假期必刷12 三角函数的概念，同角三角函数的基本关系及诱导公式-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　 假期必刷１２　三角函数的概念、同角三角函 数的基本关系及诱导公式 　　　　　　　　　　　　　　 １．任意角的三角函数 (１)定义 设α是一个任意角,以它的顶点为原点,以 它的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角 坐标系,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么sinα＝　　,cosα＝　　,tanα＝yx (x≠０)． (２)定义的推广 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一 点,它到原点的距离为r(r＞０),那么sinα ＝　　　　　;cosα＝　　　　,tanα＝ 　　　　(x≠０)． ２．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:　　　　　　． (２)商数关系:sinαcosα＝tanαα≠ π ２＋kπ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α π２ －α π ２ ＋α 正弦 sinα 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 余弦 cosα 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 正切 tanα 　　　　 　　　　 　　　　 口诀 奇变偶不变,符号看象限 １．α是一个任意角,则α的终边与３π－α的 终边 (　　) A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ２．(２０２５􀅰北京东城区高二调研)若sinθ􀅰cosθ ＜０,tanθsinθ＞０ ,则角θ是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ３．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为 １cm)的圆周上爬动,且两只蚂蚁均从点 A(１,０)同 时 逆 时 针 匀 速 爬 动,红 蚂 蚁 以 π ４rad /s的速度爬行,黑蚂蚁以π１２rad /s的速 度爬行,则２秒钟后,两只蚂蚁之间的直线 距离为 (　　) A．１ B．２－ ３ C．π３ D． π ６ ４．(２０２５􀅰湖北九师联盟质检)若tan(α－π)＝２, 则１－２sin ２α １＋sin２α＝ (　　) A．－１３ B．－３ C．１３ D．３ ５．已知sinαcosα＝３８ ,且π ４＜α＜ π ２ ,则cosα－ sinα的值为 (　　) A．１２ B．± １ ２ C．－１４ D．－ １ ２ ６．下列化简正确的是 (　　) A．tan(π＋１)＝－tan１ B． sin (－α) tan(３６０°－α)＝cosα C．sin (π－α) cos(π＋α)＝tanα D．cos (π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝１ ７．已知sinα＋cosα＝－ ２,则tanα＋ １tanα 等于 (　　) A．２ B．１２ C．－２ D．－ １ ２ ８．(多选)钟表在我们的生活中随处可见,高一 某班的同学们在学习了“任意角和弧度制” 后,对钟表的运行产生了浓厚的兴趣,并展 开了激烈的讨论,若将时针与分针视为两条 线段,则下列说法正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４２ A．小 赵 同 学 说:“经 过 了 ５h,时 针 转 了 －５π６． ” B．小钱同学说:“经过了４０min,分针转了 －７π６． ” C．小孙同学说:“当时钟显示的时刻为１２:３５ 时,时针与分针所夹的钝角为６７π ７２． ” D．小李同学说:“时钟的时针与分针一天之 内会重合２２次．” ９．(多选)(２０２５􀅰山东济宁高二联考)下面说 法正确的有 (　　) A．角π３ 与角－５３π 终边相同 B．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合 可表示为{α|α＝k􀅰３６０°－４５°,k∈Z} C．若角α的终边在直线y＝－３x上,则cosα 的取值为 １０ １０ D．６７°３０′化成弧度是３π８． １０．(多选)(２０２５􀅰广州高二质检)定义:角θ 与φ 都是任意角,若满足θ＋φ＝ π ２ ,则称θ 与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－ １ ４ ,下 列角β中,可能与角α“广义互余”的是 (　　) A．sinβ＝ １５ ４ B．cos (π＋β)＝ １ ４ C．tanβ＝ １５ D．tanβ＝ １５ ５ １１．已知角α的终边上一点P(－ ３,m)(m≠０), 且sinα＝ ２m４ ,则cosα＝　　　　　　, tanα＝　　　　． １２．已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,点(２,－１)在终边 上,则cos２α＝　　　　． １３．