假期必刷11 导数的应用-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　　　　　　假期必刷１１　导数的应用　　　　　　　　　　　　　 １．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x) 在 区 间 (a, b)上可导 f′(x)＞０ f(x)在(a,b)上 　　　　 f′(x)＜０ f(x)在(a,b)上 　　　　 f′(x)＝０ f(x)在(a,b)上 是　　　　 ２．函数的极值 (１)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比 它在点x＝a 附近其他点的函数值都小, f′(a)＝０;而 且 在 点 x＝a 附 近 的 左 侧 　　　　,右侧　　　　．则a 叫做函数 y＝f(x)的 极 小 值 点,f(a)叫 做 函 数 y＝f(x)的极小值． (２)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比 它在点x＝b附近其他点的函数值都大, f′(b)＝０;而且在点x＝b附近的左侧　　 　　,右侧　　　　．则b叫做函数y＝ f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y＝f(x) 的极大值． (３)极小值点、极大值点统称为　　　　,极小 值和极大值统称为　　　　． ３．函数的最大(小)值 (１)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y＝f(x)的图象 是一条连续不断的曲线,那么它必有最大 值和最小值． (２)求y＝f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值 的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a,b)上的　　 　　; ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函 数值　　　　　　比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值． １．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x) 的图象如图所示,则函数y＝f(x) 的图象可能是 (　　) ３．已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(１,２)上 单调递增,则a的最小值为 (　　) A．e２ B．e C．e－１ D．e－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ ４．若函数 f(x)＝x－１３sin２x＋asinx 在 (－∞,＋∞)上单调递增,则a 的取值范 围是 (　　) A．[－１,１] B．－１,１３ é ë êê ù û úú C．－１３ ,１ ３ é ë êê ù û úú D．－１,－ １ ３ é ë êê ù û úú ５．当x＝２时,函数f(x)＝x３＋bx２－１２x 取得极值,则f(x)在区间[－４,４]上的 最大值为 (　　) A．８ B．１２ C．１６ D．３２ ６．(多选)(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝ ２x３－３ax２＋１,则 (　　) A．当a＞１时,f(x)有三个零点 B．当a＜０时,x＝０是f(x)的极大值点 C．存在a,b,使得x＝b为曲线f(x)的对 称轴 D．存在a,使得点(１,f(１))为曲线y＝f(x) 的对称中心 ７．(多选)(２０２５􀅰江西模拟)设函数f(x)＝ ln(１－ax)(a≠０)在(－１,f(－１))处的切线 与直线ax＋２y－３＝０平行,则 (　　) A．a＝１ B．函数f(x)存在极大值,不存在极小值 C．当x∈(－∞,０)时,f(x)＞－１２x ２－x D．函数g(x)＝|f(x)|＋１２ (x－１)有三个 零点 ８．函数f(x)＝lnx－x２ 的单调递增区间 为　　　　． ９．函数f(x)＝x３－ax２＋２x－１有极值,则实 数a的取值范围是　　　　． １０．设a∈(０,１),若函数f(x)＝ax＋(１＋a)x 在(０,＋∞)上单调递增,则a的取值范围 是　　　　． １１．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex －ax－a３． (１)当a＝１时,求曲线y＝f(x)在点(１,f(１)) 处的切线方程; (２)若f(x)有极小值,且极小值小于０,求 a的取值范围． １２．(２０２５􀅰南通高二模拟)已知函数f(x)＝ ex x－mlnx＋２x ,m∈R． (１)若曲线y＝f(x)在x＝１处的切线与直 线y＝２x相互垂直,求m 的值; (２)若m＝２,求函数f(x)的极值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２ 三0022 高二数学) 10.BC[由f(x)=x3-3.x十1，得了(x)=3.x2-3,设切点 坐标为(t,3-31+1),则(t)=312一3，则过切点的切 (2)周为fx)=号2-lh,这画载的定义城为0，十∞)， 线方程为y=(3r2-3)(.x-1)十13-31+1，把点(1，-1) f(.x）=x 1=x2-1 代入，可得-1=(32-3)(1-t)+3-31+1,整理得 令了(x)=0,可得x=1,列表如下： 4-1D2(2+10=0,即11或1=-2，当1=-2时，切 (0,1) 1 (1,+0) 线方程为9x十4y一5=0；当1=1时，切线方程 (r) 0 + 为y=-1.] 1降折：由了)三，可释了=司 f(x) 减函数极小值 增函数 ea (1+a)只 所以，函数f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1，十∞)， =号脚ao解释a=1 1 画八)的教小值为1)=号-n1=之无权大值。 答案：1 假期必刷11 12.解析：由题知y=(e十x)'=er+1,当x=0时，切线斜 率k=2, 思维整合室 则切线方程为y=2x十1=[ln(x+1)+a'=中有 1.单调递增单调递减常数函数 2.(1)f(x)<0f'(x)>0(2)f(.x)>0f(.x)<0 2,得x=-y=2X(-号）+1=0，故y=lax+D (3)极值点极值 3.