sinx 的图象经变换得到y＝ Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 １．(２０２５􀅰八省联考)函数f(x)＝cosx＋π４ æ è ç ö ø ÷的 最小正周期是 (　　) A．π４ B． π ２ C．π D．２π ２．(２０２４􀅰北京卷)设函数f(x)＝sinωx(ω＞０), 已知f(x１)＝－１,f(x２)＝１,且|x１－x２|的最 小值为π ２ ,则ω＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ３．函数y＝３tan２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．xx≠kπ＋π２ ,k∈Z}{ B．xx≠k２π－ π ８ ,k∈Z}{ C．xx≠k２π＋ π ８ ,k∈Z}{ D．xx≠k２π ,k∈Z}{ ４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)当x∈[０,２π]时,曲线 y＝sinx与y＝２sin３x－π６ æ è ç ö ø ÷的交点个数为 (　　) A．３ B．４ C．６ D．８ ５．已 知 函 数 f(x)＝sin(ωx＋φ)在 区 间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷单调递增,直线x＝π６ 和x＝２π３ 为 函数y＝f(x)的图像的两条相邻对称轴, 则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C． １ ２ D． ３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２ ６．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩 短到原来的１ ２ 倍,纵坐标不变,再把所得曲 线向右平移π ３ 个单位长度,得到函数y＝ sinx－π４ æ è ç ö ø ÷的图象,则f(x)＝ (　　) A．sinx２－ ７π １２ æ è ç ö ø ÷ B．sinx２＋ π １２ æ è ç ö ø ÷ C．sin２x－７π１２ æ è ç ö ø ÷ D．sin２x＋π１２ æ è ç ö ø ÷ ７．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x ＝２,f(x)的一个周期为４,则f(x)的解析 式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷ B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ ８．已知f(x)为函数y＝cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移 π ６ 个单位所得函数,则y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ９．(多选)(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)对于函数f(x) ＝sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列说法 正确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 １０．(多选)(２０２５􀅰福建泉州第五中学高二模拟) 已知函数f(x)＝cos２x＋cos２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷,则 (　　) A．函数f(x)的图象关于点 ７π１２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 B．将函数f(x)的图象向左平移７π１２ 个单位 长度后所得到的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在区间[０,π]上有２个零点 D．函数f(x)在区间 π３ ,５π ６ é ë êê ù û úú上单调递增 １１．(多 选)已 知 函 数 f(x)＝ ２sin(ωx＋φ)ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的部分图象,则 (　　) A．ω＝２ B．φ＝ π ３ C．点 π６ ,０ æ è ç ö ø ÷是f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)的图象向左平移５π１２ 个单位后所对 应的函数为偶函数 １２．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω,φ是常数, A＞０,ω＞０)．若f(x)在区间 π１２ ,π ４ é ë êê ù û úú上具有 单调性,且f π４ æ è ç ö ø ÷ ＝f５π１２ æ è ç ö ø ÷ ＝－f π１２ æ è ç ö ø ÷,则 f(x)的最小正周期是　　　　． １３．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ),如图,A,B 是直线y＝１２ 与曲线 y＝f(x)的两个交 点,若|AB|＝π６ ,则f(π)＝　　　　． １４．设函数f(x)＝sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷＋２cos２x． (１)当x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú时,求函数f(x)的值域; (２)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别 为a,b,c,且f(A)＝３２ ,２a＝ ３b,c＝１＋ ３,求△ABC的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２