如图,半径为１的圆 M 与直线l相切于点 A,圆 M 沿着直线l滚动．当圆 M 滚动到 圆M′时,圆 M′与直线l相切于点B,点A 运动到点A′,线段AB 的长度为３π２ ,则点 M′到直线BA′的距离为　　　　． １４．已知 １|sinα|＝－ １ sinα ,且lg(cosα)有意义． (１)试判断角α所在的象限; (２)若角α的终边上一点M ３５ ,m æ è ç ö ø ÷,且OM＝ １(O为坐标原点),求m的值及sinα的值． １５．是否存在α∈ －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷,β∈(０,π),使等式 sin(３π－α)＝ ２cos π２－β æ è ç ö ø ÷,３cos(－α)＝ － ２cos(π＋β)同时成立? 若存在,求出α, β的值;若不存在,请说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５２ 假期必刷１２ 思维整合室 １．(１)y　x　(２)yr 　 x r 　 y x ２．(１)sin２α＋cos２α＝１ ３．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台 １．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的 终边与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的 终边关于y轴对称．] ２．D　[由tanθsinθ＞０ ,得 １ cosθ＞０ ,所以cosθ＞０,所以θ可为 第一、四象限角． 又sinθ􀅰cosθ＜０,所以sinθ＜０, 所以θ为第四象限角．] ３．A　[如图所示,红蚂蚁以π４rad /s 的速度爬行,黑蚂蚁以π １２rad /s的 速度爬行,则２秒钟后,红蚂蚁绕 圆的角度为π ２ ,到达B 处,黑蚂蚁 绕圆的角度为π ６ ,到达C处,此时∠BOC＝π２－ π ６＝ π ３ , 即△BOC为正三角形,故BC＝OB＝１．] ４．A　[由题意得tanα＝２, 则１－２sin ２α １＋sin２α＝ sin２α＋cos２α－２sin２α sin２α＋cos２α＋２sinαcosα ＝ cos ２α－sin２α (sinα＋cosα)２ ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝ １－tanα １＋tanα＝－ １ ３． ] ５．D　 [∵sinαcosα＝ ３８ ,∴(cosα－sinα)２＝cos２α－ ２sinαcosα＋sin２α＝１－２sinαcosα＝１－２×３８＝ １ ４ , ∵π４＜α＜ π ２ , ∴cosα＜sinα,即cosα－sinα＜０,∴cosα－sinα＝－１２． ] ６．B　[对于 A,由诱导公式得,tan(π＋１)＝tan１,故 A 错 误;对于 B, sin (－α) tan(３６０°－α)＝ －sinα －tanα＝ sinα sinα cosα ＝cosα,故 B 正确;对于 C,sin (π－α) cos(π＋α)＝ sinα －cosα＝－tanα ,故 C错误; 对于 D ,cos (π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝ (－cosα)(－tanα) －sinα ＝－ cosα􀅰sinαcosα sinα ＝－１ ,故 D错误．] ７．A　[由已知得１＋２sinαcosα＝２, ∴sinαcosα＝１２ , ∴tanα＋ １tanα＝ sinα cosα＋ cosα sinα＝ sin２α＋cos２α sinαcosα ＝ １ １ ２ ＝２．] ８．ACD　[经过了５h,时针转过的角度对应的弧度数为－５ ×２π１２＝－ ５π ６ ,故 A正确;经过了４０min,分针转过的角度 对应的弧度数为－８×２π１２＝－ ４π ３ ,故 B错误;时钟显示的 时刻为１２:３５,该时刻的时针与分针所夹的钝角为５×２π１２ ＋７１２× ２π １２＝ ６７π ７２ ,故 C正确;分针比时针多走一圈便会重 合一次,设分针走了tmin,第n 次和时针重合,则２π６０ 􀅰 t－ ２π１２×６０ 􀅰t＝２πn,得n＝１１７２０t (０≤t≤１４４０),故nmax＝ １１ ７２０×１４４０＝２２ ,故 D正确．] ９．AD　[角π３ 与角－５３π 相差２π,终边相同,故 A正确; 终边在直 线 y＝ －x 上 的 角α 的 取 值 集 合 可 表 示 为 {α|α＝k􀅰１８０°－４５°,k∈Z},故B错误; 若角α的终边在直线y＝－３x上, 则cosα的取值为± １０１０ ,故C错误; ６７°３０′化成弧度是３π８ ,故 D正确．] １０．AC　[∵sin(π＋α)＝－sinα＝－１４ , ∴sinα＝１４ ,cosα＝± １５４ , ∴若α＋β＝ π ２ ,则β＝ π ２－α． sinβ＝sin π ２－α( )＝cosα可能成立,角β可能与角α“广 义互余”,故 A符合条件; 若B符合,则cos(π＋β)＝－cos π ２－α( ) ＝－sinα＝－ １ ４ , 与cos(π＋β)＝ １ ４ 矛盾,故B不符合条件; 对于C,tanβ＝ １５,即sinβ＝ １５cosβ, 又sin２β＋cos２β＝１,故sinβ＝± １５ ４ ,即C符合条件; 对于 D,tanβ＝ １５ ５ ,即sinβ＝ １５ ５ cosβ , 又sin２β＋cos２β＝１,故sinβ＝± ６ ４ ,故 D不符合条件．] １１．