(2)①极值②f(a),f(b) +u与直钱的切点为（一号0小 技能提升台 1.A[由题意知在x=一1处f(一1)=0，且其两侧导数值 即0=ln(-号+1)十a,故a=lh2 特号为左负右正.] 答案：ln2 2.D[f(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间，f(x)<0 13.解析：易得切点为(-e,一e). 的解集对应y-f(x)的减区间，验证只有D符合.] f(.x)=ln(-x)+1,则f(-e)=2, 所以切线方程为y一(-e)=2(r十e) 3C[由题意可知了飞)=a心->0在区间1,2)上恒成 即2x-y+e=0. 主，即a≥ (记)设g)=e,到在2上有 答案：2x-y十e=0 14.解：f(.x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2. e=6+1e>0,所以g=gD=e则() 1)由题意得/0)=b=0, {f(0)=-a(a+2)=-3, =1,即a≥e1.] e 解得b=0,a=-3或a=1. 1 (2)因为曲线y=f(.x)存在两条垂直于y轴的切线，所 4.C [f()=x-3 sin 2x+asin x. 以关于x的方程f'(.x)=3.x2+2(1-a)x一a(a+2)=0 所以f)=1-号0s2x+acos= . 3 cos'r+acos 有两个不相等的实数根， 所以△=4(1-a)2+12a(u+2)>0, 即r+u+1D>0,所以u≠-安 由f(x)在R上单调递增，则子(x)≥0在R上恒成立 令t=cos x.t∈[-1,1]. 所以a的取值范国为(m,一号)U(合+∞ 15.解：(1)因为f(x)=a.x2+bnx,该函数的定义域为 则-+a+>0， 在t∈[-1.1门上恒成立. (0,+o∞).f(x)=2ar+b, ∴.4t2-3at-5≤0在t∈[-1,1]上恒成立. 令g(1)=4r2-3at-5, 则 r(1)=2a+b=0,6=-1, 则g1)=-3a-1≤0. (g(-1)=3a-1≤0. 解之得-<即a的取值 f=2-n 范国天[言]门 经检验，山=2b=一1合乎题意， 5.C[因为f(x)=x8+bx2-12x.所以(x)=3x2+ 因此a=号6=-1 26x一12，又f(x)在x=2取极值，所以了(2)=12十4b 12=0,所以b=0,所以f(x)=x3-12.x,f(x)=3x2 93 飞堡快乐隧期 00-= 12,x∈[-4,4]，令∫(.x)>0,得-4≤x<-2或2≤.x≤ 10.解析：由函数的解析式可得f(x)=dlna十(1十an(1十a) 4:令f(x)<0,得-2<x<2:所以fx)在[-4，-2]和 ≥0在区间(0，十∞)上恒成立， [2,4]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，故b=0满足题 则(1+a)rln(1+a)≥-alna 意，又f(-2)=-8十24=16，f(4)=64-48=16,故 f(x)mx=16.] 中（告）广≥-n。在区间0，十）上位成主. 6.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于是：A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 故（告）°=≥0而a+1ea,2 有三个零点：B错，a<0时x=0应为极小值，点：C错，任 故ln(1+a)>0, 何三次函数不存在对称轴：D正确，当a=2时f(x)= n(a+l)≥-lna a(a+1)≥1 2(.x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 故 即 0<a<1 0<a<1 7.AC[对于Af)=0故f(-D=-受： 5<a<1… 解得a=1,故A正确：对于B,因为f(x)=n(1一x)(x<1) f-<0 培合题套可得实数a的取值范国是[5，】 所以函数f(x)在x∈（一∞，1）上单调递减，不存在极值， 故B错误： 答案[ 对于C.令FD=a0+2+x1-)计号z0. 11.解：(1)a=1,f(.x)=e-x-1,切点为(1，e-2), 2 f(.x)=er-1,k=f(1)=e-1 则F(x)=L -1+r+1 yt y=lf(z) 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e一1)(x一1)， x-1) ,由x<0,故F'(x)<0 即y=(e-1).x-1. (2)f(x)=e-a,当a≤0时，广(x)>0,f(x)在R上单 故F(x)在（一∞，0）上单调 调递增，此时无极值 递减，所以F(.x)>F(0)=0. .a>0,令f(x)=0,x=lna 即当x∈(-∞，0)时，f(x) 2 f(.x)在（一o∞，lna)上单调递减，(lna,十o∞）上单调 一，故C正确： 递增， 对于D,因为f(x)=ln(1-x),当x<0时，f(x)>0,当0 ∴f(x)极小值=f(lna)=a-alna一a3<0, ≤x<1时，f(x)≤0. .1-lna-a2<0 又了(-1)=一之在同一坐标系中作出y=f(x)1与 ◆sa)=-a2-na+l,g'a)=-2a-2<0 y=-红-1D的图象， g(a)在(0，十∞)上单调递减，而g(1)=0, 知如图所示，函教g(x)=1+2(x-1)有且只有1个 g(a)<0=a>1 ,a的取值范围(1，十∞). 零点，故D错误.门 8.解析：由题意可得函数的定义域为(0，十○)， 12.解：1)画数f)-号-minx+2,求导得了) f(r)=In z-x2. (x-1D-m+2,则了1)=-m+2, ∴了(x0=1-2x=1-2x2 由f(x)>0,可得1-2.x2>0, 依题意.（一m+2)×2=-1,所以m- 解释0<号 (2)当m=2时，函数fx)=二-21nx+2r的定义城为 x 故画数的单调增区同为(。号》】 (0,十∞)， 求导得f()=,D-2+2=e+2zx-D 答案：(0) x x 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 9.解析：f广(x)=3z2-2a.x+2,由题意知f(x)有变号零点， 因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 ∴.△=(2a)2-4×3×2>0,解得a>6或a<-6. 递增， 答案：(-0∞，-√6)U(W6,十o∞) 所以函数f(x)在x=1处取得极小值e十2，无极大值. 94