解析:设P(x,y)．由题设知x＝－ ３,y＝m, 所以r２＝OP２＝(－ ３)２＋m２(O 为原点), 即r＝ ３＋m２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９ 所以sinα＝mr ＝ ２m ４ ＝ m ２ ２ , 所以r＝ ３＋m２＝２ ２, 即３＋m２＝８,解得m＝± ５． 当m＝ ５时,cosα＝－ ３ ２ ２ ＝－ ６４ ,tanα＝－ １５３ ; 当m＝－ ５时,cosα＝－ ３ ２ ２ ＝－ ６４ ,tanα＝ １５３ ． 答案:－ ６４　－ １５ ３ 或 １５ ３ １２．解析:由题意可得sinα＝ －１ ２２＋(－１)２ ＝－ ５５ , 所以cos２α＝１－２sin２α＝１－２５＝ ３ ５． 答案:３ ５ １３．解析:根据条件可知圆周长为２π, ∵AB＝３π２＝ ３ ４×２π ,故可得圆旋转了 ３ ４ 圆周,A′位置 如图: 则∠A′M′B＝９０°,则△A′M′B 是等腰直角三角形, 则 M′到BA′的距离d＝ ２２r＝ ２ ２． 答案:２ ２ １４．解:(１)由 １|sinα|＝－ １ sinα ,得sinα＜０,由lg(cosα)有意 义,可知cosα＞０,所以α是第四象限角． (２)因为OM＝１,所以 ３５( ) ２ ＋m２＝１,解得 m＝±４５． 又α为第四象限角,故m＜０,从而m＝－４５ ,sinα＝yr ＝ mOM＝ －４５ １ ＝－ ４ ５． １５．解:存在．由sin(３π－α)＝ ２cos π２－β( ),得sinα＝ ２sin β,① 由 ３cos(－α)＝－ ２cos(π＋β),得 ３cosα＝ ２cosβ,② ∴sin２α＋３cos２α＝２(sin２β＋cos２β)＝２,∴１＋２cos２α＝２, ∴cos２α＝１２ ,又α∈ －π２ ,π ２( ),∴cosα＝ ２ ２ ,从而α＝π４ 或－π４ ,当α＝π４ 时,由①知sinβ＝ １ ２ ,由②知cosβ＝ ３ ２ , 又β∈(０,π),∴β＝ π ６ ;当α＝－ π４ 时,由①知sinβ＝ －１２ ,与β∈(０,π)矛盾,舍去．∴存在α＝ π ４ ,β＝ π ６ ,符 合题意． 假期必刷１３ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ∓sinαsinβ 　tanα±tanβ１∓tanαtanβ ２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α ２tanα １－tan２α 技能提升台 １．B　[sin４５°cos１５°＋cos２２５°sin１６５°＝sin４５°􀅰cos１５°＋ (－cos４５°)sin１５°＝sin(４５°－１５°)＝sin３０°＝１２． ] ２．C　[依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＞ ０,所以－cosC＞０,所以cosC＜０,所以C为钝角．] ３．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ４．A　[由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ,cos(α＋β) ＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m,故cosαcosβ ＝－m,所 以 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ ３cosαcosβ＝－３m．故选择:A．] ５．A　[因为tan２α＝sin２αcos２α＝ ２sinαcosα １－２sin２α , 且tan２α＝ cosα２－sinα , 所以２sinαcosα １－２sin２α ＝ cosα２－sinα ,解得sinα＝１４． 因为α∈ ０,π２( ),所以cosα＝ １５ ４ , tanα＝sinαcosα＝ １５ １５ ． ] ６．A　[由５cos２α－sin２α＝ １ cos２２α －tan２２α,可得５(cos２α－ sin２α)－２sinαcosα＝ １ cos２２α －sin ２２α cos２２α ＝１＝sin２α＋cos２α (cos２α≠０),整理得３sin２α＋sinαcosα－２cos２α＝０, 两边同时除以２cos２α并整理可得:３tan２α＋tanα－２＝０, 解得:tanα＝２３ 或tanα＝－１, 当tanα＝－１时,sinα＝－cosα,cos２α＝０,不符合题意, 所以tanα＝２３． ] ７．C　[sin(α－β)＝２cos(α＋β),所以sinαcosβ－cosαsinβ ＝２(cosαcosβ－sinαsinβ), 两边同除cosαcosβ,得到tanα－tanβ＝２－２tanα􀅰tanβ, 即tanα􀅰tanβ＝１－ tanα－tanβ ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９